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DS 2 octobre 2020PCSI : DS N°2-octobre 2020
Aucun document autorise , annexe1 en fin de sujet ; Calculatrice interdite
Exercice 1 : Question de cours.
Un système du premier ordre est régi par une équation différentielle du premier ordre du type : 𝑠(𝑡) + 𝜏 ⋅𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝐾 ⋅ 𝑒(𝑡)
On note ℒ(𝑒(𝑡)) = 𝐸(𝑝) ; ℒ(𝑠(𝑡)) = 𝑆(𝑝) Q1. Démontrer que la forme canonique de la fonction transfert 𝐻(𝑝) =𝑆(𝑝)
𝐸(𝑝) de ce système du 1er ordre peut se mettre sous la forme (préciser si besoin les hypothèses) :
𝐻(𝑝) = 𝐾 1 + 𝜏 ⋅ 𝑝
Q2. Déterminer le nom et les unités, si elles existent, des deux constantes (appelées paramètres caractéristiques) de 𝐻(𝑝).
Pour la suite de l’exercice, on considère qu’on sollicite ce système du 1er ordre avec une entrée échelon dont l’équation est la suivante :
𝒆(𝒕) = 𝑬𝟎⋅ 𝒖(𝒕) (𝐸0 est une constante strictement positive)
Q3. Sans calcul, écrire l’équation de la réponse s(t) du système, en prenant soin d’utiliser uniquement les constantes décrites dans les lignes ci-dessus.
Recherche des critères de performances en rapidité et précision du système ainsi sollicité.
Q4. Rapidité : Démontrer que 𝑡5%≈ 3. 𝜏 (on donne ln(0,05) ≈ −2,99)
Q5. Précision : en rappelant la définition de 𝜀𝑠 et en utilisant le théorème de la valeur finale, exprimer 𝜀𝑠 en prenant soin d’utiliser strictement les constantes décrites dans les lignes ci-dessus.
Exercice N°2 : Transformée de Laplace.
Q6. Résoudre l’équation différentielle suivante :
t 2
2
e 3 t y dt 8
t 8 dy dt
t y
2d ()+ ()+ ()= −
avec y(0) = 1 et y'(0) = -5
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DS 2 octobre 2020Problème : Etude des performances du système d'ouverture de porte automatique de TGV.
La figure ci-dessous montre l’interface assurant, à partir des informations délivrées par l’unité centrale de commande, la fermeture hermétique et le verrouillage d’une porte de TGV.
Interface fonctionnelle du système porte Afin de satisfaire les contraintes d'encombrement,
l'ouverture de la porte s'effectue selon l'enchaînement temporel de trois phases distinctes décrites à partir de la position « porte fermée » pour laquelle la face extérieure de la porte est alignée avec la face extérieure de la caisse : une phase de décalage puis une phase de louvoiement et enfin une phase d'escamotage. La phase primaire (décalage) puis la phase terminale (escamotage) sont définies par les figures ci-contre.
Les performances annoncées de la part du constructeur, dans la phase d'escamotage, sont les suivantes :
Critère Valeur
Accès suffisant du wagon 850 mm
Temps d'ouverture de la porte en phase d’escamotage t≤4s Vitesse d’accostage de la porte en fin de phase d’escamotage V≤0,09m/s
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DS 2 octobre 2020 Pour ouvrir la porte, on utilise un moteur, dont la rotation est transformée en translation par l'intermédiaire d'un système pignon crémaillère. La translation de la porte est notée y(t). L'angle de rotation du moteur est noté θm (t). Le lien entre y(t) et θm (t) est y(t) = Rp.θm (t) où Rp est le rayon du pignon (Rp=37 mm).On fait l'hypothèse qu'à l'instant initial, correspondant au début de la translation de la porte, la porte est immobile, avec y(0)=0 et θm(0)=0 (toutes les autres conditions initiales seront également nulles, par conséquent).
Grâce à une redéfinition du paramétrage et dans un souci de simplification, on considère qu'au cours de cette phase la vitesse angulaire du moteur vérifie 0
dt t t d m
m = ()
)
(
et la position de la porte
vérifie y(t) ≥ 0.
On donne le modèle de connaissance du moteur courant continu du système :
• um(t)=e(t)+Ri(t);
• e(t)=kem(t)
• Cm(t)=kmi(t)
• () ()
t dt C
t Jdm = m Avec :
• um (t) : tension du moteur ;
• e(t) : force contre électromotrice du moteur
• i(t) : intensité dans le moteur
• Cm (t): couple exercé par le moteur ;
• ωm (t): vitesse angulaire du moteur.
Et :
ℒ(𝑢𝑚(𝑡)) = 𝑈𝑚(𝑝) ; ℒ(𝑒(𝑡)) = 𝐸(𝑝) ; ℒ(𝑖(𝑡)) = 𝐼(𝑝) ; ℒ(𝐶𝑚(𝑡)) = 𝐶𝑚(𝑝) ; ℒ(𝜔𝑚(𝑡)) = Ω𝑚(𝑝) Q7. Exprimer les quatre équations précédentes dans le domaine de Laplace.
Q8. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre Ωm(p) et U(p) peut s'écrire sous la forme :
p T 1
K p
U p p H
m m
m = = +
) (
) ) (
( Où K et T sont deux constantes à déterminer.
Q9. Déterminer ωm(t) lorsque le moteur est soumis à un échelon de tension d'amplitude u0 tel que : um (t)= u0. u(t).
Exprimer et justifier le résultat en fonction de K,T et u0
Q10. L'application numérique fournit K=1,2 s −1 .V −1 et T=0,16 s. Calculer le temps de réponse à 5%
du moteur.
Le schéma bloc du système peut se mettre sous la forme suivante :
Q11. Déterminer l'expression littérale de
) (
) ) (
( U p
p p Y
H
m
0 =
Q12. Déterminer l'expression littérale de y(t) lorsque le moteur est soumis à un échelon de tension d'amplitude u0. (l’annexe 1 peut être d’une grande aide)
Q13. Déterminer la valeur numérique du déplacement de la porte au bout de 4s (u0 =5V), et conclure quant à la capacité du système à satisfaire le critère d'accès au wagon du cahier des charges.
Nota : 0,16 ∙ 𝑒0.16−4 négligeable devant 0,16
R
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DS 2 octobre 2020Exercice bonus : Portes rétractables
(+2 pts maxi ajoutés à la note sur 20 si la note obtenue pour les trois premiers exercices dépasse 14/20. La note totale maxi étant plafonnée à 20)
Des essais sont réalisés sur un système de portes en verre rétractables permettant de filtrer et sécuriser, à l’aide de badge, l’accès aux bureaux d’une administration ou d’une entreprise.
Le système, encore en phase de validation, est soumis à différents essais correspondant à différents réglages. Pour chacun d’entre eux, l’évolution de la distance parcourue latéralement par la porte par rapport à la position de départ porte fermée (0 m) est mesurée en fonction du temps (en seconde). Pour chacun de ces essais, la consigne de déplacement latéral imposée est de 1 m (les deux parties vitrées sont écartées de 1 m).
Les résultats obtenus sont présentés sur le document réponses en fin de sujet.
On demande :
QB1. Évaluer numériquement, pour chacun des essais les critères de performances du système de portes rétractables (voir document réponses).
QB2. Indiquer quel(s) essai(s) traduit(sent) le meilleur réglage en matière :
• de précision
• de rapidité
QB3. Indiquer les problèmes qui pourraient être engendrés du fait d’avoir une valeur du 1er dépassement trop élevée sur un tel système.
QB4.Parmi les trois, quel réglage choisiriez-vous de garder, argumenter.
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DS 2 octobre 2020Annexe1
Transforme es de Laplace courantes
Original (variable t)
(Fonction)
Image (variable p)
(Transformée)
Original (variable t)
(fonction)
Image (variable p)
(Transformée)
)
(t 1
) ( 1u t les fonctions linéaires sont proportionnelles donc :
) (t u A
p 1
p A
( )
( ) sin
t u t2
2
+ p
De la même manière : ) (t u t
) (t u t A
et de façon plus générale :
) (t u t A n
2
1 p p2
A
1
!
n+
p A n
( )
( ) cos
t u t2 2+ p
p
( )
t u(t) sh
2
2
− p
) (t u e−at
a p+
1 ch
( )
t u(t)2 2− p
p
) (t u t eat n
) 1
(
!
−a n+
p
n
(
e−atsin( )
t)
u(t)( )
2 2 + +a p )
(
1 e u t
t
− − p
(
1+p)
1
(
e−atcos( )
t)
u(t)(
+)
2+2 + a pa p
) (t u e t
t
−+ − p
(
1+p)
1
2
)
2 e u(t
t t
−
(
1+1p)
2D’autre part :
Original (variable t) Image (variable p)
(
1)
( )sin 1
2
2 e a t u t
a
t
a −
−
−
2 2
1 1 2
1
p ap+ +
(
1)
( )
sin 1
1 1 2
2 e a t u t
a
t
a − +
−
− −
avec : 1 2
sin= −a et cos =a
+ +
2 12 2
1
1
p a p
p
Nota : u(t) est appelée fonction de Heaviside, elle est telle que : u(t)=1 t0 et u(t)=0 t0
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DS 2 octobre 2020Document réponses (exercice bonus)
Essai réalisé à partir du premier réglage :
1er dépassement absolu : 1er dépassement relatif : Temps de réponse à 5% : Erreur statique :
Erreur statique relative :
Essai réalisé à partir du deuxième réglage :
1er dépassement absolu : 1er dépassement relatif : Temps de réponse à 5% : Erreur statique :
Erreur statique relative :
Essai réalisé à partir du troisième réglage :
1er dépassement absolu : 1er dépassement relatif : Temps de réponse à 5% : Erreur statique :
Erreur statique relative :
