M ´ethodes du chapitre 4
Dénombrement
1 Cardinal d’un ensemble fini
Exemple 1. Card(t, , , , u) = 5.
Exemple à connaître 1. Soit pď q deux entiers. Le cardinal de Jp, qK (tous les entiers compris entrepetqinclus) estq´p+ 1.
Pour dénombrer un ensemble (i.e.trouver son cardinal), il faut toujours se poser les questions
« qu’est ce qu’on choisit ? », « parmi quoi ? ».
ß Ex. 101, 102 Méthode 1. Dénombrer un ensemble simple
Exercice d’application 1. On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Combien de possibilités pour choisir un cœur ? Autrement dit, siE est l’ensemble des cartes du jeu de 32 cartes etA est la partie deE constituée des cœurs, quel est Card(A)?
å
2 Principe multiplicatif et principe additif
Si on cherche à dénombrer des objets construits en plusieurs étapes, on peut représenter ces objets comme les différentes branches d’un arbre simple :
Méthode 2. Principe multiplicatif
Etape1 Etape2 Etapen
m1 possibilités m2 possibilités mn possibilités
S’il y anétapes, et qu’à l’étapek, il y amkpossibilités (mkbranches si on représente la situation avec un arbre), alors le nombre total d’objets estm1ˆm2ˆ ¨ ¨ ¨ ˆmn.
ß Ex.103, 104, 105,106, 108, 109,110,111, 114, 115 Exemple 2. Un berger possède 2 moutons non infirmes. Pour compter les pattes de moutons du champs, on peut procéder en deux étapes :
1. on regarde le nombre de choix de moutons qu’il y a ;
2. on regarde le nombre de choix de pattes qu’il y a pour un mouton.
On peut résumé cela avec un dessin :
Choix d’un mou- ton :2possibilités
Choix d’une patte : 4
On retrouve qu’il y a 2ˆ4 choix possibles en tout. On peut aussi faire un arbre comme dans la méthode :
Mouton 1
Patte 1 Patte 2 Patte 3 Patte 4
Mouton 2
Patte 1 Patte 2 Patte 3 Patte 4 Ainsi, il y a2ˆ4 = 8pattes de moutons.
Exemple 3. Soitn un entier naturel. Combien y a-t-il de couples (x, y)d’entiers avec 1 ďxďn, 1ďyďnetx‰y?
Pour construire un tel couple, on peut par exemple choisirx, puis choisiry. Il y anvaleurs possibles pourxet, pour chacune de cesnvaleurs, il resten´1valeurs restantes poury. Ainsi, il y a en tout n(n´1)couples possibles.
Choix de la pre- mière coordonnée : npossibilités
Choix de la se- conde coordonnée : n´1possibilités
Exercice d’application 2. Dans une salle, il y a 10 femmes et 15 hommes. Combien de possibilités pour choisir un couple mixte de danseurs ?
å
Exercice d’application 3. En utilisant l’alphabet français (qui contient 26 lettres ), combien existe-t-il de mots de 3 lettres (successions de 3 lettres : le mot n’a pas forcément de sens) ne se terminant pas par la lettree?
å
On rappelle que siE1 etE2 sont une partition deE, alors Card(E1) +Card(E2) =Card(E). Cette formule donne le principe suivant.
Si les éléments de l’ensembleE sont du type Aou du typeB et qu’ils ne peuvent être à la fois du typeA et du type B, alors le cardinal de E est égal à la somme du cardinal de l’ensemble des éléments du typeAet du cardinal de l’ensemble des éléments du typeB.
ß Ex. 102, 109,110,111, 113, 117 Méthode 3. Principe de disjonction (ou principe additif)
Exemple 4. On veut déterminer le nombre d’entiers compris entre 1 et 1000 dont la somme des chiffres vaut3.
On va représenter un entier entre 1 et 999 par un triplet(a, b, c), où a est le chiffre des centaines,b celui des dizaines etccelui des unités. On cherche donc le nombre de triplets(a, b, c)d’entiers deJ0,9K tels quea+b+c= 3.
NotonsE=
!
(a, b, c)PJ0,9K3ˇ ˇ
ˇa+b+c= 3
). Distinguons suivant la valeur prise para:apeut valoir au maximum3, ainsiE=A0YA1YA2YA3, où
A0=t(0, b, c)|b+c= 3u, A1=t(1, b, c)|b+c= 2u, A2=t(2, b, c)|b+c= 1u, A3=t(3, b, c)|b+c= 0u, et lesAi sont clairement deux à deux disjoints. On a donc
Card(E) =
3
ÿ
k=0
Card(Ai) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10.
Il y a dix entiers compris entre 1 et 1000 dont la somme des chiffres vaut 3.
Exercice d’application 4. Combien y a-t-il de cartes qui sont dame ou cœur dans un jeu de 32 cartes ?
å
Exercice d’application 5. Une urne contient2nboules numérotées de 1à 2nqu’on tire successi- vement sans remise. Combien de tirages peut-on faire pour lesquels un numéro pair est toujours suivi d’un numéro impair et un numéro impair d’un numéro pair ?
On pourra séparer des cas suivant que le premier numéro est pair ou impair.
å
Quand on a un ensemble décrit avec « au plus » (ou « au moins »), on le décompose en ensembles disjoints. Par exemple, si on veut compter l’ensembleAdes étudiants d’un lycée pratiquant au plus deux sports, on procédera par disjonction de cas en dénombrant :
‚ A0: l’ensemble des étudiants qui pratiquent0sport ;
‚ A1: l’ensemble des étudiants qui pratiquent exactement 1sport ;
‚ A2: l’ensemble des étudiants qui pratiquent exactement 2sports.
Ainsi, A=A0YA1YA2 et puisque l’union est disjointe (si on est dans un ensemble on n’est Méthode 4. Dénombrer un problème décrit avec « au plus » ou « au moins »
pas dans un autre), Card(A) =Card(A0) +Card(A1) +Card(A2).
Parfois, il est plus simple de passer par le complémentaire ! En effet, si on veut dénombrer l’ensemble B des étudiants qui pratiquent au moins trois sports il est impossible de le faire directement. Par contre, le complémentaire deB estA, donc on a :
Card(B) =Card(E)´Card(A), où désigne désigne l’ensemble des étudiants du lycée.
ß Ex. 109,110, 111, 113
Exercice d’application 6. Combien y a-t-il de code de trois chiffres contenant au moins deux chiffres pairs ?
å
Exercice d’application 7. Combien y a-t-il de code de trois chiffres contenant au moins un chiffre pair ?
å
3 Produit cartésien et listes
Exemple 5. DansE=t, , , , u, le triplet( , , )est une3-liste.
Les listes sont utilisées pour modéliser des tiragessuccessifs(car l’ordre compte) etavec remise (car les répétitions sont autorisées).
Pour dénombrer de tels tirages, soit on se rappelle que dans un ensemble ànéléments le nombre p´listes estnp, soit on revient au principe multiplicatif.
ß Ex. 107, 108, 110 Méthode 5. Modélisation des tirages successifs et avec remise
Exemple 6. On veut déterminer de combien de façons peut-on tirer cinq cartes successivement avec remise dans un jeu de 52 cartes.
D’après le corollaire, la réponse est525= 380 204 032.
Avec le principe multiplicatif on retrouve facilement le résultat : on a52choix pour la première carte, 52choix pour la seconde carte (car la première carte a été replacée dans le jeu), etc. D’où525 choix au total.
Exercice d’application 8. On lance dix fois de suite une pièce de monnaie et on regarde si la pièce est tombée sur pile ou sur face. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
å
Exercice d’application 9. Combien y a-t-il de mots de 5 lettres contenant le mot « ECG » (par exemple, « AECGB », « ABECG ») ?
å
4 Arrangements
Exemple 7. DansE=t, , , , u, les triplets(, , )et( , , )sont deux 3-arrangements de Edifférents (l’ordre compte).
Exemple à connaître 2. SoitnPN‹. Il y a autant de bijection deJ1, nKdansJ1, nKque de façons de réarrangerJ1, nK. Ainsi, il y an!bijections deJ1, nKdansJ1, nK.
Les arrangements sont utilisés pour modéliser des tiragessuccessifs (où l’ordre compte) et sans remise (où les répétitions sont interdites).
Pour dénombrer de tels tirages, soit on se rappelle que dans un ensemble ànéléments le nombre dep´arrangements est n!
(n´p)!, soit on revient au principe multiplicatif.
ß Ex. 107, 110 Méthode 6. Modélisation des tirages successifs et sans remise
Exemple 8. De combien de façon peut-on tirer cinq cartes successivement sans remise dans un jeu de 52 cartes ?
La proposition donne directement la réponse : 52!
(52´5)! = 52ˆ51ˆ50ˆ49ˆ48 = 311 875 200.
Exercice d’application 10. Une course de chevaux compte sept chevaux au départ. Combien de trios gagnants sont possibles ?
å
Exercice d’application 11. SoitnPN‹. De combien de façons peut-on asseoirnpersonnes (a) sur un banc rectiligne ?
(b) autour d’une table ronde ? å
5 Combinaisons
Exemple 9. DansE=t, , , , u, les ensemblest, , u,t , , uett , , , udésignent les mêmes3´combinaisons (l’ordre ne compte pas).
Exemple 10. Dans une classe de 47 places, de combien de manières peut-on placer 41 élèves ? Raisonnons sur les élèves que l’on numérote artificiellement :
‚ choix de la table pour le premier élève : 47 possibilités ;
‚ choix de la table pour le deuxième élève : 46 possibilités ;
‚ ...
‚ choix de la table pour l’avant-dernier élève : 8 possibilités ;
‚ choix de la table pour le dernier élève : 7 possibilités.
Il y a donc 47ˆ46ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ8ˆ7 = 47!
6! façons de placer les élèves (on choisit les élèves dans un certain ordre et sans répétition : on retrouve donc le nombre de41´arrangements dans un ensemble de cardinal47).
Aurait-on pu ici raisonner sur les tables ?
C’est possible, mais il faut commencer par choisir les 6 tables qui resteront inoccupées.
Le nombre de manières de placer les 41 élèves dans la salle est décrit par les étapes :
‚ choix des 6 places inoccupées : (47
6 )
possibilités ;
‚ choix de l’élève pour la première table non vide : 41 possibilités ;
‚ choix de l’élève pour la deuxième table non vide : 40 possibilités ;
‚ ...
‚ choix de l’élève pour l’avant-dernière table non vide : 2 possibilités ;
‚ choix de l’élève pour la dernière table non vide : 1 possibilité.
Au total, on obtient donc (47
6 )
ˆ41!façons de placer les élèves.
Puisqu’on a dénombré de deux manières le même ensemble, on en déduit que (47
6 )
= 47!
6!41!.
Les combinaisons sont utilisées pour modéliser des tirages simultanés (l’ordre ne compte pas et les répétitions sont interdites).
ß Ex. 107, 108,112,113, 115, 116 Méthode 7. Modélisation des tirages simultanés
Exemple à connaître 3. ‚ On a (n
n )
= n!
n!1! = 1. C’est cohérent, car il y a1façons de choisir simultanémentnéléments dans un ensemble ànéléments.
‚ On a (n
0 )
= n!
0!n! = 1. C’est cohérent car il n’y a qu’une seule façon de ne choisir aucun élément dans un ensemble ànéléments.
‚ On a (n
1 )
= n!
1!(n´1)! =n. C’est cohérent, car il y an façons de choisir un élément dans un ensemble ànéléments.
‚ On a ( n
n´1 )
= n!
1!(n´1)! =n. C’est cohérent, car il y a nfaçons de choisir n´1 élément dans un ensemble ànéléments (il faut tous les choisir sauf1: il y anfaçons de choisir l’élément restant).
‚ On a (n
2 )
= n!
2!(n´2)! = n(n´1)
2 .
Exemple à connaître 4. On considère l’arbre suivant, qui modélise trois répétitions d’une même expérience qui peut conduire soit à un succès (S), soit à un échec (S).
S
S S
S
S S
S
S
S S
S
S S
S On a par exemple
(3 2 )
situations qui conduisent à2succès (en effet, cela revient à choisir simultané- ment les deux positions des succès).
De même, il y a (3
p )
situations qui conduisent àpsuccès. Plus généralement, pour un arbre corres- pondant ànrépétitions, il y a
(n p )
situations qui conduisent àpsuccès.
Exercice d’application 12. De combien de façons peut-on tirer cinq cartes simultanément dans un jeu de 52 cartes ?
å
On appelle anagramme d’un mot tout autre mot composé des mêmes lettres mais dans un ordre quelconque. Par exemple, une anagramme de « GALILEE » est « EGAILLE ». Une autre anagramme est aussi « AEEIGLL ».
Pour dénombrer des anagrammes, on peut dénombrer les positions possibles des différentes lettres. Si les lettres sont indiscernables, il faut bien penser à choisir simultanément la position des lettres identiques. Par exemple, cherchons les anagrammes de « ARA ». Si on cherche séparément les positions de chaque lettre, on commet une erreur puisque certains mots sont comptés deux fois (par exemple ARA).
A_ _
A R_ A R A
A_R A A R
_A _
R A_ R A A
_A R A A R
_ _ A
R_A R A A
_R A A R A
En effet, en procédant ainsi, on considère les lettres discernablesA1R2A3. Ainsi les motsA1R2A3
etA3R2A1sont distincts, alors qu’en réalité on lit le même mot !
Pour traiter correctement cet exercice, il faut placer simultanément les lettres identiques ! Méthode 8. Dénombrer des anagrammes
‚ Positions des deux A: (3
2 )
= 3possibili- tés.
‚ Position du R : 1 possibilité (il ne reste plus qu’une place si deux lettres sont déjà placées).
En tout, (3
2 )
ˆ1 = 3anagrammes de « ARA ».
A A_ A A R
A_A A R A
_A A R A A
ß Ex. 115, 116
Exercice d’application 13. Combien d’anagrammes du mot « BOROROS » (peuple amérindien du Brésil) existe-t-il ?
å
Exercice d’application 14. Soit(n, p)P(N‹)2. On dispose denurnes numérotées de 1àn, dont chacune peut accueillir autant de boules qu’on le souhaite. De combien de manières peut-on y ranger pboules indiscernables ? Une représentation du problème pourn= 4et p= 10est donnée ci-après.
Indication. Les rangements étudiés peuvent être vus sans ambiguïté comme des mots. On traduira par l’exemple la représentation ci-avant par le mot «˝ ˝ ˝| ˝ ˝ ˝ ˝ ˝ ˝||˝», dans lequel le symbole «˝» désigne une boule et le symbole «|» la séparation de deux urnes successives. Les mots ainsi formés contiennent tous exactementpsymboles «˝» etn´1symboles «|» (attention : il y anurnes, mais seulementn´1 séparations entre elles).
å
6 Formules de combinatoire
La formule du triangle de Pascal est utile pour calculer les coefficients binomiaux de proche en proche. Quand on connaît une ligne, on passe à la suivante en ajoutant le coefficient juste au dessus et son coefficient immédiatement à gauche.
Méthode 9. Calculer des coefficients binomiaux avec le triangle de Pascal
nk 0 1 2 3 4 5 ¨ ¨ ¨
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
... ... . ..
(n k )
+ ( n
k+ 1 )
= (n+ 1
k+ 1 ) Formule de Pascal
On lit par exemple que (5
3 )
= 10.
ß Ex. 121
Exercice d’application 15. Déterminer tous les (6
k )
, oùkPJ0,6K. å
Exemple à connaître 5. Soit(a, b)PR2. On a
‚ (a+b)2=a2+ 2ab+b2.
‚ (a´b)2=a2´2ab+b2 (il suffit de remplacerb par´bdans la formule précédente).
‚ (a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3.
‚ (a+b)3=a3´3a2b+ 3ab2´b3(il suffit de remplacer bpar´b dans la formule précédente).
La formule du binôme de Newton donne une nouvelle somme de référence. Dès qu’un coefficient binomial apparaît dans une somme, il faut penser au binôme de Newton !
Les méthodes vues précédemment restent valables : changement d’indice, ajout ou retrait de termes... Dans une somme du type
n
ÿ
k=a
(m k
) . . .
la formule du binôme devra être appliqué au rang m (c’est donc ce qui apparaît « en haut » dans le coefficient binomial qui dicte tout).
ß Ex. 120,121, 122, 124 Méthode 10. Simplifier des sommes avec la formule de Newton
Exercice d’application 16. SoitnPN. CalculerA=
n
ÿ
k=0
(n k )
2k puisB=
n´1
ÿ
k=1
(n k )
2k. å
7 Bilan pratique pour les exercices de dénombrement
En pratique, un problème de dénombrement peut être compliqué, mais il y a tout de même une trinité merveilleuse de modèles de base auxquels on peut presque toujours se ramener :
Propriétés de l’ob-
jet à dénombrer Modélisé par Exemple fondamental Écriture Ordre Éléments
tous distincts
Non Oui Parties d’un ensembleE :
on utilise des combinai- sons
Tirages simultanés t...;....;...u
Oui Non p´uplets d’éléments d’un même ensembleE: on uti- lise des listes
Tirages successifs avec re- mise
(...;...;...)
Autre méthode : principe multiplicatif
Oui Oui p´uplets d’éléments d’un même ensembleE, sans ré- pétition : on utilise des ar- rangements
Tirages successifs sans re- mise
(...;...;...)
Autre méthode : principe multiplicatif
Non Non On modifie la modélisation pour se ramener à l’un des trois cas précédents
8 Exercices
Exercice 101 . On possède un jeu de 32 cartes. On note A l’ensemble « les deux cartes tirées sont rouges », B l’ensemble « les deux cartes tirées sont un valet et un dix » et C l’ensemble « les deux cartes tirées sont une figure (un personnage) ».
1. Que représenteA,AXB, BXC et(AXB)XC.
2. À l’aide des ensembles A, B et C, décrire les ensembles F : « les deux cartes tirées sont des figures et ne sont pas toutes les deux rouges » etG: « on obtient au plus une figure rouge ».
Exercice 102. Dans une classe de 38 élèves étudiant chacun au moins une langue, 31 étudient l’anglais, 24 l’espagnol, 17 l’allemand et 12 étudient à la fois anglais et allemand, 9 étudient espagnol et allemand, et 4 élèves étudient les trois langues simultanément. Calculer le nombre d’élèves :
1. étudiant l’anglais et l’espagnol ; 2. étudiant l’anglais ou l’espagnol ; 3. étudiant uniquement l’allemand.
Exercice 103. Dénombrer les nombres de 4 chiffres écrits uniquement avec les chiffres 1, 2 et 3.
Exercice 104 . En utilisant l’alphabet français, donner le nombre de mots de trois lettres que l’on peut former en obéissant aux règles suivantes :
‚ la première lettre du mot est l’une des voyelles A,E,I,O,U mais pas Y ;
‚ la deuxième lettre du mot est l’une des 3 lettres suivant, dans l’alphabet, la voyelle précédente ;
‚ la dernière lettre du mot est l’une des 6 voyelles A,E,I,O,U,Y, mais pas celle qui est la première lettre.
Exercice 105. À la carte d’un restaurant, il y a3entrées,2plats et4 desserts possibles. combien de menus (une entrée, un plat, un dessert) sont possibles ?
Exercice 106. À partir d’un alphabet deplettres, combien de mots denlettres peut-on former qui ne contiennent jamais deux lettres identiques consécutives ?
Exercice 107. SoitE=t1,2,3u.
1. Écrire toutes les2´combinaisons deE.
2. Écrire tous les2´arrangements deE.
3. Peut-on écrire toutes les2´listes deE? Donner deux exemples de2´liste deE.
Exercice 108 . Une urne contient dix boules numérotées de 0 à 9. On tire quatre boules de l’urne.
Dénombrer le nombre de tirages possibles dans les trois cas suivants : 1. les tirages sont successifs et sans remise ;
2. les tirages sont successifs et avec remise ; 3. les tirages sont simultanés.
Exercice 109. On rappelle qu’un jeu de 32 cartes est constitué de quatre familles : pique, cœur, carreau et trèfle, chacune constituée de huit cartes : As, Roi, Dame, Valet, 10, 9, 8, 7. On tire successivement et sans remise huit cartes dans un jeu de 32 cartes.
1. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2. Combien de tirages contiennent au moins un as ?
3. Combien de tirages comprennent au moins un pique ou une dame ?
Exercice 110. On jette quatre dés à 6 faces numérotées de 1 à 6.
1. Dénombrer les résultats possibles.
2. Dénombrer les résultats comportant 4 nombres différents.
3. Dénombrer les résultats ne comportant pas le chiffre 1.
4. Dénombrer les résultats comportant au moins une fois le chiffre 1.
5. Dénombrer les résultats comportant exactement une fois le chiffre 1.
Exercice 111. On considère une boite contenant 2 boules bleues et 4 boules jaunes. On tire successi- vement et en les remettant à chaque fois 10 boules de l’urne. Pour toutes les questions, on donnera la formule sans calculer le résultat.
1. Dénombrer tous les résultats possibles.
2. Dénombrer les résultats où on obtient : (a) une boule bleue exactement ; (b) deux boules bleues exactement ;
(c) au moins trois boules bleues.
Exercice 112 . Un sac possède des chaussettes toutes identiques, hormis la couleur. Il y a 6 chaus- settes noires, 2 chaussettes vertes et 4 chaussettes rouges. On choisit au hasard deux chaussettes simultanément.
1. (a) Combien y a-t-il de tirages possibles ? (b) Combien y a-t-il de résultats possibles ?
2. Combien de tirages amènent deux chaussettes rouges ?
3. Combien de tirages amènent deux chaussettes de la même couleur ?
Exercice 113. Dans un jeu de 32 cartes, on choisit (simultanément) cinq cartes au hasard.
1. Quel est le nombre total de mains que l’on peut obtenir ? (une main désigne les cartes détenues par le joueur)
2. Combien de ces mains contiennent exactement 4 as ?
3. Combien de ces mains contiennent exactement 3 as et 2 rois ? 4. Combien de ces mains contiennent au moins 3 rois ?
5. Combien de ces mains contiennent au moins un as ?
6. Combien de ces mains contiennent exactement 2 as et 2 carreaux ?
Exercice 114 . Douze livres deux à deux distincts sont placés côte à côte sur une étagère. Parmi ceux-ci, trois constituent les trois tomes d’un roman.
1. Quel est le nombre de dispositions de ces douze livres pour lesquelles les trois tomes du roman sont côte à côte, dans l’ordre (de gauche à droite : tome 1, 2 puis 3) ?
2. Quel est le nombre de dispositions de ces douze livres pour lesquelles les trois tomes du roman sont côte à côte, mais pas forcément dans l’ordre ?
Exercice 115. On appelle anagramme d’un mot tout autre mot composé des mêmes lettres mais dans un ordre quelconque. Par exemple, une anagramme de « GALILEE » est « EGAILLE ». Une autre anagramme est aussi « AEEIGLL ».
Combien d’anagrammes du mot « BOROROS » (peuple amérindien du Brésil) existe-t-il ?
Exercice 116. Soit(n, p)P(N‹)2.
Une fourmi se déplace sur une grille contenant nlignes etpcolonnes (une représentation pour n= 3etp= 4est donnée ci-contre). Le départ est au coin supérieur gauche, et l’arrivée au coin inférieur droit. Combien de chemins de longueur minimale peut-elle emprunter pour gagner le point d’arrivée depuis son point de départ ?
Départ
Arrivée
Exercice 117. SoitnPN.
1. Déterminer le nombre de solutions de l’équationx+y=ndansN2. 2. Déterminer le nombre de solutions de l’équationx+y+z=ndansN3.
3. On décide de représenter les solutions dex+y+z =n dansN3 de la manière suivante : une solution(x, y, z) est codée par le mot binaire comportant des séquences de x, y et z chiffres 1 séparées par le chiffre0 : par exemple, pour n = 6, la solution (2,1,3) sera codée par le mot binaire11010111.
Retrouver le résultat de la question 2 en utilisant cette représentation des solutions.
4. Déterminer le nombre de solutions de l’équationx1+x2+¨ ¨ ¨+xp=ndansNp. 5. Déterminer le nombre de solutions de l’équationx1+x2+¨ ¨ ¨+xp=ndans(N‹)p. 6. Combien y a-t-il de façons de rangernobjets indiscernables dansntiroirs différents ?
Exercice 118 . En utilisant la formule de Pascal, montrer par récurrence que pour tout nPN, Hn :
« pour toutpPJ0, nK, (n
p )
= n!
p!(n´p)! » est vraie.
Exercice 119. Résoudre l’équation (n
1 )
+ (n
2 )
+ (n
3 )
= 5n, d’inconnuenPNzt0,1,2u.
Exercice 120. SoitnPN. Calculer les sommes suivantes.
1.
n
ÿ
k=0
(n k )
2k¨5n´k; 2.
n
ÿ
k=0
(n k )
(´1)k¨2k¨3n´k; 3.
n
ÿ
k=0
(n k )
3k.
Exercice 121. 1. Énoncer la formule du binôme de Newton.
2. Quel est le coefficient du terme enx3y5 dans le développement de l’expression(2x´y)8? 3. Calculer les sommes suivantes, oùnPN etxP[0 ; 1],
A=
n
ÿ
k=0
(n k )
B =
n
ÿ
k=1
(n k )
x2k C=
n
ÿ
k=0
xk(1´x)n´k D=
n
ÿ
k=0
(n k )
(´1)k
E=
n
ÿ
k=1
(n´1 k´1 )
2k F =
n+1
ÿ
k=2
( n k´2
)
n3n+2k G=
n+1
ÿ
k=3
( n k´2
)
Exercice 122. SoitnPN. Calculer la somme :
n
ÿ
k=0
k (n
k )
.
Exercice 123. SoitnPN. Calculer la somme :
n
ÿ
k=0
1 k+ 1
(n k )
.
Exercice 124. SoitnPN. Calculer la somme :
n
ÿ
k=0
1 k+ 1
(n k )
.
