Contrôle du samedi 3 octobre 2020 (2 heures)

(1)

T

^ale

spécialité

Contrôle du samedi 3 octobre 2020 (2 heures)

Prénom et nom : ………..……… Note :……..

/ 20

I. (1 point)

Soitx un réel quelconque.

Simplifier l’expression

3 2

e e A e e

x x

 

 en donnant un résultat sans quotient.

……….

II. (1 point)

Résoudre dans l’inéquation

 

3 2 2

e e 1

2 e

x x x

  

 

^{1 .}

……….

III. (1 point)

Vérifier que la fonction F :x



^x²^⁴^x^^{5 e}



^x est une primitive de la fonctionf :x



^x^^{1 e}



² ^x^sur^.

……….

IV. (5 points : 1°) 1 point ; 2°) 1 point ; 3°) 1 point ; 4°) 1 point ; 5°) 1 point)

On considère la fonctionf :x e²

x

x et l’on note

C

sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère



^{O, ,}^{i j}^{ }



^.

1°) Calculer f'

 

x .

……….……….

Compléter la phrase suivante :

'

f s’annule pour x... . 2°) Faire un tableau comprenant l’étude du signe de ^f^'

 

^x et les variations def.

On admet que ^{f x}

 

  _x   et que ^{f x}

 

  . Compléter le tableau de variations avec ces limites._x  

Calculer la valeur exacte du (ou des) extremum(s) et compléter le tableau de variations.

……….

(2)

3°) Calculer l’ordonnée du point A de

C

d’abscisse ln 3 et le coefficient directeur de la tangente à

C

en ce point.

……….

4°) Calculer le coefficient directeur de la tangente à

C

au point B d’intersection de

C

et de l’axe des ordonnées.

……….

5°) Déterminer les coordonnées du point I de

C

en lequel la tangente est parallèle à la droiteD d’équation 2 1 0

x y  .

……….

V. (4 points : 1°) 1 point ; 2°) 1 point ; 3°) 1 point ; 4°) 1 point) On considère la fonctionf :x1 4 e x ^^x.

1°) Vérifier que pour tout réelx, on a ^f^'

 

^x ^⁴



^x^^{1 e}



^^x^.

……….

'

f s’annule pour x... .

2°) Faire un tableau comprenant l’étude détaillée du signe de ^f^'

 

……….

On admet que f x

 

x_{  } ¹ et que f x

 

  . Compléter le tableau avec ces limites.x_{  }

3°) On note

C

la courbe représentative def dans le plan muni d’un repère



^{O, ,}^{i j}^{ }



^.

Compléter la phrase :

C

admet la droite d’équation ………. pour asymptote ………… en …… . Tracer avec soin la courbe

C

, la droite ainsi que la tangente horizontale sur le graphique.

(3)

O

Tracer la tangenteT à

C

au point A d’abscisse 0 en expliquant le tracé.

……….

4°) On admet qu’il existe un unique réel tel que f

 

 4.

Localiser entre deux entiers relatifs consécutifs puis déterminer un encadrement d’amplitude 0,01 de. On précisera la méthode utilisée.

……….

VI. (2 points : 1°) 1 point ; 2°) 1 point)

On considère l’équation différentielle y²y'²4

 

^{E .}

1°) Démontrer que la fonctionf :xe^xe^^x est une solution de

 

^{E .}

i

 j



……….

2°) Donner sans justifier une fonctiong constante sur, solution de

 

^{E .}

La fonctiong : x … est une solution de

 

^{E .}

VII. (3 points : 1°) 2 points ; 2°) 1 point) 1°) On considère le polynôme ^{P x}

 

^^x³^³^x²^²^.

Déterminer une racine évidente de ^{P x}

 

puis écrire une factorisation en produit de deux polynômes.

En déduire les racines de ^{P x}

 

^dans^.

……….

(4)

2°) On considère la fonctionf :x



^x³^⁶^x²^¹²^x^^{10 e}



^x et l’on note

C



^{O, ,}^{ }^{i j}



^.

À l’aide de la question 1°), déterminer les abscisses des points de

C

en lesquels la tangente est horizontale.

……….

………..……….

VIII. (3 points : 1°) 1 point ; 2°) 2 points

Le planP est muni d’un repère orthonormé



^{O, ,}^{i j}^{ }



^.

1°) Démontrer que la courbe

C

d’équation x²y²10x8y330 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

………..……….

2°) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de

C

avec la droiteD d’équation y x 2.

………..……….

Bonus (1 point) :

Résoudre dans l’inéquation e e 0

x x

a b



  oùa etb sont deux réels strictement positifs tels queab.

(5)

Corrigé du contrôle du 3-10-2020

I.

Soitx un réel quelconque.

Simplifier l’expression

3 2

e e A e e

x x

 

 en donnant un résultat sans quotient.

3 2

e e A e e

x x

 

 A e^x





^e² ¹



e

x x





^e^x^¹



(on factorise le numérateur et le dénominateur par e^x) e2 1

e 1 A

x x

 



 

^e ² ¹²

e 1 A

x x

 





^e ¹



¹

A

x ex



 

e^x1 (factorisation par identité remarquable) Ae^x1

II.

Résoudre dans l’inéquation

 

3 2 2

e e 1

2 e

x x x

  

 

^{1 .}

 

¹ ^Û ^e³₄ e 1 2e

x x x

  

 

¹ Ûe

e 1

2

x x

   

 

¹ ^Û ^e ¹

2

x

 

 

¹ Ûe^^x2

 

¹ Ûxln 2

 

¹ Ûxln 2

SoitS l’ensemble des solutions de

 

^{1 .}



^; ^{ln 2}



S   

III.

Vérifier que la fonction F :x



^x²^⁴^x^^{5 e}



^x est une primitive de la fonctionf :x



^x^^{1 e}



² ^x^sur^.

La fonction F est définie et dérivable sur par opérations algébriques sur les fonctions dérivables.

 x  ^F'

  

^x ^ ²^x^^{4 e}



^x^



^x²^⁴^x^^{5 e}



^x (dérivée d’un produit)

 x  ^F'

 

^x ^^_



²^x^{ }⁴

 

^x²^⁴^x^⁵



^_^e^x

 x  ^F'

 

^x ^



^x²^²^x^^{1 e}



^x

 x  ^F^'

 

^x ^



^x^¹



²^e^x

 x  F'

 

x f x

 

On en déduit que F est une primitive def sur.

IV.

On considère la fonctionf :x e²

x

x et l’on note

C



^{O, ,}^{i j}^{ }



^.

1°) Calculer ^f^'

 

^x ^.

La fonctionf est définie et dérivable sur par opérations algébriques sur les fonctions dérivables.

 x ^'

 

¹ ^e²

2

x

f x  

L’écriture ^{f x}

 

^{ }^x ^e^x est correcte mais ne sert pas à grand chose ici.

'

f s’annule pour x2 ln 2. 2°) Faire un tableau comprenant l’étude du signe de f'

 

x et les variations def.

Le signe de ^f^'

 

^x s’obtient aisément en résolvant deux inéquations et une équation.

(6)

x – 2ln 2 + Signe de ^f^'

 

^x + 0 –

Variations def

2 ln 2 2

– –

 

  _x   et que ^{f x}

 

  . Compléter le tableau de variations avec ces limites._x  



^{2 ln 2}



^{2 ln 2 e}^{2 ln 2}²

f  



^{2 ln 2}



^{2 ln 2} ^e^{ln 2}

f  



2ln 2



2ln2 2

f  

3°) Calculer l’ordonnée du point A de

C

d’abscisse ln 3 et le coefficient directeur de la tangente à

C

en ce point.

 

^{ln 3} ^{ln 3 e}^{ln 3}²

f  

 

^l^{n 3} ^ln³ ^e^ln3

f  

 

ln 3 l 3n 3

f  

 

ln 3

e2

' ln 3 1 f   2

 

³

' ln 3 1

f   2

4°) Calculer le coefficient directeur de la tangente à

C

au point B d’intersection de

C

et de l’axe des ordonnées.

 

^e⁰

' 0 1 f  2

 

2

' 0 1

1

f  

 

¹

' 0 2

f 

5°) Déterminer les coordonnées du point I de

C

en lequel la tangente est parallèle à la droiteD d’équation 2 1 0

x y  .

D a pour coefficient directeur 1

2.

On est donc amené à résoudre l’équation ^'

 

¹

f x  2

 

^{1 .}

 

¹ ^Û¹ ^e² ¹

2 2

x

  

 

¹ Û e² 3 2 2

x



 

¹ ^Ûe² 3

x



 

¹ ^Û ^{ln 3}

2 x

 

1 Ûx2 ln 3

On calcule ^f



^{2 ln 3}



^^{2 ln 3 e}^ ^{ln 3}^^{2ln 3 3}^ ^.

Le point I de

C

en lequel la tangente est parallèle àD a pour coordonnées



2 ln 3 ; 2 ln 3 3



.

V.

On considère la fonctionf :x1 4 e x^^x.

1°) Vérifier que pour tout réelx, on a ^f^'

 

^x ^⁴



^x^^{1 e}



^^x^.

La fonctionf est définie et dérivable sur par opérations algébriques sur les fonctions dérivables.

 x  ^f^'

 

^x ^{   }⁴



^{1 e}^^x^{  }^x



^e^^x

 

 x  ^f^'

 

^x  ^{4 1}



^x



^e^^x

 x  ^f^'

 

^x ⁴



^x¹



^e^^x

'

f s’annule pour x1.

(7)

2°) Faire un tableau comprenant l’étude détaillée du signe de ^f^'

 

x – 1 +

Signe de x1 – 0 +

Signe de e^x + 0 +

Signe de f'

 

x – 0 +

Variations def + 1

1 4

e

 

¹ ^{1 4 1 e}¹ ¹ ⁴

f     ^  e

 

_x_{  } ¹ et que ^{f x}

 

  _x_{  } . Compléter le tableau avec ces limites.

3°) On note

C

la courbe représentative def dans le plan muni d’un repère



^{O, ,}^{ }^{i j}



^.

Compléter la phrase :

C

admet la droite d’équation y1 pour asymptote horizontale en + ∞.

Tracer avec soin la courbe

C

, la droite ainsi que la tangente horizontale sur le graphique.

O

C

T

 A

i

 j

 1 4

e

On place d’abord le point d’abscisse 1 et la tangente horizontale en ce point.

Ensuite, on trace l’asymptote horizontale puis on place quelques points.

Tracer la tangenteT à

C

au point A d’abscisse 0 en expliquant le tracé.

Le coefficient directeur deT est égal au nombre dérivé def en 0.

On a ^f^{' 0}

  

^{4 0 1} 



^e^⁰ ⁴ donc la tangenteT à

C

en A a pour coefficient directeur – 4.

4°) On admet qu’il existe un unique réel tel que ^f

 

 ⁴.

Localiser entre deux entiers relatifs consécutifs puis déterminer un encadrement d’amplitude 0,01 de. On précisera la méthode utilisée.

On observe aisément sur le graphique que    1 0. On peut aussi le vérifier en constatant que ^f

 

^{ }¹ ⁴^et

 

⁰ ⁴

f  .

On se place sur l’intervalle



^{1 ; 0}



.

La fonctionf est strictement décroissante sur cet intervalle.

On utilise la méthode de balayage.

On constate que ^f



^^{0, 5}



^⁴^{et que} ^f



^^{0, 4}



^⁴^donc0,5   0, 4. On recommence avec l’intervalle



^^{0, 5 ;}^^{0, 4}



^.

On constate que ^f



^^{0, 47}



^⁴^{et que} ^f



^^{0, 46}



^⁴^donc^{0, 47}   ^{0, 46}.

Ce dernier encadrement est en accord avec la valeur approchée de a obtenue grâce à la commande de résolution des équations de la calculatrice.

VI.

On considère l’équation différentielle y²y'²4

 

^E ^.

1°) Démontrer que la fonctionf :xe^xe^^x est une solution de

 

^{E .}

Attention, on ne cherche pas du tout à résoudre l’équation

 

E . On cherche juste à vérifier que la fonctionf est une solution de

 

E .

La fonctionf est définie et dérivable sur comme somme de fonctions dérivables.

 x  ^f^'

 

^x ^^e^x^^e^^x

(8)

 x  ^^{f x}

 

^²^^^f^'

 

^x^²^



^e^x^^e^^x

 

²^ ^e^x^^e^^x



²

 x  ^^{f x}

 

^²^^^f^'

 

^x^²



ê²^x^2e^xê^^xê^²^x

 

 ê²^x^2e^xê^^xê^²^x



 x  ^^{f x}

 

^²^^^f^'

 

^x^²



^e²^x ^{2 e}^²^x

 

 ^e²^x ^{2 e}^²^x



 x  ^_^{f x}

 

^_²^^_^f^'

 

^x^_²^⁴

Donc la fonctionf est une solution particulière de

 

^{E .}

2°) Donner sans justifier une fonctiong constante sur, solution de

 

E . La fonctiong : x 2 est une solution de

 

^{E .}

VII.

1°) On considère le polynôme^{P x}

 

^^x³^³^x²^²^.

Déterminer une racine évidente de ^{P x}

 

puis écrire une factorisation en produit de deux polynômes.

En déduire les racines de ^{P x}

 

^dans^.

On a ^P

 

¹ ⁰ donc 1 est une racine de ^{P x}

 

^.

On sait que le polynôme^{P x}

 

peut alors se factoriser par



^x¹



c’est-à-dire ^{P x}

  

 ^x ¹

  

^{Q x} où^{Q x}

 

^{est un}

polynôme.

On obtient aisément ^{P x}

  

^ ^x^¹

 

^x²^²^x^²



(méthode en devinant / méthode des coefficients indéterminés / méthode de division euclidienne polynomiale).

On vérifie que cette égalité est correcte en développant le membre de droite.

Les racines du polynôme x²2x2 sont 1 3 et 1 3 (obtenues grâce au discriminant réduit).

Les racines de^{P x}

 

sont donc 1, 1 3 et 1 3.

On effectue une vérification grâce à la calculatrice (résolution des équations polynomiales).

2°) On considère la fonctionf :x



^x³^⁶^x²^¹²^x^^{10 e}



^x et l’on note

C



^{O, ,}^{ }^{i j}



^.

À l’aide de la question 1°), déterminer les abscisses des points de

C

en lesquels la tangente est horizontale.

 x  ^f^'

 

^x ^



³^x²^¹²^x^¹²



^{ }^e^x



^x³^⁶^x²^¹²^x^^{10 e}



^x

 x  ^f^'

 

^x ^



^x³^³^x²^^{2 e}



^x

On constate que  x ^f^'

 

^x ^{P x}

 

^e^x.

Les abscisses des points de

C

en lesquels la tangente est horizontale sont les valeurs d’annulation de ^f^'

 

^x ^.

On sait que e^x ne s’annule pas donc les valeurs d’annulation de ^f^'

 

^x sont les racines de^{P x}

 

^.

Les points de

C

en lesquels la tangente est horizontale ont pour abscisses 1, 1 3 et 1 3.

VIII.

Le planP est muni d’un repère orthonormé



^{O, ,}^{i j}^{ }



^.

1°) Démontrer que la courbe

C

d’équation x²y²10x8y330 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Soit M un point quelconque deP, de coordonnées



^{x y}^;



^.

M

C

Ûx²y²10x8y330 M

C

Û



^x^⁵



²^²⁵^



^y^⁴



²^^{16 33}^ ^⁰

M

C

Û



^x^⁵

 

²^ ^y^⁴



²^⁸

La dernière égalité obtenue permet d’affirmer que

C

est le cercle de centre



5 ; 4



et de rayon 2 2 . 2°) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de

C

avec la droiteD d’équation y x 2. Les abscisses des points d’intersection de

C

^etD sont les solutions de l’équation

 

²

 

2 2 10 8 2 33 0

x  x  x x  

 

^{1 .}

Cette équation s’appelle l’équation aux abscisses des points d’intersection de

C

^et^D.

 

¹ ^Û^x²^x²⁴^x ^{4 10}^x⁸^x^{16 33} ⁰

 

¹ ^Û²^x²²²^x⁵³⁰

 

¹ ^Û ¹¹ ¹⁵

x 2 ou 11 15

x 2 (on utilise le discriminant réduit)

 

²

' 11 2 53

     121 1

' 06

 

1

' 5

  ' 0

  donc l’équation admet deux racines distinctes dans, x₁ et x₂ : ₁ 11 15

x  2 et ₂ 11 15 x  2 .

(9)

Les points d’intersection de

C

^etD ont pour coordonnées 11 15 7 15

2 ; 2

   

 

  et 11 15 7 15

2 ; 2

   

 

 .

On calcule les ordonnées de ces points grâce à l’équation réduite deD.

Bonus :

Résoudre dans l’inéquation e e 0

x x

a b



  oùa etb sont deux réels strictement positifs tels queab.

On doit résoudre dans l’inéquation e e 0

x x

a b



 

 

1. 1^ère méthode : On dresse un tableau de signes.

Les valeurs charnières sont lna et lnb.

Comme la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur^*_, on a lnalnb. On peut éventuellement effectuer un changement de variable Xe^x.

2^e méthode :

 

1 Û e 0

e 0

x x

a b

 

 





 ou e 0

e 0

x x

a b

 

 





 

1 Û …

On obtient ^S^{  }



^{; ln}^a

 

^ ^{ln ;}^b ^{ }



^.