PCSI1-PCSI2 DS n˚02 - SAMEDI 10 OCTOBRE 2020 - 3 heures 2020-2021 La calculatrice n’est pas autorisée. Les résultats seront encadrés ou soulignés.
Exercice 1 COURS et APPLICATIONS DU COURS - Questions largement indépendantes 1. Compléter (pas de preuve exigée) sur la feuille jointe à ce sujet (à glisser dans votre copie) :
(a) (Arcsin(sin(𝑡)) =𝑡)⇔(𝑡∈. . . .) (b) (Arccos(cos(𝑡)) =𝑡)⇔(𝑡∈. . . .)
(c) (Arctan(tan(𝑡)) = 𝑡)⇔(𝑡∈. . . .) (d) ∀𝑥∈. . . ., Arcsin′(𝑥) =. . . ..
(e) ∀𝑥∈. . . ., Arccos′(𝑥) =. . . ..
(f) ∀𝑥∈. . . ., Arctan′(𝑥) =. . . ..
(g) ∀𝑥∈. . . ., sin (Arccos(𝑥)) = cos (Arcsin(𝑥)) =. . . . (h) ∀𝑥∈. . . ., Arccos(𝑥) +Arcsin(𝑥) =. . . ..
(i) Sous réserve d’existence : exprimer en fonction de tan(𝑎) et de tan(𝑏),
tan(𝑎+𝑏) =. . . et tan(𝑎−𝑏) =. . . et tan(2𝑎) = . . . . (j) Donner les valeurs exactes de :
Arctan(
−√ 3)
=. . . ., Arctan ( 1
√3 )
=. . . ., Arcsin (1
2 )
=. . . ., Arccos (
−
√3 2
)
=. . . . 2. On pose 𝐴=Arcsin
(4 5
)
et𝐵 = 2Arccos ( 1
√5 )
. Calculer sin(𝐴) etsin(𝐵), puis comparer 𝐴 et𝐵. 3. On pose : 𝑓(𝑥) = 2Arctan(𝑒𝑥)−Arctan(sh(𝑥)).
(a) Quel est l’ensemble de définition de 𝑓? Pour quels 𝑥 peut-on calculer 𝑓′(𝑥)? Simplifier 𝑓′(𝑥)dans ce cas. Conclusion ?
(b) Soit 𝐴= 2Arctan (1
2 )
: trouver 𝑟∈ℚ tel que 𝐴=Arctan(𝑟).
4. Résoudre l’équation, d’inconnue 𝑥∈ℝ :
Arcsin(2𝑥)−Arcsin(𝑥) = 𝜋 3. Exercice 2
On considère la fonction𝑓 définie par𝑓(𝑥) =Arcsin(𝑥)−2Arctan
(√1 +𝑥 1−𝑥
) . 1. Déterminer, preuve à l’appui, 𝐷𝑓, l’ensemble de définition de 𝑓.
On se propose de donner une expression simple de 𝑓 par deux méthodes différentes.
2. Première méthode : étude de fonction
(a) Sur quel intervalle 𝐼, la fonction 𝑓 est-elle dérivable ? Calculer alors 𝑓 ′(𝑥)pour 𝑥∈𝐼.
(b) En déduire une expression simple de 𝑓 sur 𝐷𝑓.
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3. Seconde méthode : avec des fonctions circulaires auxiliaires
(a) Pour tout 𝑥∈𝐷𝑓, montrer qu’il existe un unique réel 𝜃 ∈]0, 𝜋] tel que 𝑥= cos(𝜃).
(b) Donner des factorisations de
1 +𝑒𝑖𝜃 =. . . et 1−𝑒𝑖𝜃 =. . ..
En déduire les factorisations de
1 + cos(𝜃) = . . . et 1−cos(𝜃) =. . ..
(c) Exprimer 𝑓(𝑥) en fonction de la variable 𝜃, simplifier cette expression, et retrouver le résultat de la question (2b).
Exercice 3
On note ℒ et ℰ les courbes d’équations respectives «𝑦 = ln(𝑥)» et «𝑦 = exp(𝑥)» (dans un repère orthonormal).
1. (a) Donner une équation de la tangente à la courbe ℒ en un point d’abscisse 𝑎 > 0 et une équation de la tangente à la courbe ℰ en un point d’abscisse 𝑏 ∈ℝ.
(b) Démontrer qu’il existe une droite𝒟 tangente commune à la courbe ℒ en un point d’abs- cisse 𝑎 >0 et à la courbeℰ en un point d’abscisse 𝑏 ∈ℝ si et seulement si
{ 𝑏+ ln(𝑎) = 0
𝑎ln(𝑎)−ln(𝑎)−𝑎−1 = 0 2. On définit la fonction 𝜑 sur ]0,+∞[par :
𝜑(𝑡) =𝑡ln(𝑡)−ln(𝑡)−𝑡−1.
(a) Etudier les variations de 𝜑 sur l’intervalle ]0,1[.
(b) En déduire l’existence et l’unicité d’un réel𝛼 ∈]0,1[ tel que 𝜑(𝛼) = 0.
(c) Déterminer une relation simple entre 𝜑(𝑥) et𝜑 (1
𝑥 )
pour tout𝑥 >0.
(d) En déduire le nombre de solutions𝑥∈]0,+∞[ à l’équation «𝜑(𝑥) = 0».
3. Existe-t-il une tangente commune aux courbes ℒ et ℰ?
Si oui, combien y en a-t-il ? Illustrer la situation à l’aide d’un schéma.
Exercice 4
On définit une fonction𝑓 par
𝑓(𝑥) = 1 1 +𝑥+𝑥2. 1. Quel est 𝐷𝑓, l’ensemble de définition de la fonction 𝑓?
2. Justifier que 𝑓 est deux fois dérivable sur 𝐷𝑓 et préciser les expressions factorisées de𝑓′(𝑥)et 𝑓′′(𝑥) pour tout 𝑥∈𝐷𝑓.
Indication : la dérivée seconde est de la forme 𝑓′′(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥+ 1)
(1 +𝑥+𝑥2)𝑏 où𝑎 et𝑏 sont des entiers naturels.
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3. Dresser le tableau de variations-signes de 𝑓′ puis le tableau de variations de𝑓 sur 𝐷𝑓. Donner alors l’allure de la courbe représentative de 𝑓.
4. Montrer que l’intervalle 𝐼 =[1 3,1]
est stable par 𝑓.
5. Montrer qu’il existe une constante 𝐶 ∈]0,1[telle que ∣𝑓′(𝑥)∣⩽𝐶 pour tout𝑥∈𝐼 =[1 3,1]
. 6. Montrer que le polynôme 𝑃(𝑋) =𝑋3+𝑋2 +𝑋−1 possède une et une seule racine réelle 𝐿.
En déduire que l’équation𝑓(𝑥) =𝑥possède une unique solution réelleℓ. Vérifierℓ ∈𝐼 =[1
3,1] . 7. On définit la suite 𝑢= (𝑢𝑛)𝑛⩾0 par
𝑢0= 1 et 𝑢𝑛+1=𝑓(𝑢𝑛).
(a) Montrer que la suite𝑢 est bornée.
(b) Montrer :
pour tout𝑛 ∈ℕ, ∣𝑢𝑛+1−ℓ∣⩽𝐶∣𝑢𝑛−ℓ∣. (c) Montrer :
pour tout𝑛 ∈ℕ, ∣𝑢𝑛−ℓ∣⩽𝐶𝑛. (d) Que peut-on en conclure ?
8. Indiquer une méthode permettant d’obtenir une valeur approchée de ℓ à 10−3 près.
Exercice 5
La caméra C peut se déplacer sur un rail fixe R. On désire filmer une scène S. Les données sont portées sur le dessin ci-dessous :
Calculer l’angle𝜃sous lequel est vue la scène et en déduire la valeur de𝑥pour laquelle𝜃est maximum.
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