Il existe unGδ denseE⊂ C2π tel que pour toutf ∈E,S∗(f

Divergence de séries de Fourier

Rappels et notations. SoitC2π⊂L¹_2π l’espace des fonctions continues 2π-périodiques de RdansC, muni de la normek · k∞. Pour f ∈ C2π, on noteSn(f;x) :=Pn

k=−nck(f)e^ikx lan-ième somme partielle de sa série de Fourier enx∈Ret S^∗(f;x) := sup

n∈N

|Sn(f)(x)| ∈[0,+∞].

On rappelle que pour toutk∈Z,ck(f)ek :=ek⋆ f = (_2π¹ Rπ

−πf(t)e^−iktdt)ek oùek:t∈R7→e^ikt, k∈Z,est la suite des monômes trigonométriques. Pour tout n∈N, on aSn(f) =Dn⋆ f oùDn:=Pn

k=−nek est le noyau de Dirichlet.

Théorème 1 ([Rud, p. 130]). Il existe unGδ denseE⊂ C2π tel que pour toutf ∈E,S^∗(f; 0) = +∞.

Proposition 2 (Théorème de Banach–Steinhaus). SoientEun espace de Banach,Fun evn et(fi)∈ Lc(E, F)^I une suite d’applications linéaires continues telle que

sup

i∈I

kTik= +∞.

Alors il existe unGδ denseΩtel que

∀x∈Ω, sup

i∈I

kTi(x)k= +∞.

Preuve. On considère les fermés An :=T

i∈IkTik⁻¹h[0, n]ioù n∈N^∗. Supposons que An n’est pas d’intérieur vide. Il existe donc une bouleB(x0, r)⊆An telle que ∀x∈B(x0, r), ∀i∈I, kTi(x)k6n. Six∈B(0,1), alors

kTi(x)k6kTi(x0+rx)k+kTi(x0)k

r 6 2n

r

uniformément pouri∈I. D’oùsup_i∈IkTik<+∞, ce qui est contraire à l’hypothèse. Nécessairement tous lesAn

sont des fermés d’intérieur vide, c’est-à-dire que leurs complémentaires sont des ouverts denses, d’intersection Ωdense par le lemme de Baire. Soientx∈Ωetn∈N. Nous avons x∈An∁, et donc l’existence d’uni∈I tel quekTi(x)k> n. D’oùsup_ikTi(x)k> n, et ceci pour toutn∈N, doncsup_ikTi(x)k= +∞pour toutx∈Ω.

Lemme 3. Dn(t) = sin((n+1/2)t)

sin(t/2) pour tousn∈Net t∈]0, π[, etlogn=O(kDnk1)lorsquen→+∞.

Preuve. Soient n∈Net t∈]0, π[. Alorse^it6= 1et

Dn(t) :=

n

X

k=−n

e^ikt=(e^it)ⁿ⁺¹−(e^it)⁻ⁿ

e^it−1 = (e^it)^n+1/2−(e^it)^−(n+1/2)

e^it/2−e^−it/2 =sin((n+ 1/2)t) sin(t/2) .

Ainsi, en notant queDn(t) =Dn(−t), kDnk1:= 1 π

Z π

0

|Dn(t)|dt

> 2 π

Z π

0

|sin((n+ 1/2)t)|

t dt ^{(∀u >0, |sin(u)|6u)}

= 2 π

Z (n+¹₂)π

0

|sin(x)|

x dx (x←(n+ 1/2)t)

> 2 π

n

X

k=1

1 kπ

Z kπ

(k−1)π

|sin(x)|dx

= 4 π²

n

X

k=1

1 k

∼ 4

π²log(n) lorsquen→+∞.

Démonstration du théorème 1. Pour tout n ∈ N^∗, la forme linéaire Λn: f ∈ C2π 7→ Sn(f; 0) est continue sur l’espace de BanachC2π. En effet

|Λn(f)|=

1 2π

Z π

−π

f(t)Dn(t)dt

6kDnk1kfk∞,

benjamin.dadoun@ens-cachan.fr – v20140910 1/2

Divergence de séries de Fourier

ce qui prouve aussi que 9Λn9 6 kDnk1. Montrons que 9Λn9 = kDnk1. Soient dn := sign(Dn) et dn,k :=

Dn

|Dn|+2^−k, k∈N. Alorsdn,k ∈ C2π tend simplement versdn lorsquek→+∞, et est dominée sur[−π, π]par la constante1, donc d’après le théorème de convergence dominée

Λn(dn,k) = 1 2π

Z π

−π

dn,k(t)Dn(t)dt−−−−−→

k→+∞

1 2π

Z π

−π

dn(t)Dn(t)dt= 1 2π

Z π

−π

|Dn(t)|dt=kDnk1.

D’où 9Λn9=kDnk1. Grâce au lemme 3sup_n∈N∗9Λn9= +∞. En appliquant laproposition 2 il existe alors unGδ denseE⊂ C2π tel quesup_n∈N|Sn(f; 0)|= sup_n∈N|Λn(f)|= +∞pour toutf ∈E.

Références. [Rud, p. 130] [Gou]

208 Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

246 Séries de Fourier. Exemples et applications.

[Gou] XavierGourdon : Analyse. 2^ème édition.

[Rud] WalterRudin: Analyse réelle et complexe. 3^ème édition.

benjamin.dadoun@ens-cachan.fr – v20140910 2/2