Axe instantané de rotation

É       ´

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IX.  . Cinématique du solide

Unsolide indéformableest un corps dont les distances entre les points matériels qui le constituent sont indépendantes du temps.

Considérons un solideSet un référentielR⁰ fixe par rapport au solide. NotonsO⁰ l’origine deR⁰ etΩ~_R⁰_/R la vitesse instantanée de rotation deSpar rapport à un référentielR. Pour tout pointM de S(ou fixe par rapport àS), on a

~

v_M/R =~v_M/R⁰

| {z }

~0

+~vO⁰/R+Ω~R⁰/R×−−−→

O⁰M,

soit

~

vM/R=~vO⁰/R+Ω~^R0_/^R×−−−→ O⁰M.

Le mouvement de tout point du solide est donc la combinaison du mouvement de translation de l’en- semble du solide (~vO⁰/R) et de son mouvement de rotation (Ω~_R⁰_/R). Six paramètres, oudegrés de liberté, (trois pour~vO⁰/R et trois pourΩ~R⁰/R) sont nécessaires pour décrire le mouvement du solide, donc deux équations vectorielles suffisent : le théorème du centre d’inertie et le théorème du moment cinétique.

On aura souvent intérêt à utiliser le théorème du centre d’inertie dans un référentiel galiléen, puis le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique du solide. Remarquons que

Ω~R⁰/R =Ω~R⁰/R^∗+Ω~R^∗/R

| {z }

~0

=Ω~R⁰/R^∗

siRest galiléen.

Axe instantané de rotation

À un instantt, on appelleaxe instantané de rotation∆(t) deSdansRle lieu géométrique des points fixes par rapport àSdont la vitesse par rapport àRest parallèle àΩ~R⁰/R(t).

SoitAun point de∆. On a~vA/R =~vO⁰/R+Ω~_R⁰_/R×−−−→

O⁰A, d’où, pour tout pointMfixe par rapport à S,

~

v_M/R= ~v_A/R

|{z}

∥Ω~R0/R

+Ω~R⁰/R×−−→

AM

| {z }

⊥Ω~R0/R

.

Le mouvement des points du solide se compose donc d’une translation selonΩ~_R⁰_/R, à la même vitesse

~vA/R pour tous, et d’une rotation autour deΩ~_R⁰_/R.

Si Mfait partie de∆, on doit avoir~vM/R ∥ Ω~_R⁰_/R, soitΩ~_R⁰_/R×−−→

AM =~0, c.-à-d. −−→

AM∥ Ω~_R⁰_/R : l’axe instantané est donc une droite dirigée selonΩ~_R⁰_/R, dont tous les points se déplacent à la vitesse~vA/R.

IX.  . Moment d’inertie, moment cinétique, énergie cinétique

Soient A(t) un point de l’axe instantané de rotation ∆(t) et ~uz(t) un vecteur unitaire dirigé selon

∆(t). Choisissons deux vecteurs~ux(t) et~uy(t) de telle sorte que (A, ~ux, ~uy, ~uz) soit un repère orthonormé direct. Posons~v_A/R=v_A/R u~zet calculons le moment cinétique du solide par rapport à∆à l’aide des coordonnées cylindriques.

L_∆/R=~LA/R·~uz=X

j

(mj −−−→

AMj×~vj/R)·~uz

=X

j

mj·[ρju~_ρj+zj ~uz]×[v_A/R u~z+ΩR⁰/R ~uz×(ρj ~u_ρj+zju~z)

| {z }

ρju~_φj

]

·~uz

=X

j

mj·(−ρj vA/R ~u_φj+Ω_R⁰_/R ρ²_j u~z−zj Ω_R⁰_/R ρj ~u_ρj)·~uz=Ω_R⁰_/R X

j

mj ρ²_j.

La quantité

I_∆ =X

j

mj ρ²_j

porte le nom demoment d’inertie par rapport à∆. On a L_∆/R =I_∆ Ω^R0/R.

Ceci ne présente d’intérêt que si∆est fixe par rapport au solide (sinonI_∆doit être recalculé à chaque instant) et si la direction de∆est fixe dansR.

Calculons de même l’énergie cinétique d’un solide.

Z

E_c/R=X

j

1

2 mj~v²_j/R =X

j

1 2 mj·

v_A/R ~uz+ΩR⁰/R ~uz×−−−→

AMj

2

=X

j

1 2 mj·

v_A/R ~uz+ΩR⁰/R ρj ~u_φj2

=X

j

1 2 mj·

v²_A/R+Ω²_R0/R ρ²j

,

d’où

E_c/R= 1

2 m v²_A/R+ 1

2 I_∆ Ω²R⁰/R.

Cas particulier du référentiel barycentrique

Le centre d’inertie Gd’un solide est fixe par rapport àR⁰. Comme~vG/R^∗ =~0 est parallèle àΩ~_R⁰_/R, Gest un point de l’axe instantané de rotation dans le référentiel barycentrique,∆^∗, d’où

Ec/R^∗ = 1

2 I_∆^∗ Ω²R⁰/R

et, d’après le second théorème de Koenig, Ec/R = 1

2 m v²_G/R+ 1

2 I_∆^∗ Ω²R⁰/R.

IX.  . Théorème de l’énergie cinétique

Calculons la puissance des forces exercées sur le solide. On a P(~F_→j)=~F_→j·~vj/R =~F_→j·(~vO⁰/R+Ω~_R⁰_/R×−−−−→

O⁰Mj)=F~_→j·~vO⁰/R+Ω~_R⁰_/R·(−−−−→

O⁰Mj×F~_→j), soit

P(~F^→j)=~vO⁰/R·F~^→j+Ω~^R0_/^R·M~ _O⁰(F~^→j).

En sommant sur toutes les forces et en distinguant forces intérieures et forces extérieures, on obtient X

j

P(~F_→j)=

~

vO⁰/R·X

j

F~_ext→j+Ω~R⁰/R·X

j

M~O⁰[~F_ext→j]

+

~

vO⁰/R·X

j

~F_int→j

| {z }

~0

+Ω~R⁰/R·X

j

M~ O⁰[~F_int→j]

| {z }

~0

=~vO⁰/R·X

j

F~ext→j+Ω~_R⁰_/R·X

j

M~ O⁰(~Fext→j).

On constate que, pour un solide indéformable, les forces intérieures ne travaillent pas, donc dEc=X

j

δW(F~ext→j),

que le référentiel soit galiléen ou qu’il s’agisse du référentiel barycentrique.

Dans le référentiel barycentrique,

Z

P/R^∗(~F_ext→j)=~v_G/R^∗

|{z}

~0

·~F_ext→j+Ω~R⁰/R·M~G(F~_ext→j)=ΩR⁰/R M∆^∗(F~_ext→j).

En posantΩ_R⁰_/R=dφ/dtet en multipliant par dt, on en déduit que δW^∗(F~ext→j)=M_∆^∗(~Fext→j) dφ,

où dφest l’angle dont a tourné le solide autour de son axe instantané de rotation dansR^∗ pendant dt.

IX.  . Calcul du moment d’inertie

IX.  .1. Théorème de Huygens

Soient∆^∗ un axe quelconque passant parG, et∆un axe parallèle à∆^∗ et situé à une distanced de

∆^∗.

Introduisons les repères orthonormés directs suivants : (G, ~ux, ~uy, ~uz), où~uz est parallèle à∆^∗ et~ux

est dirigé de∆^∗ vers∆; et (O⁰, ~ux⁰, ~uy⁰, ~uz⁰), où−−−→

GO⁰=d ~ux,~ux⁰ =~ux,~uy⁰=u~y et~uz⁰=~uz. I_∆=X

j

mj ρ⁰j2=X

j

mj·

x⁰j2+y⁰j2

=X

j

mj·

[xj+d]²+y²j

=X

j

mj·

x²_j+y²_j

+d² X

j

mj+2d X

j

mj xj

| {z }

0

,

d’où

I_∆ =I_∆^∗ +m d².

IX.  .2. Moment d’inertie d’un cylindre

Calculons le moment d’inertie d’un cylindre homogène de massem, de rayonRet de hauteurhpar rapport à son axe de révolution,∆. Notonsµsa masse volumique. L’élément de volume vaut

dV=ρdρ dφdz.

On a

m=Z R ρ=0

Z 2π φ=0

Z h

z=0µdV=Z R ρ=0

Z 2π φ=0

Z h

z=0µ ρdρ dφdz=π µR² h

et

I_∆= Z R

ρ=0

Z 2π φ=0

Z h

z=0µ ρ² dV= Z R

ρ=0

Z 2π φ=0

Z h

z=0µ ρ³ dρdφdz= π µR⁴ h

2 ,

d’où

I_∆ = 1 2 m R².

IX.  .3. Moment d’inertie d’une sphère

Calculons le moment d’inertie d’une sphère homogène de massemet de rayonRpar rapport à un de ses axes de révolution,∆. Notonsµsa masse volumique. L’élément de volume a pour expression

dV=r² sinθdrdθdφ et la distance à l’axe vaut

ρ=rsinθ.

On a

m=Z R r=0

Z _π

θ=0

Z 2π

φ=0 µdV=Z R r=0

Z _π

θ=0

Z 2π

φ=0 µr² sinθdrdθdφ= 4π µR³ 3 et

I_∆=Z R r=0

Z _π

θ=0

Z 2π

φ=0 µ ρ² dV=Z R r=0

Z _π

θ=0

Z 2π

φ=0 µr⁴ sin³θdrdθdφ

= 2π µR⁵ 5

Z _π

θ=0sin³θdθ.

Or,

Z π θ=0

sin³θdθ=Z π

θ=0−(1−cos²θ) d(cosθ)=

−cosθ+ cos³θ 3

π θ=0= 4

3 , d’où

I_∆ = 2 5 m R².

IX.  . Solide en rotation autour d’un axe fixe

IX.  .1. Axe fixe dans un référentiel galiléen

Intéressons-nous au cas où l’axe instantané de rotation est fixe dans un référentiel galiléenR.

On a alors

L_∆/R=I_∆ Ω_R⁰_/R et

dL_∆/R

dt =X

j

M∆(F~ext→j).

Si l’axe instantané de rotation est fixe dansR, il l’est également dansR⁰. Le moment d’inertie par rapport à cet axe est donc constant. On en déduit que

I_∆ dΩ_R⁰_/R

dt =X

j

M_∆(F~ext→j).

Application au pendule pesant

Considérons un pendule pesant pouvant tourner autour d’un axe horizontal, ∆, fixe dansR. On repère la position du pendule par l’angleφentre la verticale et une droite perpendiculaire à∆passant par le centre d’inertieGdu pendule. Notonsmsa masse etI_∆ son moment d’inertie par rapport à∆.

Les forces exercées sur le pendule sont la réactionR~ de l’axe et le poidsP. On a~ M_∆(~R)=0 et M_∆(P)~ =−m g`sinφ,

où`est la distance deGà∆.

dΩ_R⁰_/R dt = .

φ,

d’où

I_∆ ..

φ=−m g`sinφ.

Dans le cas où toute la masse est concentrée enG,I_∆ =m`², d’après le théorème de Huygens, et on retrouve l’équation du pendule simple :

` ..

φ+g sinφ=0.

IX.  .2. Axe fixe dans le référentiel barycentrique

Si l’axe instantané de rotation n’est pas fixe dans R, mais que sa direction l’est, on a intérêt à se placer dansR^∗. L’axe instantané de rotation est alors fixe dansR^∗.

On a

L_∆^∗_/R^∗ =I_∆^∗ Ω_R⁰_/R et

dL_∆^∗_/R^∗

dt =X

j

M∆^∗(F~ext→j),

d’où

I_∆^∗ dΩ_R⁰_/R

dt =X

j

M_∆^∗(F~ext→j).

Application : roulement sans glissement

Étudions le mouvement d’une boule homogène roulant sans glissement sur un plan incliné d’un angleα par rapport à l’horizontale. Notons r son rayon, msa masse, I_∆^∗ son moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation instantané∆^∗=(G, ~uz) dansR^∗, et Cle point de la boule en contact avec le plan à un instantt(cf. figure ci-dessous pour les autres notations).

Le roulement étant sans glissement, la vitesse~vC/R deCpar rapport au plan (fixe dans le référentiel terrestreR, supposé galiléen) est nulle :

~

v_C/R =~v_G/R+Ω~×−−→

GC= .

xG~ux+ΩR⁰/R ~uz×(−r~uy)=(.

xG+ΩR⁰/R r)u~x=~0,

soit .

xG+ΩR⁰/R r=0. (1)

La boule est soumise à son poids ~P, exercé enG, et à la réaction du plan,~R_⊥+~R_∥, exercée enC.

On aP~=m g·(sinα ~ux−cosα ~uy),~R_⊥=R_⊥ ~uy et~R_∥=−R∥ ~ux, oùR_⊥=k~R_⊥ketR_∥=k~R_∥k. Dans le cas d’un roulement sans glissement, on aR_∥6 fs R_⊥, où fs est le coefficient de frottement statique. Noter que « roulement sans glissement » ne veut pas dire qu’il n’y a pas de frottements : au contraire, c’est précisément parce qu’il y a des frottements que la boule ne glisse pas sur le plan.

En appliquant le théorème du centre d’inertie à la boule et en le projetant suru~x, on obtient m..

xG=m gsinα−R_∥. (2)

b b

b C

b G

~R_∥

R~_⊥ P~

α

~ ux

~ uy

b

~ uz

En appliquant le théorème du moment cinétique à la boule dans le référentiel barycentrique de celle-ci et en projetant sur son axe de rotation∆^∗=(G, ~uz), on obtient

I_∆^∗ .

ΩR⁰/R =(M~G[P]~ +M~G[~R_⊥]+M~G[~R_∥])·~uz. M~G(P)~ =−−→

GG×P~=~0. De même,M~G(~R_⊥)=−−→

GC×~R_⊥=~0 puisque−−→

GCet~R_⊥sont alignés. Enfin, M~ G(~R_∥)=−−→

GC×R~_∥=−r~uy×(−R_∥u~x)=−r R_∥u~z, donc

I_∆^∗ .

ΩR⁰/R =−r R∥. (3)

En combinant les équations (1), (2) et (3), on obtient finalement x..G= gsinα

1+I_∆^∗/(m r²).