Solutions exactes des équations de Navier-Stokes
1er problème de Stokes : diffusion de quantité de mouvement
On considère le problème bi-dimensionnel (repère cartésien 0x,0y) suivant :
- le fluide occupe le demi-plan supérieur y>0 au dessus d’une plaque plane (y = 0) - A l’instant initial, le fluide est au repos , Vr =0
Ensuite la plaque plane horizontale se met brutalement en mouvement à la vitesse Vo.
Problème : Calculer la distribution des vitesses, l’évolution spatio-temporelle de ’écoulement.
Hypothèses : les trajectoires sont des plans parallèles au plan 0xz (z est l’envergure), l’écoulement est bi-dimensionnel et en fait Vx(y,t), on suppose que la pression est constante suivant z et indépendante du temps, les effets de la gravité étant négligeables et si l’´ecoulement est supposé invariant dans la direction du mouvement (il n’y aura donc pas de gradient de pression longitudinal).
0 ,
0 =
∂
= ∂
∂
∂
t p z
p
On peut montrer que les équations de Navier-Stokes, dans problème de diffusion de quantité de mouvement par la plaque inférieure, est régie par l’équation aux dérivées partielles de type parabolique :
2 2 2
2
.
. y
V y
V t
VX X X
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂ ν
ρ μ
Où μ et ν sont respectivement les viscosité dynamique et cinématique du fluide et ρ sa masse volumique. On peut adimensionner cette équation :
t V
V .ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 Δ
∂ ==
∂
δ ντ
On trouve alors que le temps caractéristique de diffusion sur une distance δest de :
ν τ =δ2
Analogie : équation parabolique de la chaleur, plaque chauffée subitement à une température dans un milieu au repos à température
T1 T0
2 2
y T t
T
∂
= ∂
∂
∂ α où
cp
k ρ.
α = est la diffusivité thermique
Dimension de ν : L2/T,m2/s
Solution fondamentale de l’équation avec condition initiale et conditions aux limites On effectue le changement de variables/ de coordonnées (x,y) vers (ξ(x,y), η(x,y)) On a, de manière générale :
x x
x
y y
y
y y
y
x x
x
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
η η
ξ ξ
η η
ξ ξ
ξ η
ξ η
Dans le cas précis où on passe de (x=t, y) vers (x =ξ =t,
t y η ν
= 4 ), il vient que
2 / 1 2
/ 1
4 , 1
2 4
1 2 , 1
0 ,
1 ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
− ∂
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
νξ η
ξ η νξ
η ξ
ξ
y x
y x x y
y x
y
x , soit
ξ ξ
ξ η
ξ η
ξ η
νξ η η
η η
η ξ
ξ
η ξ η ξ
η η ξ
ξ
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
− ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
4 1 2
x x
x x
y y
y
y y
y y
x x
x
Si on prend x = ξ = t, le changement de variable (t,y) à (t,
t y η ν
= 4 ) et si on suppose que V(t,y) ne dépend plus explicement de ξ, soit V(t,y) = V(η) ,
t t
t t
t t
t
t y t
y t y
y t y
y t t y
t t
t t
x t t t
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟ ∂
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
− ∂
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
− ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟⎟ ∂
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
⎟ ∂
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
ν η η
η η
η
η η η
η η
η
η
η η
4 1
2 2
t
t t
y ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
== ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
2 2 2
2
4 1
η ν
L’équation parabolique initiale :
2 2 2
2
.
. y
V y
V t
VX X X
∂
= ∂
∂
= ∂
∂
∂ ν
ρ μ
devient :
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
− ∂ 2 2 2( )
4 1 ) ( 4
1 )
, ( )
( 2
) (
2 η
η η
η ν ν
η ν η η
η η η
d V d t V
y t y t V d
dV t V
t
X t
X t
X t
X t
X
soit :
( ) 0
) 2 (
2
2 + =
η η η η
η
d dV d
V
d X X
équation différentielle ordinaire du 2ème ordre (nécessitant 2 conditions aux limites)
Une première intégration donne : ( ) .exp( 2)
1 η
η
η = −
d V dVX
Une deuxième intégration donne : η = +
∫
0η −η η 2 12 exp( ' ) '
)
( V V d
VX Reste à déterminer les constantes V2 et V1 :
En y = 0, donc en η = 0, Vx(0) = V2 = V0 (la vitesse de la plaque mobile (1ere condition aux limites)
2ème condition : si t tend vers 0, VX(η)→0 ∀y, et si t →0,η→∞
Aussi : ( ) exp( ' ) ' 0 1. /2 0
0
2 1
0 + − = + =
=
∞
→
∫
∞ η η πη V V d V V
VX
Soit V1 =−2.V0/ π
La solution finale est : 2 exp( ' ) ' (1 ( ))
1 4 )
( )
( 0
0
2
0 η η η
π
η ν V η d V erf
t V y
VX X ⎟⎟= −
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ − −
=
=
∫
3 paramètres gouvernent η : t, y et ν
a) Pour toute valeur du temps t, en y même très grand, on a une valeur non nulle de Vx(y,t), même pour . Donc il n’y a pas de phénomène de type propagation ou vitesse de propagation de la quantité de mouvement (type d’équation des ondes)
→0 t
b) Si ν →0,VX →0, à la limite ∀y, et il n’y aura pas de mouvement du fluide. C’est bien la viscosité qui permet la mise en mouvement des couches supérieures.
c) , et ceci se fera d’autant plus vite que la viscosité cinématique ν est grande. La mise en mouvement d’un fluide par couplage visqueux est d’autant plus rapide que sa viscosité dynamique μ est élevée et que sa masse volumique ρ (donc son inertie) est faible.
, V V0
t si
y →∞ X →
∀
d) On pourra définir une zone d’influence ou longueur de diffusion par λ= νt , ce qui représente une profondeur de diffusion d’une perturbation de vitesse.
Exemples d’ordres de grandeur pour l’eau
cm heures
s t
mm s
t
10 )
3 ( 10
3 10
4 ⇒ ≈
≈
≈
⇒
≈
λ λ
Ce qui montre bien la faible efficacité de la diffusion aux temps longs (loi en t et à grande profondeur.
Couette – plan : Mise en mouvement d’un fluide entre deux parois
Dans le cas de l’écoulement de Couette plan il faut un temps pour que le profil linéaire s’établisse. Soit une longueur de déplacement de la plaque
ν τ ≈h2/
h U
X = Oτ ≈Re.
Dans un tube de rayon R, pour obtenir un profil parabolique, il faut attendre un temps , c’est-à-dire une distance depuis l’entrée du tube X ≈ ReR. C’est-`a-dire que dès que le nombre de Reynolds est élevé la longueur d’entrée avant l’établissement du profil parabolique est loin d’être négligeable (figure ci-dessous). Expérimentalement on trouve plutôt X ≈ Re R/30.
ν τ ≈R2/
Profils de vitesse laminaires à diverses distances de l’entrée d’une conduite circulaire.
D’après D. J. Tritton. Physical fluid dynamics. (second edition), Oxford University Press, 1988, p. 15.
Ecoulement instationnaire en géométrie de Couette plan. Evolution du profil de vitesse entre deux plaques parallèles infinies. La plaque supérieure est mise en translation à vitesse uniforme à l’instant t = 0.
