2.1 Condition de Galochkin au sens large

North-Western European Journal of Mathematics

E J

Le théorème d’André-Chudnovsky-Katz « au sens large »

GabrielLepetit¹

Reçu : 21 mai 2021/Accepté : 3 septembre 2021/En ligne : 23 octobre 2021

Résumé

Les E- et G-fonctions de Siegel ont été définies en deux sens, strict et large, conjecturalement équivalents. En reprenant et complétant une esquisse d’André², nous énonçons et démontrons l’analogueau sens largedu théorème d’André-Chudnovsky-Katz, qui est un théorème de structure sur lesG-opérateurs au sens strict(il s’agit d’opérateurs différentiels annulant lesG-fonctionsau sens strict). Nous en déduisons un théorème de structure sur lesE-opérateursau sens large, qui sont des opérateurs différentiels annulant lesE-fonctionsau sens large.

En application de ce dernier théorème, nous donnons une nouvelle preuve d’une généralisation par André³du théorème de Siegel-Shidlovskii sur l’indépendance algébrique des valeurs desE-fonctionsau sens large.

Mots-clés :E- andG-functions,E- andG-operators, Chudnovsky’s Theorem.

msc: 11J91, 34M03, 34M35.

1 Introduction

Le but de cet article est d’étudier la structure desG-opérateurs et desE-opérateurs au sens large. Nous commençons par donner quelques éléments de contexte. Les notions deE- et deG-fonctions ont été introduites par Siegel⁴pour généraliser le théorème de Lindemann-Weierstrass sur l’indépendance algébrique des valeurs de la fonction exponentielle.

Définition 1 – UneG-fonctionau sens large est une sérief(z) =

∞

P

n=0

anzⁿ ∈Q~z

telle que

a) f est solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients dansQ(z) ;

1. Université Grenoble Alpes, CNRS, Institut Fourier, 38000 Grenoble, France

2.André, 2000b, « Séries Gevrey de type arithmétique II. Transcendance sans transcendance ».

3.André, 2014, « Solution algebras of differential equations and quasi-homogeneous varieties : a new differential Galois correspondence ».

4.Siegel, 1929, « Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen ».

b) Pour toutε >0, il existen₁(ε)∈Ntel que∀n>n₁(ε), a_n 6(n!)^ε, où a_n est la maisondea_n, c’est-à-dire le maximum des modules des conjugués (au sens de Galois) dea_n;

c) Pour toutε >0, il existen₂(ε)∈Ntel que∀n>n₂(ε),den(a₀, . . . , a_n)6(n!)^ε, où den(a₀, . . . , a_n) est le plus petitd∈N^∗tel queda₀, . . . , da_n sont des entiers algébriques.

On dispose d’une notion deG-fonctionau sens strict, qui est en fait celle consi- dérée par Siegel. Elle est plus restrictive que la définition 1.

Définition 2 – UneG-fonctionau sens strict est une sérief(z) =

∞

P

n=0

a_nzⁿ ∈Q~z

telle que

a) f est solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients dansQ(z) ; b) Il existeC₁>0 tel que∀n∈N, a_n 6C₁ⁿ⁺¹;

c) Il existeC2>0 tel que∀n∈N,den(a0, . . . , an)6C₂ⁿ⁺¹.

On définit de la même manière lesE-fonctionsau sens strict(resp.au sens large) qui sont les sériesf(z) =

∞

P

n=0

an

n!zⁿ∈Q~zvérifiant la conditiona)de la définition 2 (resp. 1) et telles que lesa_nvérifient les conditionsb)etc)de la définition 2 (resp.

1). Siegel a étudié lesE-fonctionsau sens large.

L’étude desE- etG-fonctions a été développée, entre autres, par Shidlovskii⁵, puis poursuivie par Nesterenko et Shidlovskii⁶, André⁷, Bombieri, Galochkin⁸, Chudnovsky⁹et Beukers¹⁰.

Siegel a étudié les E-fonctions au sens large, mais n’a fait qu’évoquer les G- fonctionsau sens large. Il est conjecturé que les définitions large et stricte sont équivalentes pour lesE- etG-fonctions, mais cela n’a pas été prouvé à ce jour.

Précisément, on sait que la conditionb)de la définition 1 implique, sous la condition a), la conditionb)de la définition 2, car on peut appliquer des estimation « Gevrey » dues à Perron¹¹, voir aussiRamis(1984, pp. 85–86)) ; en revanche, on ne sait pas si la conditionc)de la définition 1 implique la conditionc)de la définition 2 (cf André(2000a, p. 715)).

5.Shidlovskii, 1989,Transcendental Numbers.

6.NesterenkoetShidlovskii, 1996, « On the linear independence of values ofE-functions ».

7.André, 2000a, « Séries Gevrey de type arithmétique I. Théorèmes de pureté et de dualité » ; André, 2000b, « Séries Gevrey de type arithmétique II. Transcendance sans transcendance ».

8.Galochkin, 1974, « Estimates from below of polynomials in the values of analytic functions of a certain class ».

9. D.Chudnovskyet G.Chudnovsky, 1984, « Applications of Padé approximations to diophantine inequalities in values ofG-functions ».

10. Beukers, 2006, « A refined version of the Siegel-Shidlovskii theorem ».

11. Perron, 1911, « Über lineare Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten ».

Un théorème fondamental de D. et G. Chudnovsky¹²affirme que l’équation dif- férentielle minimale satisfaite par uneG-fonctionau sens strictvérifie une condition de croissance modérée appeléecondition de Galochkin. Ceci implique, entre autres, qu’elle est fuchsienne. Par ailleurs, la condition de Galochkin est équivalente à une condition introduite par Bombieri, qui implique par un théorème de Katz¹³que l’équation différentielle minimale en question est à exposants rationnels en tout point deP¹(C) (théorème d’André-Chudnovsky-Katz).

DansAndré (2000b, pp. 746–747), André esquisse la preuve du fait quela singularité en l’infini d’un opérateurφd’ordre minimal annulant uneG-fonction au sens large est régulière.Son argument est le suivant :

« Pour établir le point ci-dessus, le critèrep-adique de régularité de Katz montre qu’il suffit d’établir queP

p(v)6nlnRv(φ,1) =o(lnn). Avec les notations d’André¹⁴, on voit facilement que cette condition découle d’une estimation

X

vfinie

hv,n(φ) = X

p(v)6n

hv,n(φ) =o(lnn);

or les estimations d’André, p. 122¹⁵donnent X

vfinie

h_v,n(φ)6C₁1 n

X

v

ln max(1,|a₀|_v, . . . ,|a_nC2|_v) +C₃

(pour des constantesCiindépendantes den), et la condition(G⁻)équivaut à 1

n X

vfinie

ln max(1,|a0|_v, . . . ,|an|_v) =o(lnn).ˇ

La condition (G⁻) correspond aux pointsb)etc)de la définition 1¹⁶.

Dans cet article, nous commençons par donner les détails de l’esquisse d’André et nous compléterons ensuite ses résultats. Précisément, nous allons donner la dé- monstration du théorème suivant. Il est implicite dans l’esquisse ci-dessus d’André, même s’il ne l’énonce pas formellement.

Théorème 1 – Soit f(z)∈Q~zune G-fonctionau sens large, etL∈Q(z)

"

d dz

# un opérateur différentiel non nul d’ordre minimalµtel queL(f(z)) = 0. Alors

• L’opérateurLest unG-opérateurau sens large.

12. D.Chudnovskyet G.Chudnovsky, 1984, « Applications of Padé approximations to diophantine inequalities in values ofG-functions ».

13. Dwork,GerottoetSullivan, 1994,Introduction toG-functions, p. 98.

14. André, 1989,G-Functions and Geometry : A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn.

15. Ibid.

16. André, 2000a, « Séries Gevrey de type arithmétique I. Théorèmes de pureté et de dualité », p. 714.

• L’opérateurLest globalement nilpotent.

• Tout point deP¹(C)est un point singulier régulier deLet les exposants deLen tout point sont dansQ.

La preuve de ce résultat fera l’objet des sections 2 et 3. Dans la partie 4, nous raffinerons le théorème 1 en précisant la forme d’une base de solutions d’unG- opérateurau sens large. C’est l’objet du théorème suivant, qui constitue un analogue complet du théorème d’André-Chudnovsky-Katz.

Théorème 2 – Soitf(z)uneG-fonctionau sens largeetL∈Q(z)[d/dz]\ {0}un opéra- teur différentiel tel queL(f(z)) = 0et d’ordre minimalµ.

Alors au voisinage de toutα∈P¹(Q), il existe une base de solutions deLy(z) = 0de la forme

(f₁(z−α), . . . , f_µ(z−α))(z−α)^Cα,

oùC_α∈Mµ(Q)est triangulaire supérieure à valeurs propres dansQet lesf_i(u)∈Q~u

sont desG-fonctionsau sens large.

L’étude de la structure desG-opérateurs permet d’obtenir des informations sur les équations différentielles satisfaites par lesE-fonctions. En effet, via la transfor- mée de Fourier-Laplace des opérateurs différentiels, André¹⁷en a déduit que toute E-fonctionau sens strictétait annulée par unE-opérateurdont les seules singularités sont 0 et∞, la première étant régulière. André a déduit du théorème d’André- Chudnovsky-Katz un théorème de structure sur lesE-opérateurs. La section 6 sera consacrée à la définition et à l’étude desE-opérateursau sens large, à l’aide du théorème 1, et à ses conséquences diophantiennes sur les valeurs desE-fonctionsau sens large.

2 Un analogue « large » du théorème des Chudnovsky

Soit f = ^t(f₁(z), . . . , f_µ(z)) ∈ Q~z^µ vérifiant f⁰ =Gf, avec G ∈ Mµ

Q(z)

. Soit G_s∈Mµ

Q(z)

la matrice telle quey^(s)=G_sypour toutytel quey⁰=Gy. On montre par récurrence que lesG_s,s∈N, sont liées par la relation

G_s+1=G_sG+G⁰_s, (1)

oùG⁰_sdésigne la matriceGsdérivée coefficient par coefficient. On prendT(z)∈Q[z]

le plus petit dénominateur commun de tous les coefficients de la matriceG(z). On montre également par récurrence sursque

∀s∈N, T^sG_s∈M_µ Q[z]

. (2)

17. André, 2000a, « Séries Gevrey de type arithmétique I. Théorèmes de pureté et de dualité » ; André, 2000b, « Séries Gevrey de type arithmétique II. Transcendance sans transcendance ».

2.1 Condition de Galochkin au sens large

Rappelons tout d’abord la définition de la condition de Galochkinau sens strict, introduite dansGalochkin(1974).

Définition 3 (Galochkin) – On note, pours∈N,q_sle plus petit dénominateur su- périeur ou égal à 1 de tous les coefficients des coefficients des matricesT(z)^mGm(z)

m! , quandm∈ {1, . . . , s}. On dit que le systèmey⁰=Gyvérifie la condition de Galochkin au sens strictsi

∃C >0 : ∀s∈N, q_s6C^s+1.

On a alors le théorème fondamental suivant¹⁸.

Théorème 3 (Chudnovsky) – Soitf=^t(f₁(z), . . . , f_µ(z))∈Q~z^µtelle quef⁰=Gf, où G∈M_µ

Q(z)

. Supposons que pour touti∈ {1, . . . , µ},f_i(z)est uneG-fonctionau sens strictet(f₁(z), . . . , f_µ(z))est une famille libre surQ(z), alorsGvérifie la condition de Galochkinau sens strict.

DansAndré(2000b, p. 747), André a introduit, en la formulant différemment, la condition suivante, qui est adaptée au contexte desG-fonctionsau sens large.

Définition 4 (André) – Avec les notations de la définition précédente, on dit que le systèmey⁰=Gyvérifie la condition de Galochkinau sens large si

∀ε >0,∃s₀(ε)∈N: ∀s>s₀(ε), q_s6(s!)^ε. Rappelons que si L= d

dz

!µ

+a₁(z) d dz

!µ−1

+· · ·+a_n(z). 0 est un opérateur différentiel d’ordreµà coefficients dansQ(z), la matrice compagnon deLest

A_L=

















0 1 (0)

. .. ...

(0) 0 1

−aµ . . . −a1















 .

On sait que les solutions du système différentiely⁰ =A_Ly sont les vecteursf=

t(f , f⁰, . . . , f^(µ−1)) tels queL(f(z)) = 0.

Suivant la définition desG-opérateurs au sens strict¹⁹, on peut considérer une notion analogueau sens large.

18. D.Chudnovskyet G.Chudnovsky, 1984, « Applications of Padé approximations to diophantine inequalities in values ofG-functions », p. 17.

19. André, 2000a, « Séries Gevrey de type arithmétique I. Théorèmes de pureté et de dualité », p. 718.

Définition 5 – SoitL∈Q(z) [d/dz]. On dit queLest unG-opérateurau sens large (resp.au sens strict) si la matrice compagnon deLvérifie la condition de Galochkin au sens large(resp.au sens strict).

La dénomination de «G-opérateur » est justifiée par la proposition suivante.

Proposition 1 – SoitL∈Q(z) [d/dz]unG-opérateurau sens largenon nul d’ordreµ.

Soitα∈Qun point ordinaire deL, alors il existe une base de solutions de l’équation L(y(z)) = 0au voisinage deαde la forme(f₁(z−α), . . . , f_µ(z−α)), où lesfi(u)sont des G-fonctionsau sens large.

Il est bien connu que cette proposition est également vraie pour lesG-opérateurs au sens strict, la preuve ci-dessous s’adaptantmutatis mutandis.

Le théorème d’André-Chudnovsky-Katz affirme entre autres qu’unG-opérateur au sens stricta au voisinage de toute singularitéαune base de solutions de la forme (f1(z−α), . . . , fµ(z−α))(z−α)^Cα, oùCα∈Mµ(Q) a ses valeurs propres rationnelles et lesfi(u) sont desG-fonctionsau sens strict. On verra dans la section 4 que ceci est également vraiau sens large.

Preuve (de la proposition 1). NotonsG(z) =AL(z) la matrice compagnon deL. Comme αest un point ordinaire, on sait qu’il existe une base de solutions (f₁(z−α), . . . , f_µ(z− α)) de l’équationL(y(z)) = 0, où lesf_i sont holomorphes de coefficients de Taylor algébriques au voisinage de 0. On sait aussi que la matrice wronskienne de cette base Y(z)∈Mµ(Q~z) a un rayon de convergence non nul et est telle queY(α)∈GL_µ(Q) etY⁰(z) =G(z)Y(z), de sorte queY^(s)(z) =G_s(z)Y(z) pour tout entiers. D’où

Y(z) =

∞

X

n=0

Y⁽ⁿ⁾(α)

n! (z−α)ⁿ=









∞

X

n=0

G_n(α) n! (z−α)ⁿ









Y(α). (3)

Puisque α est un point ordinaire, G(z) n’a pas de pôle enα et la condition de Galochkinau sens largeimplique qu’il existe une suite d’entiers strictement positifs (q_n)_n∈Ntelle que

∀n∈N,∀k6n, q_nGk(α) k! ∈M_µ

OQ

et ∀ε >0,∃n0()∈N, ∀n>n0(ε), q_n6(n!)^ε. Ainsi, selon (3), on a∀n∈N,den(Y(α))q_nY⁽ⁿ⁾(α)∈Mµ

OQ

. Ainsi, lesf_i(z) vérifient la conditionc)de la définition 1.

Par ailleurs, soitKun corps de nombres galoisien contenantαet les coefficients de Taylor desf_i(u) tel queL∈K[z,d/dz]. Soitτ∈Gal(K/Q). SiL=

µ

P

k=0

a_k(z) d dz

!k

, a_k(z)∈K[z], on définitL^τ:=

µ

P

k=0

a^τ_k(z) d dz

!k

en étendant l’action deτàK~zcoeffi- cient par coefficient.

Alors pour touti ∈ {1, . . . , µ}, L^τ(f_i^τ(z−τ(α))) = 0. De plus, comme a_µ(α),0, on aa^τ_µ(τ(α)) =τ(a_µ(α)),0, de sorte queτ(α) est un point ordinaire deL^τ. Ainsi, f_i^τest analytique au voisinage de 0. Ceci valant pour toutτ, on en déduit que, si fi(z) =

∞

P

n=0

bi,nzⁿ, il existe une constanteC >0 telle que∀n∈N, bi,n 6Cⁿ⁺¹, ce qui prouve que lesfi(z) vérifient la conditionb)de la définition 1.

L’ensemble desG-opérateursau sens large possède une structure algébrique analogue à celle de l’ensemble desG-opérateursau sens strict. On a les propriétés suivantes (listées par André dans le cas strict²⁰) :

• Un produit deG-opérateursau sens largeest unG-opérateurau sens large.

• Tout diviseur à droite d’un G-opérateur au sens largedans Q(z)[d/dz] est un G-opérateurau sens large.

• L’opérateur adjointL^∗d’unG-opérateurau sens largeLest unG-opérateurau sens large.

• SiLetL⁰ sont deuxG-opérateursau sens large, alors ils admettent un multiple commun à gauche qui est unG-opérateurau sens large(propriété de Ore à gauche).

La démonstration de ces propriétés est donnée dans la section 5. Elle consiste en l’adaptation de propriétés des modules différentiels données dans le cas strict par André²¹, qui sont détaillées dansLepetit(2021b).

Le but de la suite de cette partie est de démontrer un analogueau sens largedu théorème 3.

Théorème 4 – Le théorème 3 reste vrai si l’on remplace « strict » par « large ».

Ceci implique en particulier que si f est une G-fonction au sens large, tout opérateur différentiel non nulLà coefficients dansQ(z) tel queL(f(z)) = 0 et d’ordre minimal est unG-opérateurau sens large. En effet, la condition de minimalité sur l’ordreµdeLimpose que (f , . . . , f^(µ−1)) est libre surQ(z). Le théorème 4 assure donc que la condition de Galochkinau sens largeest vérifiée pourA_L.

Notons que la proposition 1 constitue une réciproque partielle du théorème 4.

2.2 Démonstration du théorème 4

La preuve que nous allons présenter est une adaptation de la preuve originale du théorème 3²²au cas desG-fonctionsau sens large. Les six premières étapes de la

20. André, 2000a, « Séries Gevrey de type arithmétique I. Théorèmes de pureté et de dualité », p. 720.

21. André, 1989,G-Functions and Geometry : A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn, §IV.

22. D.Chudnovskyet G.Chudnovsky, 1984, « Applications of Padé approximations to diophantine inequalities in values ofG-functions », pp. 38–50.

démonstration sont identiques dans les cas strict et large puisque les conditionsb) etc)de la définition d’uneG-fonction (définitions 1 ou 2) n’y sont pas utilisées, y compris dans le lemme de Shidlovskii évoqué dans l’étape 3. DansBeukers(2008, pp. 21–22), Beukers a reformulé les idées des Chudnovsky en une trame condensée ; à des fins de clarté, nous suivrons cette trame dans les étapes 1 à 6, en la détaillant.

La nouveauté de cette démonstration est l’étape 7, dans laquelle les conditionsb) etc)de la définition 1, spécifiques auxG-fonctionsau sens large, seront utilisées.

André a également mentionné dansAndré(2000b, pp. 746–747) un argument qui permet d’adapterau sens largela preuve du théorème des Chudnovsky donnée dans André(1989, pp. 112–123), mais sans donner de détails.

Remarquons tout d’abord que si K est un corps de nombres contenant les coefficients des coefficients deG(z) et lesf_i(0), 16i 6µ, alorsG∈Mµ(K(z)) et f∈K~z^µ. En effet, cela découle de l’équationf⁰ =Gfen écrivantG comme un élément deMµ

K((z))

et identifiant les coefficients du développement en série de Laurent de part et d’autre.

Notations et hypothèses:

On aT(z)∈K[z], mais quitte à multiplier par un entier adapté, on peut supposer queT(z)∈OK[z] etT(z)G(z)∈M_µ(OK[z]).

On noteD= d

dzla dérivation usuelle surK~z.

Sid∈N^∗etA∈K~z^det`∈N, on noteA=O z<sup>`</sup>

s’il existeB∈K~z^dtel que A=z^`B.

On noteδ= [K:Q] le degré du corps de nombresK.

Étape 1: SoientN , M∈N. On introduit des approximants de Padé (Q,P) de type II de paramètres (N , M) associés à f dont on laisse les paramètres libres pour l’instant, c’est-à-dire des polynômesQ,P₁, . . . ,P_µ∈K[z] tels que deg(Q)6N,

1max6i6µdeg(P_i)6N et siP= (P₁, . . . , P_n), alors Qf−P=O

z^N+M .

On ne discutera des conditions d’existence de tels approximants de Padé que dans l’étape 7.

On a pour toutm < N+M, T^m

m!(D−G)^mP∈K[z], ce qui est immédiat en utilisant la formule de Leibniz. De plus, on va montrer par récurrence surmque

∀m∈N, T^m

m!Q^(m)f−T^m

m!(D−G)^mP=O

z^N+M−m

. (4)

Pourm= 0, c’est la définition.

Supposons la relation vraie au rangm. Alors en dérivant (4) et en multipliant parT, on a

(mT⁰T^mQ^(m)+T^m+1Q^(m+1))f+T^m+1Q^(m)f⁰

−mT⁰T^m(D−G)^mP−T^m+1D(D−G)^mP=O

z^N+M−(m+1) .

Or,f⁰=Gfdonc en multipliant (4) par la matrice polynomialeT Get en retranchant à l’équation précédente, on obtient

(mT⁰T^mQ^(m)+T^m+1Q^(m+1))f−mT⁰T^m(D−G)^mP

−T^m+1(D−G)^m+1P=O

z^N+M−(m+1) . Finalement, commeT^mQ^(m)f−T^m(D−G)^mP=O

z^N+M−m

, on a le résultat voulu.

Étape 2: Montrons que

∀P∈K~z^µ, ∀s∈N^∗, G_s s!P=

s

X

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s−j(D−G)^jP. (5) On procède par récurrence :

• pours= 1,G_s=GetGP=D(P)−(D−G)P.

• Soits∈N^∗, supposons la formule (5) vraie pours.

AlorsG_s+1=G_sG+G⁰_s, donc G_s+1 (s+ 1)! = 1

s+ 1 G_s

s!G+G⁰_s s!

!

. Donc en appliquant l’hypo- thèse de récurrence au vecteurGP, on a

Gs+1

(s+ 1)!P= 1 s+ 1









 Xs

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s−j(D−G)^j(GP) +G_s⁰ s!P









 . Or,

G_s⁰ s!P=

G_s s!P

⁰

−G_s s!P⁰=

Xs

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s+1−j(D−G)^jP− Xs

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s−j(D−G)^jDP.

Donc, en remarquant que∀j∈ {0, . . . , s},(D−G)^jD= (D−G)^j+1+ (D−G)^jG, on a G_s+1

(s+ 1)!P= 1 s+ 1









 Xs

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s+1−j(D−G)^jP− Xs

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s−j(D−G)^j+1P











= 1

s+ 1









 Xs

j=0

(−1)^j

(s−j)!j!D^s+1−j(D−G)^jP+ Xs+1

k=1

(−1)^k

(s−k+ 1)!(k−1)!D^s+1−k(D−G)^kP











(Cont. page suiv.)

= 1 s+ 1









 Xs

j=1

(−1)^j(s+ 1−j) +j

(s+ 1−j)!j! D^s+1−j(D−G)^jP+

Xs+1

k=1

(−1)^k

(s−k+ 1)!(k−1)!D^s+1−k(D−G)^kP+D^s+1

s! P+(−1)^s+1

s! (D−G)^s+1P









= Xs+1

j=0

(−1)^j

(s+ 1−j)!j!D^s+1−j(D−G)^jP.

Cela conclut la récurrence.

Étape 3: Utilisation du lemme de Shidlovskii.

On note pourh∈N,P_h= 1

h!(D−G)^hPetR(h)∈Mµ(K(z)) la matrice dont laj^ème colonne est ^h+j_j−⁻1¹

P_h+j−1. Alors la formule (5) implique immédiatement que G_s

s!R₍₀₎= Xs

j=0

(−1)^j

(s−j)!D^s−jR_(j).

Selon le lemme de Shidlovskii pour les approximants de Padé de type II²³, la matriceR(0)est inversible pourvu queMsoit assez grand ce qui sera réalisé quand on spécifieraMetN dans l’étape 7. Donc

T^sG_s s! =

Xs

j=0

(−1)^jT^s+µ−1D^s−jR(j)

(s−j)! (T^µ−1R₍₀₎)⁻¹. (6)

Étape 4: Soitdle plus petit dénominateur commun des coefficients d’ordres inférieurs àN+Mdu développement en série entière def. On suppose trouvés des approximants de PadéQ,P1, . . . ,Pµ∈K[X] dedf, c’est-à-dire des polynômes tels que deg(Q)6N, max

16i6µdeg(P_i)6N et Q(df)−P=O

z^N+M ,

avecP= (P1, . . . , Pµ). On fait l’hypothèse supplémentaire queQest un polynôme à coefficients entiers algébriques. On peut alors appliquer les résultats des trois étapes précédentes, dont on conservera les notations, àQetPpuisquedfest encore solution du système différentiely⁰=Gy.

23. André, 1989,G-Functions and Geometry : A Publication of the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn, p. 115.

Selon (4), on a

∀m6N+M, T^m

m!Q^(m)(df)−T^mP_m=O

z^N+M−m

. (7)

On remarque queQ^(m)

m! ∈OK[z] puisqueQest à coefficients dansOK. On en déduit que siN+M−m >max

16i6µdeg(T^mP_i,m), les coefficients deT^mP_msont des éléments de OK[z].

Notonst:= max(deg(T),deg(T G)). Montrons par récurrence surmque

1max6i6µdeg(T^mP_i,m)6N+tm. (8)

• Pourm= 0, il s’agit simplement du fait que les composantes dePsont de degrés inférieurs àN.

• Pourm= 1,TP⁰−T GPa des composantes de degrés inférieurs àN+t, carT et les coefficients deT Gsont de degrés bornés part.

• Soitm∈N, supposons le résultat vrai au rangm. Alors

(D−G)(T^m(D−G)^mP) =mT⁰T^m−1(D−G)^mP+T^mD(D−G)^mP−T^mG(D−G)^mP

=mT⁰T^m−1(D−G)^mP+T^m(D−G)^m+1P.

Donc

T^m+1(D−G)^m+1P= (D−G)(T^m(D−G)^mP)−mT⁰T^m(D−G)^mP.

Or, en utilisant à la fois l’hypothèse de récurrence et le casm= 1, on voit queT(D− G)(T^m(D−G)^mP) a ses composantes de degrés bornés parN+mt+t=N+ (m+ 1)t; par ailleurs, l’hypothèse de récurrence nous assure quemT⁰T^m(D−G)^mP a des composantes de degrés inférieurs àt+N+mt=N+ (m+ 1)t. On en déduit le résultat souhaité (8).

On en déduit, à condition queN+M−m > N+tm, c’est-à-dire m < M

t+ 1, (9)

queT^mP_m∈OK[z]^µ. Ceci implique immédiatement que sijest un entier naturel tel quej+µ−1< M

t+ 1, alorsT^j+µ−1R_(j)est une matrice à coefficients dansOK[z]. En particulier,T^µ−1R₍₀₎∈Mµ(OK[z]).

Montrons à présent que

∀s∈N, s+µ−1< M

t+ 1, ∀j∈ {0, . . . , s}, T^s+µ−1

(s−j)!D^s−jR_(j)∈Mµ(OK[z]). (10)

Rappelons la formule de Leibniz généralisée : si`∈N<sup>∗</sup>etf<sub>1</sub>, . . . , f<sub>`</sub>sont`fonctions dérivableskfois, alors

(f1. . . f`)^(k)= X

i₁+···+i_`=k

k i1, . . . , i_`

! Y

16t6k

f_t^(it).

En particulier, considérons un élément quelconqueW∈OK[z]. Alors (W^`)^(k)

k! = X

i₁+···+i_`=k

Y

16t6`

W^(it) i_t! .

Sik < `, pour tout (i<sub>1</sub>, . . . , i<sub>`</sub>) intervenant dans la somme, chaque terme Q

16t6`

W^(it) it! contient au moins`−kindices de dérivation nuls. Ainsi, comme pour tout entier s,W^(s)

s! ∈OK[z], on a (W^`)^(k)

k! ∈W^`−kOK[z].

Déduisons de cela par récurrence le résultat (10). Pours= 0, c’est évident.

Soits∈N^∗, supposons (10) vrai pours⁰∈ {0, . . . , s−1}. Par la formule de Leibniz, on a, pourj∈ {0, . . . , s},

D^s−j

T^s+µ−1R_(j) (s−j)! =

s−j

X

k=0

s−j k

!

× 1

(s−j)!

T^s+µ−1(k)

D^s−j−kR_(j)

=T^s+µ−1D^s−jR(j)

(s−j)! +

s−j

X

k=1

T^s+µ−1(k)

k!

D^s−j−kR(j)

(s−j−k)!

=T^s+µ−1D^s−jR_(j) (s−j)! +

s−j

X

k=1

U_kT^s+µ−1−kD^s−k−jR_(j) (s−k−j)!, avecU_k∈OK[z], en utilisant la remarque précédente.

Or, d’une part, D^s−j

T^s+µ−1R(j)

(s−j)! ∈Mµ(OK[z]),

puisqueT^s+µ−1 =T^s−jT^j+µ−1R_(j)∈ Mµ(OK[z]), et d’autre part, par hypothèse de récurrence,

∀k∈ {1, . . . , s−j}, T^s−k+µ−1D^s−k−jR(j)

(s−k−j)! ∈Mµ(OK[z]).

Par conséquent, T^s+µ−1D^s−jR_(j)

(s−j)! ∈Mµ(OK[z]), ce qu’il fallait démontrer.

Étape 5: Lien entreq_set taille des coefficients de det(T^µ−1R₍₀₎).

Selon (6), on a pour touts∈N, T^sG_s

s! = 1 V

Xs

j=0

(−1)^jT^s+µ−1D^s−jR(j)

(s−j)!

com

T^µ−1R₍₀₎^T

, (11)

oùV = det(T^µ−1R(0))∈ OK[z], et selon (10), tous les termes de la somme sont à coefficients entiers algébriques à condition ques+µ−1< M

t+ 1.

Prenons pour s∈N,qs le dénominateur des coefficients des coefficients des matricesT G, T²G₂

2!, . . . , T^sG_s

s! , comme dans la définition 4. Pour estimerqssous la conditions+µ−1< M

t+ 1, il suffit donc d’obtenir une estimation de la maison des coefficients deV. C’est ce que permet de faire ce lemme :

Lemme 1 – SoientU ∈OK[z],V ∈OK[z],W ∈K[z]tels queU =V W. NotonsV = P`

i=0

v_izⁱ, alors pour toutktel quev_k,0, on aNK/Q(v_k)W∈OK[z].

Preuve. Introduisons la valuation de Gauss associée à un premierpdeOK: vp









q

X

i=0

a_izⁱ







 := min

06i6q(vp(a_i)),

oùvp est la valuationp-adique associée à l’idéal premierp de OK. En utilisant les propriétés de valuation, on avp(U) =vp(V) +vp(W) doncvp(W)>−vp(V) car, commeUest à coefficients entiers algébriques,vp(U)>0.

NotonsSl’ensemble fini des premiers divisant tous les coefficients deV. Alors si W = P^d

i=0

w_izⁱ, pour tout i ∈ {0, . . . , d} etp ∈ S, on a vp(w_i) +vp(V) > vp(V) + vp(W)>0, donc Q

p∈S

p^vp(V)(w_i)⊂OK. En particulier, siv_k,0, commev_k∈ Q

p∈S

p^vp(V)= pgcd((v₀), . . . ,(v_`)), on a

∀i∈ {0, . . . , d}, (v_k)(w_i)⊂OK.

D’où commeNK/Q(vk)∈(vk)∩Z, on aNK/Q(vk)W∈OK[z].

PourW = P^`

i=0

wizⁱ ∈K[z], on définitσ(W) = max

06i6`wi, lamaisondeW. Selon le lemme 1 appliqué à la formule (11) avec

U = Xs

j=0

(−1)^jT^s+µ−1D^s−jR_(j) (s−j)!

com

T^µ−1R(0)

^T ,

V= det(T^µ−1R₍₀₎) etW=T^sG_s

s!, on a donc ici

∀s∈N tel que s+µ−1< M

t+ 1, q_s6σ(V)^δ. (12)

Étape 6 : Majoration de la taille des coefficients de det(T^µ−1R₍₀₎)∈OK[z] en fonction de la maison deQ.

Par commodité, on s’intéresse à Ve= det(P, TP₁, . . . , T^µ−1P_µ−1) =T^µ(µ

−1)

2 det(R₍₀₎) =T^−µ(µ

−1) 2 V .

Le lemme suivant nous assure que ce changement n’introduit qu’une constante multiplicative dépendant seulement deGdans la majoration recherchée.

Lemme 2 – SoientA, B∈K[z]etC=AB, alorsσ(C)6(deg(A) + deg(B) + 1)σ(A)σ(B).

Preuve. On écritA=

p

P

i=0

a_izⁱ etB=

q

P

i=0

b_izⁱ, de sorte queC=

p+q

P

j=0

c_jz^j, avec, pour tout j∈ {0, . . . , p+q},cj=

j

P

i=0

aibj−i.

Soitτ:K,→Qun plongement. Alors

|τ(c_j)|6

j

X

i=0

|τ(a_i)||τ(b_j−i)|6(j+ 1)σ(A)σ(B)6(p+q+ 1)σ(A)σ(B),

si bien qu’en prenant le maximum surjet surτ, on obtient l’inégalité voulue.

Soitm∈ {0, . . . , µ−1}. SiQ=P^N

i=0

q_izⁱ, alors Q^(m)

m! =

N−m

X

i=0

(i+ 1). . .(i+m)

m! q_m+iz^m=

N−m

X

i=0

m+i i

! q_m+iz^m.

De la majoration ^m+i_i 62^m+i 62^N, il s’ensuit que σ Q^(m) m!

!

62^Nσ(Q). Selon le lemme 2 appliqué àA=T^metB=Q^(m)/m!,

σ T^mQ^(m) m!

!

62^Nσ(Q)σ(T^m)(mt+N−m+ 1)

(Cont. page suiv.)

62^Nσ(Q)σ(T^m)((µ−1)(t−1) +N+ 1)6c₁^Nσ(Q)σ(T^m),

avecc₁constante dépendant seulement deGpourN suffisamment grand.

En appliquantmfois le lemme 2, on obtient σ(T^m)6c^N₂σ(T)σ(T^m−1)6· · ·6c₃^Nσ(T)^m,

oùc2etc3sont des constantes. Dans ce qui suit, lesci désigneront des constantes.

Ainsi, pourN suffisamment grand, σ T^mQ^(m)

m!

!

6c^N₄σ(Q)σ(T)^m6c₅^Nσ(Q).

Soitθ_N+Mle maximum des maisons desN+Mpremiers coefficients du déve- loppement en série entière desf_i, etd_N+Mleur dénominateur commun. En répétant le raisonnement de la preuve du lemme 2, on voit que la maison de la partie polynomiale tronquée à l’ordreN+tmdeT^mQ^(m)

m! (d_N+Mf_i) est majorée par c₅^Nσ(Q)(dN+MθN+M)(N+tm+ 1)6c^N₆σ(Q)(dN+MθN+M).

Or, siN+M−(µ−1)> N+t(µ−1), selon (7), cette partie polynomiale estT^mP_m, donc, avec une extension de la notationσ aux vecteurs colonnes,

∀m∈ {0, . . . , µ−1}, σ(T^mP_m)6c^N₇σ(Q)d_N+Mθ_N+M. On aVe= P

τ∈S_µ

ε(τ)

µ−1

Q

j=0

T^jP_τ(j),j. Pourτ∈S_µ, en appliquant le lemme 2 àA=P_τ(0),0 etB=

µ−1

Q

j=1

T^jP_τ(j),j, on a

σ











µ−1

Y

j=0

T^jP_τ(j),j











6σ(P_τ(0),0)σ











µ−1

Y

j=1

T^jP_τ(j),j











(µ(N+t(µ−1) + 1)

en utilisant (8). En itérant le procédé, on obtient une constantec₈telle que

σ











µ−1

Y

j=0

T^jP_τ(j),j











6c^µN₇ σ(Q)^µd_N+M^µ θ_N+M^µ c^N₈ 6c^N₉σ(Q)^µd_N+M^µ θ_N+M^µ .

Donc par inégalité triangulaire σ(Ve)6c₁₀^Nσ(Q)^µd_N+M^µ θ^µ_N+M,

si bien que, commeV=T^µ(µ−1)/2Ve,σ(V)6c₁₁^Nσ(Q)^µd^µ_N+Mθ_N+M^µ . D’où selon (12),

∀s∈N, s+µ−1< M

t+ 1, qs6σ(V)^δ6c^N₁₂σ(Q)^µδd_N+M^µδ θ^µδ_N+M. (13) Étape 7: Conclusion à l’aide d’un lemme diophantien.

Rappelons le lemme classique suivant dont une preuve peut être trouvée dans Siegel(1949, p. 37).

Lemme 3 (Lemme de Siegel) – SoitKun corps de nombres. Considérons un système deméquations linéaires

∀16i6m, Xn

j=1

a_ijx_j= 0, (14)

où∀i, j, a_ij∈OK. On noteA= max

i,j a_ij. Alors sin > m,(14)a une solution non nulle (xj)16j6n∈OKⁿ vérifiant

1max6j6n x_j 6c₁(c₁nA)^nm−m,

oùc₁>0est une constante dépendant uniquement deK.

Soits∈N^∗. On choisit dorénavantN etMde la forme suivante :N := 2µ(t+1)(s+

µ)) etM:=N /(2µ) = (t+ 1)(s+µ)∈N^∗. En particulier, on a bien M

t+ 1> s+µ−1.

Alors l’équation de PadéQ(d_N+Mf)−P=O z^N+M

se traduit par un système linéaire de µN

2µ = N

2 équations àN+ 1 inconnues (les coefficients deQ). Selon le lemme 3, il existe une solutionQ∈OK[z] telle que

σ(Q)6c₁₀(c₁₀(N+ 1)θ_N+M)^{N+1N /2−N /2}6c^N₁₃θ_N+M, car N

2 6N+ 1−N 2.

C’est à partir de maintenant que l’on va se servir des propriétésb)etc)de la définition 1, qui sont propres auxG-fonctionsau sens large.

Soitε >0. Puisque les composantes defsont desG-fonctionsau sens large, on peut trouver une constantec14(ε) telle queθk6(k!)^εetdk6(k!)^εpourk>c14(ε).