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Étude des systèmes de Dirac au sens large
Ruy Luis Gomez
To cite this version:
ÉTUDE
DESSYSTÈMES
DE DIRAC AU SENS LARGE(1)
Par RUY Luis GOMEZ.
Sommaire. - Etant donné un système général de Dirac As... Am (m = 2 p) de l’ordre commun n~2p,
il est toujours possible de déterminer une matrice non dégénérée S telle que S-1 Ai S = Hl, Hi
représen-tant des matrices d’Hermite ne dépendant que de m, n. La démonstration se fait simplement à partir des propriétés des valeurs et vecteurs propres des Ai.
Comme corollaires on déduit l’équivalence de deux systèmes D (avec les mêmes m, n) et quelques propriétés d’une matrice permutable avec un système D et de deux systèmes permutables D.
On fait l’application de ces résultats aux équations fondamentales de la théorie du photon de M. Louis de Broglie.
1. - Soient
Ai,
£12,
...A~~,
un nombre
pair
~p
de matrices de n° ordre vérifiantles relations fondamentales :
c’est-à-dire,
unsystème
de Dirac au senslarge
ou sysmtème D.
Cette définition
donnée,
on doit attendrequ’il
enrésulte
quelques
propriétés remarquables
pour les~9i.
Or,
c’est ce que l’on va montrer dans cespremières
pages.
En
prenant
une matricequelconque
del’ensem-ble, A;,
et enremarquant,
enparticulier,
que :on conclut que les seules valeurs propres
possibles
desAi
... sont :Mais si l’on admet par
exemple,
que ), _-~-1 est,
eueffet,
une valeur propre dec’est-à-dire,
qu’il
existeun vecteur non nul
X,
tel que :Aix -
-A-,
on en déduit successivement :vu les relations fondamentales
(1).
Levecteur,4 Vétant
différent de zéro en mêmetemps
que .’Y.
(vu
qur Aj
est nondégénérée),
on voit donc quela matrice
A;
admet aussi la valeur propreOn a donc un
premier
résultat : les matricesAi
d’un
système
D ont toutes les deux valeurs propres :En
outre,
si l’onreprésente
par~’1 ...
vecteurspropres
indépendants
deAi
pour A=+ 1,
le seront aussi pour ),
_ -1,
dèsque j
T
i.En
effet, Aj
est nondégénérée. Donc,
deuxièmerésultat,
les deux valeurs propres+
1,
-1 déterminentdeux espaces du même nombre de dimensions Mais
l’équation
minimum desAi
étant :on
peut
ajouter,
troisièmerésultat,
que :d’où
En résumé : les
A;
d’unsystène
D sont toutes réduc-tibles à la formediagonale (séparément)
et leur ordrecommun est
pair.
.2. - En
prenant
maintenant une des matricesAi,
.A1
par ex., et les référant toutes à une nouvelle base(ei)
où e1, ... en, sont les vecteurs propres de
-~-1
etei+nl===A2ei pour i== 1
... iii ,on arrive à un nouveau
systèmeD qui,
ensuper-matrices,
s’éerit : -.-
-En
effet,
lasignification
géométrique (1)
des éléments dechaque
colonne d’unematrice-opérateur
ensembleavec les
propriétés
fondamentales desAl,
nousper-mettent d’écrire :
(t) Voir p3.r exemple GASTOri JULfA, Introduction îiîathémalirlue
aux théories quantiques, p. ~1.
45
¿1¡(t)
représente
donc la matrice :En faisant la
multiplication
dessupermatrices Aj
(et
leurscarrés)
on vérifie sansbeaucoup
depeine
que :ce sont encore des matrices D
(de
l’ordre communC’est même à cet effet
qu’on
a introduit le facteur i(unité imaginaire).
En résumé : tout
système
Dest réductible au tableau
(a)
A(t) 4
1 ...-2’ 1(1) 9- p
représentent
un nouveausystème
Dcomposé
de 2(j)-1)
matrices de l’ordre commun :
La base
correspondante
est(ei).
3. - Si l’on a
p =
~,
c’est-à-dire unsystème
D de deux matrices~1~,
il estdéjà
prouve
qu’il
existe unematrice non
dégénérée S
telle que :C’est la matricé S
qui préside
auchangement
de labase
primitive
pour la baseDonc,
unsystème
D de deux matrices est réductibleà un autre bien déterminé
(ne
dépendant
que de l’ordre n desAi
A2).
Si,
aucontraire,
on n’obtiendra
(par
lechangement
de la baseprimitive
pour la base e~ ... enl’lA2
e1’ .. At
en,)
unsystème
ainsidéterminé,
on aura encore lesMais étant donné
qu’il a’agit
descomposantes
d’unnouveau
système Don
pourra,parlc changement de base
correspondant,
le réduire à la formesupermatricielle
semblable :
... -"
Les
A~~~
au nombre de 2(p
-2)
seront un nou-veausystème
D de l’ordre communEt si l’on fait sur le
système
(a)
la transformationS1
étant la matrice de transformationqui a
conduitaux
(~),
lesAi
et..:12
continueront avec la mêmeforme,
mais les autres se
simplifieront :
En
particulier,
si l’on a seulementquatre
matricesles
a;
(2) sont nulles et on arrive ausystème numérique
avec
Donc,
unsystème
dequatre
matrices D est encore .réductible à un autre bien déterminé
(numériquement)
0et l’ordre minimum de leur
Ai
est n’ =22,
vuque 2
ordre de
’
46
C’est le cas de Dirac :
quatre
matrices ai 12 %3 ocde
quatrième
ordre.En continuant notre
procédé
deréduction,
nousarri-verons au bout
de p - 1 changement
de base à un nou-veausystème
~D avecde l’ordre d’où
Et ces deux matrices étant réductibles à une forme
numérique
déterminée sanschangement del’ordrenp-l,
onpeut
énoncer le théorème A.Tout
système
D avec m -~~
matricesA,
Az
...Am
d’un ordre commun n,
qui
doit être au moinségal
à 2P esttoujours
réductible à une forme déterminée nedépendant
que des nombrescaractéristiques
m, n.C’est-à-dire,
il existetoujours
une matrice nondégé-nérée
SA
telle queEt les éléments finals du
procédé
de réduction sont des matrices d’Hermite.1 cr Corollaire
(1).
- Etant donné deuxsystèmes
Davec les mêmes nombres
caractérisques
il existe
toujours
une matrice nondégénérée S
telle queEn
effet,
le théorème fondamental nouspermet
d’écrire :
d’où,
parcomparaison,
ou encoreen faisant
2e Corollaire. - Toute matrice B commutable avec
les éléments
A;
d’unsystème
Dqui
en a Jxi ==2p
del’ordre n,
est ramenée parSA
à la forme(1) Résultant du procédé de réduction et de la forme spéciale des ... H2p.
B(p) étant une matrice d’ordre
En
effet,
lapremière
transformée de Il commutantavec les
premières
transformées deAi,
c’est-à-dire,
avec- une
diagonale
d’éléments différents+
1 et - 1 etune autre d’éléments non
diagonales
différents dezéro-il s’ensuitqu’elle
sera de la formeétant de
l’ordre n
2«
En raisonnant de même avec les transformées de
Bi
et de
~3~,
A*(l)
et ainsi de suite on arrive finalementau corollaire énoncé.
3e Corollaire. - Les seules matrices 13 commutables
avec les éléments
~91
d’unsystème
Dqui
en a m =~~
de l’ordre minimum n
= ~ ~,
ce sont les scalaires. Dans ce cas, eneffet,
on ac’est-à-dire
un nombre
bp.
DoncC’est ce
qui
sevérifie,
enparticulier,
pour lessys-tèmes de Dirac
(1) :
a1 CX2 a3 01524- avec4,
n = 22 - 1. 4~ eCorollaire. - Soient
deux
systèmes
commutables Dc’est-à-dire,
tels queLeur ordre minimum est >1" - 22P.
En
effet,
le deuxièmecorollaire,
nouspermeLd’ëcrîre :
étant
pour i
=== i...~p
unsystème
D de l’ordre47
Mais l’ordre minimum d’un
système
Dqui
en am== 2p
matrices est9~.
Doncd’où
II 1. - Nous allons maintenant
appliquer
ces résultatsà la théorie du
photon
de M. Louis deBroglie.
L’équation
fondamentale de M. Louis deBroglie,
équation
(III),
p.7,
Nouvelles Recherches sur la Lumière(Hermann, 1936),
est réductible à la formecaractéris-tique
en
représentant
par H
l’opérateur :
avecce sont huit matrices de 16e ordre d’éléments
Íl2, a3, 01524 étant les
quatre
matrices de Dirac.Ces matrices
jouissent
despropriétés
Ce sont donc deux
systèmes
Dcommutables,
et enconséquence,
Dans ces
conditions,
si l’on admetréciproquement,
quel’opérateur
II soit réductible à une formena),
/J(b) étant des combinaisons linéaires des étant des combinaisons linéairesdes2013,2013,2013,
a
satisfaisant aux deux conditions(2),
il faudraexiger
pour les coefficients :la vérification de
(1).
C’est-à-dire,
les etBi
doivent constituer deux sys-tèmes commutables D.Leur ordre commun sera
donc,
en vertu du corol-lairequatrième :
En résumé : si nous
admettons,
avec M. Louis deBroglie,
« le faitgénéral
qu’à
toutegrandeur physique
observable de la théorie du
photon
doitcorrespondre
unopérateur
linéaire ethermétique
de la forme F(a)+
F(b),
nous arriverons pour H à
avec
les
A;
etB;
constituant -pour avoir le maximum de
simplification
- huit matrices de ~.6e ordre chacune.L’équation
fondamentale de M. Louisde Broglie
avecles
Ai
etB;
numériques
antérieurementécrites,
setrouve ainsi enrichie au
point
de vuethéorique :
c’estune
conséquence
nouvelle d’un faitgénéral.
2. - Nouvelle forme deséquations
(III)
et(IV)
(N.
R.L.).
En
posant
48 il vient
d’où par addition et soubstraction :
En introduisant les variables
symétriques :
on a :
Et si l’on
multiplie
les deuxéquations
par il vient avec , ’1: Finalement ou encoreLes
ce sont deux nouveaux
systèmes
commutables 1) et enconséquent
d’où en
particulier
En résumé : on
peut
substituer ausystème
(III)
et(IV)
lesystème (y)
où +figure
comme état fondamental commun de deuxopérateurs symétriques
(T(A),
à),
Ll)
pour la valeur déterminée
En terminant cette
petite
note,
qu’il
me soitpermis
d’affirmer ma
profonde
reconnaissance à M. Louis deBroglie qui
m’asuggéré
sapublication
dans ce Journal.(l) Dans sa « Contribution mathématique à la théorie des matrices de I)irac », Annales de l’Institut Henri Fascicule
II, volume VI, 1936, p. 109, 11n - 11’. Pauli
s’exprime dans
ces termes au sujet des matrices D telles que
« On sait que toutes les propriétps importantes de ces matrices sont indépendantes de leur spécialisation numérique et découlent
uniquement des relations (1) et du fait qu’elles ont quatre lignes
et quatre colonnes et il ajoute : cc il existe pourtant certains théorèmes dont les seules dérnonstrations connues jusqu’à
pré-sen t font précisément appel à cette spécialisation numérique, par
exemple le théorème fondamental suivant : Si sont deux
systèmes de matrices à quatre lignes et quatre colonnes qui
satisfont toutes les deux aux mêmes relations (1) il existe une
matrice S non dégénérée satisfaisant à la relation
Et après avoir fait une référence à la démonstration de M. Van der Waerdun dans son ouvrage Die gruppen theoretische Méthode in der Quantenmechanik, Berlin, 1932 - Il en donne
une autre (p. ’i 15 et suivantes) avec quelques-unes de leurs
conséquences.
Sa démonstration est basée dans une méthode de Schur.
Or, nous basant uniquement sur les propriétés des valeurs et vecteurs fondamentaux de tout système D satisfaisant aux
relations (1) il nous fut possible d’arriver au théorème plus général (A) qui constitue le point capital de cette note et en
déve-loppant quelques-uns de leurs corollaires,en particulier le 2e, qu généralise le terme 7 de M. Pauli, nous avons pu finalement en
faire une application à la théorie du photon de 11l. Louis de
Broglie.
Ce sont précisément cette méthode et cette application que je me permets de présenter maintenant aux lecteurs de cette revue.
