Propriétés stochastiques de systèmes dynamiques et théorèmes limites : deux exemples.

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Propriétés stochastiques de systèmes dynamiques et théorèmes limites : deux exemples.

Mikaël Roger

To cite this version:

Mikaël Roger. Propriétés stochastiques de systèmes dynamiques et théorèmes limites : deux exemples..

Mathématiques [math]. Université Rennes 1, 2008. Français. �tel-00362479�

N ^◦ d'Ordre : 3799

T H È S E

Présentée

DEVANT L'UNIVERSITÉ DE R ^{ENNES I}

pour obtenir

le grade de DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE RENNES I

Mention Mathématiques et Applications par

Mikaël R ^OGER

Institut de Recherche Mathématique de Rennes École Doctorale MATISSE

U.F.R. de Mathématiques

TITRE DE LA THÈSE :

Propriétés stochastiques de systèmes dynamiques et théorèmes limites : deux exemples

Soutenue le 18 décembre 2008 devant la Commission d'Examen

COMPOSITION DU JURY :

M. G. COHEN Rapporteur

M. J.-P. CONZE Directeur

M. L. HERVÉ Examinateur

M. S. LE BORGNE Directeur

M. B. PETIT Examinateur

M. B. SCHMITT Rapporteur

2

3

Remerciements

En premier lieu, c’est naturellement à mes directeurs Jean-Pierre Conze et Stéphane Le Borgne que je souhaite exprimer ma sincère gratitude, pour leur patience, leur disponibilité. J’ai particulièrement apprécié de toujours quitter leurs bureaux fort de nombreuses suggestions, critiques ou interrogations.

Merci à eux pour leur encouragement et les discussions toujours très ouvertes au cours de ces trois années.

Je remercie mes rapporteurs Guy Cohen et Bernard Schmitt pour leur patient travail de relecture de ce manuscrit et la justesse de leurs commentaires. Merci également à Loïc Hervé et à Bernard Petit d’avoir accepté de faire partie du jury de cette thèse, qui s’inspire de quelques uns de leurs travaux.

A mes parents et grands-parents, sans lesquels rien de tout ceci n’aurait pu voir le jour. A mon explosif petit chimiste amusant, et Isis, si sage dans la méditation et vive à la souris.

Au cercle vertueux de mes amis rennais, pour lesquels quelques lignes de remerciements confinent également à l’ingratitude. Qui ne regrette les bons mots ment. Aux vaillants chevaliers teutoniques de la belote eponyme : Vicky, qui nous a tout appris ; JR, protagoniste de toute bonne controverse ; Yann , jovial en toutes circonstances ; Mathilde, toujours rieuse, et Clement, edile calembourgeois. A Olivier, dont la dimension ne se réduit pas à être un camarade de la première heure. A Flavie, Thomas & Au- drey, Nicolas & Céline, Sébastien, Aurélien, Mylène, Nolwenn et Nathalie. A Jérôme à l’humour et aux idées plus affutés que le sabre. A Corentin et plusieurs discussions (tranquilles) au coin du feu.

A l’équipe de foot du vendredi, notamment les organisateurs Gweltaz, Delphine, Richard et Lionel.

Aux doctorants de l’IRMAR que j’ai eu plaisir à côtoyer, avec une mention spéciale à mes collègues de bureau.

A l’équipe de théorie ergodique, pour l’accueil bienveillant qu’elle réserve à ses doctorants.

Aux personnels d’entretien, secrétaires dévouées et attentionnées, et bibliothécaires aussi aimables qu’efficaces.

Aux acteurs du magistère MMMI pour l’excellence de la formation offerte. Un grand merci à Michel Pierre, Arnaud Debussche, Grégory Vial, Gabriel Caloz, et à l’ENS Cachan Bretagne en général.

A l’ensemble des personnes qui ont su éveiller ma curiosité intellectuelle depuis mes premiers pas.

Longue vie à la communauté du logiciel libre qui diffuse des logiciels aussi performants que L

^A

TEX, Scilab, Open Office, ou Geogebra.

Enfin, contre toute attente, je tiens à remercier Jacques Chirac -président de la République Française-

d’avoir mis fin à la conscription.

4

Table des matières

I TLL pour des matrices de Pisot 9

1 Introduction . . . . 12

2 TLL pour les sous-shifts de type ni bilatères . . . . 15

2.1 Opérateur de transfert . . . . 16

2.2 Opérateurs perturbés et propriétés spectrales . . . . 17

2.3 Apériodicité et variance . . . . 19

2.4 Théorème limite local pour le sous-shift de type ni unilatère . 21 2.5 Théorème limite local pour les sous-shifts de type ni bilatères 25 3 Codage des automorphismes hyperboliques du tore . . . . 30

3.1 Notations, matrices de Pisot . . . . 30

3.2 Codage markovien des automorphismes . . . . 31

3.3 Mesure d'entropie maximale . . . . 31

3.4 Codage soque . . . . 32

3.5 Relèvement au sous-shift . . . . 34

3.6 Autosimilarité et mesure de Lebesgue . . . . 35

4 TLL pour les matrices de Pisot et sous-variétés instables . . . . 40

4.1 Apériodicité . . . . 40

4.2 Théorème limite local et sous-variété instable . . . . 46

4.3 Théorème limite local pour les sommes de Riesz-Raïkov asso- ciées à une matrice de Pisot . . . . 48

4.4 Comparaison des sommes ergodiques pour des v égaux modulo Z 48 4.5 Théorème limite local sur le tore . . . . 49

II TLC pour des composées d'automorphismes du tore 53 1 Introduction et notations . . . . 55

2 Décorrélation et variance . . . . 57

2.1 Décorrélation . . . . 57

2.2 Variance . . . . 59

3 Théorème limite central . . . . 60

3.1 Condition de séparation des fréquences . . . . 60

3.2 Application d'un critère de Komlòs . . . . 63

3.3 Majoration de | E [e

^ixkSnkSn2

] − e

^−12x2

| . . . . 67

5

6 TABLE DES MATIÈRES

3.4 Approximation par une loi normale . . . . 68

4 Le cas stationnaire . . . . 70

4.1 Ergodicité, décorrélation globale . . . . 70

4.2 Non nullité de la variance . . . . 74

5 Exemples I . . . . 75

5.1 Cas de SL(2, Z

⁺

) . . . . 75

5.2 Une méthode de cônes . . . . 78

5.3 Cas de faibles perturbations . . . . 78

5.4 Kicked systems . . . . 86

6 Exemples II (Suites aléatoires indépendantes) . . . . 87

7 Preuve du lemme . . . . 101

8 Figures . . . . 104

Introduction

Théorèmes limites sur un exemple

Dans cette courte introduction, on se propose de présenter sur un exemple les dif- férents théorèmes limites qui motivent ce travail sur un système dynamique simple.

Les preuves sont classiques et ne seront pas détaillées.

Un automorphisme hyperbolique du tore

On se place sur le tore T

²

= R

²

/ Z

²

. On considère la matrice M =

µ 2 1 1 1

¶

appartenant à SL(2, Z). On lui associe une transformation du tore

τ : T

²

→ T

²

; x 7→ M x mod Z

²

.

La matrice M possède deux valeurs propres réelles : κ = 3 + √ 5

2 et κ

⁻¹

= 3 − √ 5 2 , avec κ > 1 > κ

⁻¹

. On note v

u

= 1

√ 5 µ 2

1

¶

(resp. v

s

= 1

√ 5 µ − 1

2

¶

) un vecteur propre instable (resp. stable ) associé à la valeur propre κ (resp. κ

⁻¹

).

Cette matrice M est dite hyperbolique, et le réel κ est appelé nombre de Pisot, il est l'unique racine de module strictement plus grand que 1 d'un polynôme à coecients entiers. La transformation τ est un automorphisme du tore. Notons que la mesure de Lebesgue λ est invariante par τ : pour tout ensemble mesurable A ⊂ T

²

, on a :

λ(τ

⁻¹

(A)) = λ(A).

Etant donnée une position initiale x, on souhaite décrire le comportement asymp- totique la suite des positions futures (τ

^j

x)

j≥0

.

7

8 Introduction

Théorèmes limites

Etant donnée une fonction f : T

²

→ R , et x ∈ T

²

, on dénit la suite (S

N

f )

N≥1

des sommes ergodiques par : S

_N

f(x) =

N−1

X

j=0

f (τ

^j

x), ∀ N ≥ 1. (1)

Loi des grands nombres (LGN)

Pour une fonction f ∈ L

¹

( T

²

, R ), on montre que 1

N S

N

f(x) −−−−→

^L1

N→+∞

Z

T²

f (u)dλ(u), (2)

pour λ-presque-tout x ∈ [0, 1[.

En d'autres termes, la moyenne le long d'une orbite s'approche la moyenne spa- tiale, pour la mesure λ. Ce résultat est ici une conséquence du théorème ergodique de Birkho, le système dynamique (T

²

, τ, λ) étant ergodique.

Théorème de la limite centrale (TLC)

Pour une fonction f : T

²

→ R susamment régulière (par exemple, | f(n) ˆ | ≤ C | n |

^−α

, pour C > 0 et α > 1/2), on montre que, pour un paramètre de variance asymptotique σ

²

, on a

√ N

¯ ¯

¯ ¯ 1

N S

N

f ( · ) − Z

T²

f(u)dλ(u)

¯ ¯

¯ ¯ −−−−→

^L

N→+∞

N (0, σ

²

). (3) Pour montrer ce résultat, on peut par exemple utiliser les fonctions caractéristiques pour montrer que pour tout t ∈ R , on a E [e

^{i√tNSNf(·)}

] −−−−→

N→+∞

e

^−t

2 2σ2

Théorème limite local (TLL)

On peut préciser le comportement local, avec f comme dans le théorème précé- dent, en montrant que pour tous réels a < b , on a

σ √

2πN λ µ½

x ∈ T

²

; S

N

f (x) − N Z

T²

f (u)dλ(u) ∈ [a, b]

¾¶

−−−−→

N→+∞

b − a. (4)

Objectifs

Dans cette thèse on va établir des théorèmes limites locaux pour des sommes

ergodiques associées à des matrices plus générales (chapitre I) et des théorèmes

limites centraux pour des produits d'automorphismes du tore (chapitre II).

Chapitre I

Théorème limite local pour les

sommes de Riesz-Raïkov associées à des matrices de Pisot

9

10 CHAPITRE I. TLL POUR DES MATRICES DE PISOT

Sommaire

1 Introduction . . . . 12

2 TLL pour les sous-shifts de type ni bilatères . . . . 15

2.1 Opérateur de transfert . . . . 16

2.2 Opérateurs perturbés et propriétés spectrales . . . . 17

2.3 Apériodicité et variance . . . . 19

2.4 Théorème limite local pour le sous-shift de type ni unilatère 21 2.5 Théorème limite local pour les sous-shifts de type ni bi- latères . . . . 25

3 Codage des automorphismes hyperboliques du tore . . . 30

3.1 Notations, matrices de Pisot . . . . 30

3.2 Codage markovien des automorphismes . . . . 31

3.3 Mesure d'entropie maximale . . . . 31

3.4 Codage soque . . . . 32

3.5 Relèvement au sous-shift . . . . 34

3.6 Autosimilarité et mesure de Lebesgue . . . . 35

4 TLL pour les matrices de Pisot et sous-variétés in- stables . . . . 40

4.1 Apériodicité . . . . 40

4.2 Théorème limite local et sous-variété instable . . . . 46

4.3 Théorème limite local pour les sommes de Riesz-Raïkov associées à une matrice de Pisot . . . . 48

4.4 Comparaison des sommes ergodiques pour des v égaux modulo Z . . . . 48

4.5 Théorème limite local sur le tore . . . . 49

11

Etant donnés un nombre de Pisot θ et une fonction höldérienne f, on démontre

un résultat analogue au théorème limite local obtenu par Bernard Petit [Pet96] sur

les sommes de Riesz-Raïkov. Son travail utilise une condition d'apériodicité portant

sur un relèvement F de f dans un certain sous-shift de type ni, qui peut être dicile

à vérier sur les exemples. Quand θ est unitaire, on montre le résultat à la seule

condition que f ne soit pas constante. La construction présentée permet également

d'obtenir un théorème limite local pour les matrices de Pisot .

12 CHAPITRE I. TLL POUR DES MATRICES DE PISOT

1 Introduction

Etant donné un nombre réel θ > 1 , les sommes de Riesz-Raïkov associées à θ et à une fonction f dénie sur R et 1 -périodique sont les sommes dénies par

S

n

f(x) :=

n−1

X

i=0

f (θ

ⁱ

x). (I.1)

L'étude des propriétés stochastiques de ces sommes a été introduite par D. Raïkov ([Raï36]), qui a montré la loi des grands nombres (LGN) dans le cas θ = 2 , pour f intégrable :

1

N S

N

f (x) −→

N→+∞

Z

1 0

f(u) du, pour Lebesgue-presque tout x ∈ [0, 1]. (I.2) F. Riesz ([Rie45]) a remarqué qu'il s'agissait d'un exemple d'application du théorème ergodique de Birkho. Depuis, de nombreux auteurs se sont intéressés au comporte- ment asymptotique de ces sommes, pour diérentes valeurs de θ , d'autres choix de régularité de la fonction f et en considérant d'autres théorèmes limites que la loi des grands nombres.

Un premier ranement consiste à établir pour certaines classes de fonctions le théorème de la limite centrale (TLC) :

S

N

f − N R

1 0

f du

√ N

−−−−→

L

N→+∞

N (0, σ

²

), (I.3) où la variance asymptotique σ

²

est dénie par σ

²

= lim

N→+∞

1

N k S

N

f k

²2

,

Quand il a lieu, un tel résultat fournit la vitesse dans la loi des grands nombres.

Une autre question qui peut être examinée est la validité du théorème limite local (TLL) (en notant λ la mesure de Lebesgue sur R

^d

) :

σ √

2πN λ µ½

x ∈ [0, 1], S

N

f (x) − N Z

1

0

f (u) du ∈ [a, b]

¾¶

−−−−→

N→+∞

b − a, (I.4) ainsi que celle de la loi du logarithme itéré (LLI) :

lim sup

N→+∞

√ N σ p

2 ln(ln N )

¯ ¯

¯ ¯ 1

N S

N

f(x) − Z

1

0

f(u) du

¯ ¯

¯ ¯ ≤ 1, pour Lebesgue-p. t. x ∈ [0, 1], (I.5) Mentionnons enn les versions multidimensionnelles des propriétés précédentes.

En ce qui concerne la LGN, elle a été montrée par F.Riesz et D.Raïkov pour tout

entier θ > 1. Plus récemment, E. Rio ([Rio00]) l'a établie pour presque tout réel

θ > 1. L'équidistribution de la suite (θ

ⁿ

x)

n≥0

pour presque tout x a été montrée,

1. INTRODUCTION 13 pour Lebesgue presque tout θ > 1 par J. F. Koksma. Elle a été étendue au cas multidimensionnel par E. Lesigne ([Les98]).

Pour le TLC, sous des hypothèses de régularité de f , une première version a été établie par par R.Fortet ([For40]) pour tout entier θ > 1 . Puis S. Takahashi (1962) et R. Kaufman (1980) on montré le TLC pour certains θ > 1 entiers algébriques.

Etant donné une fonction f développable en série de Fourier, on note ( ˆ f(n)) la suite de ses coecients de Fourier. Pour les fonctions f vériant | f(n) ˆ | ≤ K | n |

^−α

, pour K > 0 et α >

¹₂

, B. Petit ([Pet92]) a établi le TCL pour tout θ > 1, en ex- plicitant la condition de non-dégénerescence de la variance. Soit ∀ m ∈ N , θ

^m

∈ / Q et alors σ

²

=

Z

1 0

f (u)

²

du . Soit il existe un couple (a, b) d'entiers premiers entre eux, tel que a

b = θ

^{inf{m,θm∈Q}}

, auquel cas σ

²

= Z

1

0

f(u)

²

du + 2 X

n≥1

Z

1 0

f(a

ⁿ

u)f (b

ⁿ

u) du , avec σ

²

= 0 si et seulement s'il existe une fonction g ∈ L

²

telle que f( · ) = g(a · ) − g(b · ). En fait, l'hypothèse de régularité moins contraignante X

ℓ≥0



 X

2^ℓ≤n<2^ℓ+1

| f ˆ (n) |

²





1 2

< + ∞ sut et sous cette hypothèse, vériée en particulier par les fonctions höldériennes, K. Fukuyama a donné une version multidimensionnelle du TCL ([Fuk94]).

La LIL a été prouvée pour θ > 1 entier, par G. Maruyama et I. Ibragimov.

En ce qui concerne le TLL, le cas θ entier a été traité par Moskvin et Postnikov [MP78]. P. Calderoni M. Campanino, et D. Capocaccia ([CCC85]) l'ont montré pour θ nombre de Pisot de degré 2 et pour certaines fonctions f indicatrices d'intervalles.

Leur méthode, bien qu'utilisant également la notion de partition de Markov, est diérente de celle proposée ici.

B. Petit [Pet96] traite le cas où θ est un nombre de Pisot et f est höldérienne.

La preuve de ce résultat utilise un codage symbolique ϕ : X → T construit à partir des θ -développements de réels. Les théorèmes limites sont prouvés sur le décalage symbolique (X, σ), puis leurs analogues pour les sommes de Riesz-Raïkov en sont déduites à l'aide d'un résultat d'approximation. La condition de non-dégénerescence de la variance, portant sur le relèvement dans le décalage de l'observable f , est la suivante :

(AP) f ◦ ϕ n'est pas de la forme u ◦ s − u + α + kβ , pour u ∈ L

^∞

, α ∈ R, β > 0 et k : X → Z . Elle est toutefois dicile à vérier.

Sommes de Riesz-Raïkov étendues

Dans ce travail, inspiré du précédent, on traite un cas de TLL, pour des sommes de Riesz-Raïkov étendues, i.e. pour des sommes S

_N

f(x) =

N

X

−1 i=0

f (A

ⁱ

x) , pour f :

R

^r

−→ R höldérienne, avec M ∈ SL(d, Z ) matrice hyperbolique, de sous-espace

14 CHAPITRE I. TLL POUR DES MATRICES DE PISOT vectoriel dilatant F

u

de dimension r < d, π la projection de F

u

sur R

^r

, et A = π

⁻¹

M π.

Notre condition (APF) de non-dégénerescence de la variance a l'avantage d'être explicite, en terme du développement en série de Fourier de f :

(APF) pour toute fréquence k ∈ Z

^d

telle que Card( { (M

^⊤

)

^s

k, s ∈ Z } ∩ (Z

^r

× { 0 }

^d−r

)) ≥ 2, f ∈ { e

_(M⊤)^sk

, s ∈ Z }

^⊥

.

Le cas particulier des nombres de Pisot unitaires est obtenu en prenant pour matrice M la matrice compagnon de θ. Dans ce cas, l'hypothèse (APF) est automa- tiquement vériée par les fonctions f non nulles presque partout et on retrouve alors le résultat de B. Petit, mais avec une condition plus simple à vérier que la condition (AP) dans le cas unitaire.

Notations 1.1. Etant donnée M une matrice hyperbolique de SL(d, Z ), on note F

u

le sous-espace vectoriel M -invariant associé aux valeurs propres de module supérieur à 1 et r sa dimension.

Soit (e

1

, . . . , e

d

) la base canonique de R

^d

.

Dénition 1.2. Une matrice M du type précédent satisfait la condition ( Π ), s'il ex- iste des vecteurs (e

i1

, . . . , e

ir

) dans cette base tels que, en notant V = Vect(e

i1

, . . . , e

ir

) , l'application π : F

u

→ V , restriction à F

u

de la projection sur V parallèlement au sous-espace Vect < (e

j

)

j /∈{i1,...,ir}

>, soit une bijection.

Cette condition est en particulier réalisée lorsque le polynôme caractéristique de M est irréductible sur Q , on peut choisir V = Vect < e

₁

> .

Cette condition est également réalisée dans le cas d'une matrice M diagonale par blocs, et dont les polynômes caractéristiques des restrictions aux blocs sont irréductibles, il sut de choisir, exactement un des vecteurs (e

i1

, . . . , e

ir

) dans chaque bloc.

Par exemple, pour M =



 

 

2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 3 2 0 0 1 1



 

  , on peut prendre V = Vect <



 

  1 0 0 0



 

  ,



 

  0 0 1 0



 

  >

.

Dans toute la suite, on suppose cette condition ( Π ) vériée. Quitte à permuter les vecteurs (e

1

, . . . , e

n

), on considérera dans la suite que V =< e

1

, . . . , e

r

>, an de simplier les notations.

Notations 1.3. Notons A l'application linéaire dilatante sur V dénie par A :=

πM π

⁻¹

.

L'action de A sur V donne lieu à une généralisation des sommes de Riesz-Raïkov (I.1) : si f est une fonction 1-périodique dénie sur V , on considère les sommes

S

n

f (t) =

n−1

X

i=0

f (A

ⁱ

t). (I.6)

2. TLL POUR LES SOUS-SHIFTS DE TYPE FINI BILATÈRES 15 Les sommes du type (I.1) correspondant à un nombre de Pisot θ s'obtiennent en prenant pour M la matrice compagne du polynôme minimal de θ.

Le résultat principal de ce travail est le théorème limite local suivant pour les sommes (I.6) qui étend le résultat de B. Petit cité plus haut (tout au moins dans la cas unitaire). Ce théorème est valide sous une condition (APF) d'apériodicité (condition 4.1 précisée plus loin) qui présente l'avantage d'être vériable sur des exemples par un calcul de coecients de Fourier. Notons λ (resp. λ

r

) la mesure de Lebesgue sur R (resp. T

^r

).

Théorème 4.7 Soit M ∈ SL(n, Z ) une matrice hyperbolique vériant les con- ditions (Π)(c.f. 1.2) et (DE)(c.f. 4.6). Soient r la dimension de son sous-espace propre associé à ses valeurs propres de module supérieur à un, π la bijection as- sociée (c.f. dénition 1.2) et A = πM π

⁻¹

. Soit f une fonction α-höldérienne sur R

^r

, 1-périodique, non constante, telle que Z

f dλ

r

= 0 et vériant (APF)(c.f. 4.1) . Alors σ

_f²

= lim

k→+∞

1 k

Z

(S

_k

f )

²

dλ

_r

est strictement positif et pour tout intervalle I ⊂ R , on a :

σ

f

√ 2πnλ

r

Ã(

v ∈ [0, 1]

^r

,

n−1

X

i=0

f(A

ⁱ

v ) ∈ I )!

−−−−→

n→+∞

λ(I).

Les étapes de la démonstration sont les suivantes. On utilise tout d'abord un codage symbolique, lié à la notion de partition de Markov. On prouve ensuite une version un peu plus générale du théorème limite local pour un sous-shift de type ni et une fonction höldérienne. On peut alors traduire ce résultat sur le tore à l'aide de l'application de codage, et un résultat d'approximation permet de préciser le comportement des sommes de type "Riesz-Raïkov" sur la variété instable. On en déduit nalement un théorème limite local sur le tore, grâce à la souplesse introduite dans les résultats précédents, en remarquant que les mesures introduites sur les sous- variétés instables s'approchent de la mesure de Lebesgue sur V .

2 Théorème limite local pour les sous-shifts de type nis bilatères

Dans cette partie, on se place dans le cadre général d'un sous-shift de type

ni bilatère (X, σ) , associé à une matrice de transition B irréductible, muni de

l'unique mesure d'entropie maximale σ-invariante notée µ. (X

⁺

, σ) désigne le sous-

shift unilatère et µ

⁺

(ou simplement µ) la mesure d'entropie maximale sur ce facteur.

16 2.1. Opérateur de transfert Nous rappelons la méthode permettant d'obtenir un théorème limite local pour les fonctions régulières dans ce cadre. En même temps nous obtenons une extension de ce résultat classique qui est adaptée à l'application aux sommes de Riesz-Raïkov présentée dans les sections suivantes.

2.1 Opérateur de transfert

La matrice B est irréductible et apériodique.

Notations 2.1. Notons β l'unique valeur propre de module maximal de la matrice de transition B, L un vecteur propre de Perron à gauche de B et R le vecteur propre de Perron à droite de B, vériant les relations :

L

^⊤

B = βL

^⊤

, BR = βR, X

n

i=1

L

i

R

i

= 1.

On peut alors dénir une matrice stochastique Q en posant :

∀ i, j ∈ I, Q

i,j

= B

i,j

R

i

βR

j

. Soit q le vecteur déni par q

i

= L

i

R

i

, pour tout i ∈ I.

Le vecteur q est un vecteur de probabilité stationnaire pour Q. En eet, pour tout i ∈ I , on a :

X

m j=1

Q

i,j

q

j

= X

m

j=1

B

i,j

L

j

R

i

β = q

i

.

Notation 2.2. On note µ

⁺

l'unique mesure sur le sous-shift unilatère X

⁺

muni de sa tribu borélienne B qui est invariante par le décalage σ et d'entropie maximale.

On appelle cylindre les ensemble [i

0

, . . . , i

k

] = { x ∈ X, x

0

= i

0

, . . . x

k

= i

k

}, pour k entier, et i

₀

. . . i

_k

un mot admissible. La mesure µ

⁺

est dénie sur les cylindres par :

µ

⁺

([i

0

, . . . , i

k

]) = L

i0

R

ik

β

^−k

.

Elle se prolonge en mesure invariante sur le sous-shift bilatère X notée µ.

Enn, on dénie la distance d sur X

⁺

par d(x, y) = 2

^{−min{i, xi6=yi}}

.

L'entropie de (X, σ, µ) est égale à ln β. Pour plus de détails, on peut se reporter à [Kit98] p.155, ou encore à [Buz07].

Notations 2.3. Dans la suite, λ désigne la mesure de Lebesgue sur R , α un réel

∈ ]0, 1] et H

α

l'espace de Banach des fonctions α-höldériennes de X

⁺

dans R muni de la norme de Hölder k k

α

dénie, pour f ∈ H

α

, par :

k f k

α

= k f k

∞

+ [f ]

α

, (I.7)

2.2. Opérateurs perturbés et propriétés spectrales 17 où

[f]

α

= sup

x6=y,x0=y0

| f (x) − f(y) | d(x, y)

^α

.

L'opérateur de Perron-Frobenius-Ruelle relativisé markovien P opérant sur l'es- pace des fonctions höldériennes f sur X

⁺

est déni par :

P f (x) = X

i:B(i,x0)=1

Q

i,x0

f (ix), x ∈ X.

Cet opérateur vérie la relation de dualité suivante :

Proposition 2.4. Pour toutes fonctions f et g appartenant à H

^α

, on a : Z

X

P f (x)g(x)dµ(x) = Z

X

f(x)g ◦ σ(x)dµ(x).

2.2 Opérateurs perturbés et propriétés spectrales

Rappelons quelques propriétés spectrales des opérateurs perturbés (c.f.[HH01]).

Etant donnée une fonction F , on dénit la famille d'opérateurs perturbés (P

t

)

t∈R

, pour tout réel t par :

P

t

f = P (e

^itF

f). (I.8)

On montre par récurrence la relation de dualité suivante :

Proposition 2.5. Pour toutes fonctions f et g appartenant à H

α

, on a, pour tout

n ≥ 1 : Z

X

P

_tⁿ

f (x)g (x)dµ(x) = Z

X

f(x)e

^itSnF(x)

g ◦ σ

ⁿ

(x)dµ(x), où S

_n

F (x) =

n−1

X

k=0

F ◦ σ

^k

(x).

L'action de l'opérateur P régularise les fonctions. Considérons deux suites x et y ayant la même coordonnée d'indice nul : x

0

= y

0

.

| P f (x) − P f (y) | ≤ | X

i:B(i,x0)=1

q

i,x0

f (ix) − X

i:B(i,y0)=1

q

i,y0

f(iy) |

≤ | X

i:B(i,x0)=1

Q

i,x0

f (ix) − X

i:B(i,x0)=1

Q

i,x0

f(iy) |

≤ X

i:B(i,x0)=1

Q

_i,x0

2

^−α

[f]

_α

≤ 2

^−α

[f]

α

18 2.2. Opérateurs perturbés et propriétés spectrales Pour tout n ≥ 1, on a donc

[P

ⁿ

f]

α

≤ 2

^−nα

[f ]

α

. On établit les inégalités suivantes :

k P f k

∞

≤ k f k

∞

, k P

t

f k

∞

≤ k f k

∞

, k P f k

^1,µ

≤ k f k

^1,µ

k P f k

α

≤ k f k

∞

+ 2

^−α

[f ]

_α

,

k P

ⁿ

f k

α

≤ C

^′

k f k

∞

+ 2

^−nα

[f ]

α

, ∀ n > 0 k P

t

f k

^α

≤ [e

^itF

]

α

k f k

∞

+ 2

^−α

[f]

α

,

k P

_tⁿ

f k

α

≤ C

^′

[e

^itF

]

_α

k f k

∞

+ 2

^−nα

[f ]

_α

, ∀ n > 0.

L'étude des propriétés spectrales de P montre que le spectre de P est constitué de la valeur propre simple 1 et d'un ensemble contenu dans le disque de centre 0 et de rayon < 1.

Rapelons le lemme suivant, d'après le lemme 3.9 de [HH01].

Lemme 2.6. Soit ( B , k k ) un espace de Banach. Soit V

0

opérateur linéaire borné sur ( B de rayon spectral r(V

0

). Pour tout r > r(V

0

), il existe η et C tels que k V − V

0

k <

η ⇒ k V

ⁿ

k ≤ Cr

ⁿ

.

On vérie que, pour une constante C

^′

, k P

t

− P

s

k ≤ C

^′

| t − s |. En eet k (P

_t

− P

_s

)f k

α

≤ C[e

^itF

− e

^isF

]

_α

k f k

∞

+ 2

^−α

k e

^itF

− e

^isF

k

∞

k f k

α

≤ C(t − s) k F k

α

k f k

∞

+ 2

^−α

| t − s |k F k

∞

k f k

α

.

Pour | t | susamment petit, si r

_t

est tel que r(P

_t

) < r

_t

< 1 , alors il existe ε

_t

> 0 tel que

| t − s | < ε

t

⇒ k P

_sⁿ

k ≤ Cr

_tⁿ

, ∀ n ≥ 0.

Par une méthode de perturbation, on montre qu'il existe un voisinage [ − δ, δ] de 0 tel que (c.f. [HH01], partie III-2) le spectre de P

t

est constitué d'une valeur propre simple dominante γ

t

=

t→0

1 − σ

_F^2t₂²

+ o(t

²

) (associée à un vecteur propre noté v

t

, avec v

0

= 1 ) et d'un sous-ensemble contenu dans un disque de rayon γ

t

< 1 . Le réel σ

F

coïncide avec la variance asymptotique de F qui sera dénie plus bas.

Lemme 2.7. Sous l'hypothèse d'apériodicité, pour tout compact K de R de diamètre susamment petit et ne contenant pas 0, il existe des constantes ρ

K

< 1 et C

K

> 0 telles que pour t ∈ K,

k P

_tⁿ

k

α

≤ C

_K

ρ

ⁿ_K

.

2.3. Apériodicité et variance 19 Pour t susamment petit, nous avons la décomposition suivante pour P

t

:

P

t

h = γ

t

µ(Π

¹_t

h)v

t

+ Π

⁰_t

h,

où Π

¹_t

est le projecteur sur le sous-espace propre dominant et Π

⁰_t

le projecteur sur un supplémentaire.

Dans la suite, nous noterons δ > 0 et ρ ∈ ]0, 1[ des réels tels que, pour une constante C > 0 et toute fonction α-höldérienne, on ait :

k (Π

⁰_t

)

ⁿ

f k

α

≤ Cρ

ⁿ

, ∀ n ≥ 1, ∀ t, | t | ≤ δ. (I.9) En particulier, l'opérateur P s'écrit f → P (f) = µ(f) + Q(f ), où Q est un opérateur vériant :

k Q

ⁿ

f k

α

≤ Cρ

ⁿ

, ∀ n ≥ 1. (I.10)

2.3 Apériodicité et variance

Dénition 2.8. (Apériodicité) On dit qu'une fonction mesurable F : X → R est apériodique s'il n'existe pas de fonction mesurable h et de réels γ, β tels que :

exp(2iπγ(F − β)) = h ◦ σ h .

Soit G une fonction α-höldérienne sur X

⁺

, apériodique, telle que µ(G) = 0. On a alors σ

_G²

= µ(G

²

) + 2 X

k≥1

µ(G G ◦ σ

^k

) > 0

La fonction G étant d'intégrale nulle, nous avons : Z

G G ◦ σ

^k

dµ = Z

G Q

^k

G dµ.

On en déduit qu'il existe deux constantes positives C et ρ < 1 pour lesquelles :

| Z

G G ◦ σ

^k

dµ | ≤ k G k

∞

k Q

^k

G k

1

≤ k G k

∞

k Q

^k

G k ≤ Cρ

^k

. En développant, on obtient :

Z

(S

n

G)

²

dµ = n Z

G

²

dµ + 2

n−1

X

k=1

(n − k) Z

G G ◦ σ

^k

dµ.

Ceci permet de dénir la variance asymptotique σ

_G

: σ

_G²

= lim

n→+∞

1 n

Z

(S

n

G)

²

dµ = Z

G

²

dµ + 2

+∞

X

k=1

Z

G G ◦ σ

^k

dµ.

20 2.3. Apériodicité et variance Notons que l'apériodicité de G entraîne σ

G

> 0. En eet, supposons qu'on ait σ

G

= 0.

Z

(S

n

G)

²

dµ = n Z

G

²

dµ + 2

n−1

X

k=1

(n − k) Z

G G ◦ σ

^k

dµ

= n ÃZ

G

²

dµ + 2

n−1

X

k=1

Z

G G ◦ σ

^k

dµ

!

− 2

n−1

X

k=1

k Z

G G ◦ σ

^k

dµ

= n ÃZ

G

²

dµ + 2

+∞

X

k=1

Z

G G ◦ σ

^k

dµ

!

− 2n

+∞

X

k=n

Z

G G ◦ σ

^k

dµ

− 2

n−1

X

k=1

k Z

G G ◦ σ

^k

dµ = 0 + O(1).

Ainsi (S

n

G)

n

est une suite bornée dans L

²

. Soit S une limite faible d'une sous- suite (S

nk

G). En utilisant la propriété de mélange, nous obtenons :

k G − (S − S ◦ σ) k

²2

= lim

k

< G − (S − S ◦ σ), G − (S

nk

G − S

nk

G ◦ σ) >

= lim

k

< G − (S − S ◦ σ), G ◦ σ

^nk

) >= 0.

Ceci montre que G = S − S ◦ σ. Or, d'après la dénition (2.8), une fonction höldérienne et apériodique ne peut pas s'écrire sous cette forme, ce qui établit le résultat.

Prenons maintenant pour F une fonction d'intégrale nulle α -höldérienne sur X apériodique. Nous verrons plus loin que F est cohomologue à une fonction F

⁺

α - höldérienne sur X

⁺

apériodique :

F = F

⁺

◦ π

0

+ u

0

◦ σ − u

0

, où u

₀

est

^α₂

-höldérienne sur X et π

₀

est l'application

π

0

: X → X

⁺

, (x

k

)

k∈Z

→ (x

k

)

k≥0

.

On peut appliquer ce qui précède en prenant pour G la fonction F

⁺

. Cette fonction est apériodique si F est apériodique et les variances sont égales :

S

n

F = S

n

F

⁺

◦ π

0

+ u

0

◦ σ

ⁿ

− u

0

. D'où : |k S

n

F k

2

− k S

n

F

⁺

◦ π

0

k

2

| ≤ 2 k u

0

k

2

, ce qui entraîne

σ

²_F+

= lim

n→+∞

1 n

Z

(S

n

F

⁺

)

²

dµ = lim

n→+∞

1 n

Z

(S

n

F )

²

dµ = σ

_F²

.

En résumé nous avons la proposition suivante qui permet d'assurer, dans toute

la suite que la variance σ

F

associée à une fonction höldérienne apériodique est non

nulle :

2.4. Théorème limite local pour le sous-shift de type ni unilatère 21 Proposition 2.9. Si F est une fonction α-höldérienne et apériodique sur X. La variance

σ

²_F

= µ(F

²

) + 2 X

k≥1

µ(F F ◦ σ

^k

) (I.11)

est nie et > 0 .

On peut également se reporter à [GH88] lemme 3 p.76, ou [HH01] à ce sujet.

2.4 Théorème limite local pour le sous-shift de type ni uni- latère

On va établir un résultat général symbolique dans cette sous-partie, qui sera utilisé dans la suite via le codage des automorphismes hyperboliques du tore.

Rappelons d'abord un premier énoncé d'un théorème local, dont on trouvera une démonstration dans [Pet96] ou [HH01] (p. 95, en utilisant le théorème A

^∗

p. 82) : Théorème 2.10. Soit F une fonction α-höldérienne sur X

⁺

apériodique, telle que µ(F ) = 0, de variance asymptotique σ

F

. On a alors, pour tout intervalle I ⊂ R :

σ

F

√ 2πnµ

⁺

Ã(

x ∈ X

⁺

,

n−1

X

i=0

F ◦ σ

ⁱ

(x) ∈ I )!

−−−−→

n→+∞

λ(I).

On va adapter la preuve donnée dans [Pet96] pour montrer une extension du résultat précédent :

Théorème 2.11. Soit F une fonction α-höldérienne sur X

⁺

telle que µ

⁺

(F ) = 0, apériodique, de variance asymptotique σ

F

. Soit (c

n

) une famille de fonctions α- höldériennes X

⁺

→ R telle que, pour un réel β ∈ ]0,

¹₂

[ , on ait, pour tout n :

k c

n

k

∞

= o(n

^12−β

), ln[c

n

]

α

= o(n

^1−β

). (I.12) On a alors, pour tout intervalle I ⊂ R :

σ

F

√ 2πnµ

⁺

( { x ∈ X : c

n

(x) +

n−1

X

i=0

F ◦ σ

ⁱ

(x) ∈ I } ) −−−−→

_n

→+∞

λ(I).

Preuve Considérons un nombre β ∈ ]0,

¹₂

[ et une suite c

n

de fonctions telles que k c

n

k

∞

= o(n

^12−β

), ln[c

n

]

α

= o(n

^1−β

). (I.13) On note K l'ensemble des fonctions de L

¹

(R) dont la transformée de Fourier est à support compact. Posons :

S

n

F (x) =

n−1

X

i=0

F (σ

ⁱ

x).

22 2.4. Théorème limite local pour le sous-shift de type ni unilatère Rappelons que la condition d'apériodicité entraîne σ

F

> 0. Par l'argument de Breiman [Bre68], il sut de montrer que, pour tout g ∈ K, on a :

n→

lim

+∞

√ 2πnσ

F

µ

⁺

(g(c

n

(.) + S

n

F (.))) = λ(g).

Soit g ∈ K et a > 0 tels que le support de g ˆ soit contenu dans [ − a, a] . Posons : A

n

= √

2πnσ

F

Z

g(c

n

(x) + S

n

F (x)) dµ

⁺

(x).

Introduisons un réel positif ξ > 1 − β et coupons en deux la somme S

n

F : S

n

F = S [

^nξ

] F + (S

_n−

[

^nξ

] F ) ◦ σ [

^nξ

] .

En écrivant g(u) =

_2π¹

R ˆ

g(t)e

^−itu

dt , nous obtenons : A

n

=

r n 2π σ

F

Z

X

Z

R

ˆ

g(t)e

^{itcn(x)+itSnF(x)}

dt dµ

⁺

(x)

= r n

2π σ

_F

Z

R

ˆ g(t)

Z

X

e

^{itcn(x)+itSnF(x)}

dµ

⁺

(x) dt

= r n

2π σ

F

Z

R

ˆ g(t)

Z

X

e

^itcn(x)+itS

[

^nξ

]

^F+itSn−

[

^nξ

]

^F◦σ

[

^nξ

]

_(x)

dµ

⁺

(x) dt

= r n

2π σ

_F

Z

R

ˆ g(t)

µZ

X

P

ⁿ⁻

[

^nξ

]

t

µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

(x) dµ

⁺

(x)

¶ dt

= B

_n¹

+ B

_n²

+ B

_n³

, où :

B

¹_n

= r n

2π σ

F

Z

]−_nη^δ ,_nη^δ [

ˆ g(t)

Z

X

e

^{itcn(x)+itSnF(x)}

dµ

⁺

(x) dt;

B

²_n

= r n

2π σ

F

Z

δ nη≤|t|≤δ

ˆ g(t)

µZ

X

P

ⁿ⁻

[

^nξ

]

t

µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

(x) dµ

⁺

(x)

¶ dt;

B

³_n

= r n

2π σ

F

Z

δ≤|t|≤a

ˆ g(t)

µZ

X

P

ⁿ⁻

[

^nξ

]

t

µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

(x) dµ

⁺

(x)

¶ dt.

η désignant un nombre dans ]0, 1[ qui sera choisi ultérieurement.

Intéressons-nous tout d'abord à la fonction P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶

. La variation de la fonction e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

vérie :

[e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

]

α

≤ t



  [c

n

]

α

+ [

^nξ

]

−1

X

i=0

[F ◦ σ

ⁱ

]

α



  = t



  [c

n

]

α

+ [

^nξ

]

−1

X

i=0

2

^αi

[F ]

α



  .

2.4. Théorème limite local pour le sous-shift de type ni unilatère 23 On en déduit

[P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶

]

_α

≤ 2

^−α

[

^nξ

] t[c

_n

]

_α

+ t[F ]

_α

[

^nξ

]

−1

X

i=0

2

^−α(

[

^nξ

]

−i)

. Comme ξ est supérieur à 1 − β, la suite des variations des fonctions P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶ est bornée. Majorons maintenant successivement B

_n³

, B

_n²

et B

_n¹

.

• B

_n³

:

Nous avons par le lemme 2.7, pour δ ≤ | t | ≤ a , k P

ⁿ⁻

[

^nξ

]

t

µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

k

α

≤ Cρ

ⁿ

k P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶

k

α

≤ C

^′

ρ

ⁿ

; donc :

B

³_n

= r n

2π σ

F

Z

δ≤|t|≤a

ˆ g(t)

µZ

X

P

ⁿ⁻

[

^nξ

]

t

µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

(x) dµ

⁺

(x)

¶

dt → 0.

• B

_n¹

L'inégalité

| e

^{itcn(x)+itSnF(x)}

− e

^itSnF(x)

| ≤ | t |k c

n

k

∞

assure qu'en remplaçant B

_n¹

par p

_n

2π

σ

F

R

]−nη^δ ,_nη^δ [

ˆ g(t) R

X

e

^itSnF(x)

dµ

⁺

(x) dt on fait une erreur majorée par Cδ

²

n

^12−2η

k c

n

k

∞

. Elle tend vers 0 sous la condition k c

n

k

∞

= o(n

^2η−12

) . Cette condition est remplie si

¹₂

− β < 2η −

¹₂

c'est-à-dire si η >

¹₂

−

^β₂

.

Etudions maintenant l'expression B

_n^′

obtenue en remplaçant e

^itcn

par 1 . En faisant le changement de variable σ

F

√

nt = t

^′

, on obtient : B

_n^′

= 1

√ 2π Z

]−^δσF

√n nη ,^δσF

√n nη [

ˆ g( t

σ

F

√ n )

µZ

X

P

ⁿt

σF√n

(1)(x) dµ

⁺

(x)

¶ dt.

Nous avons : P

ⁿt

σF√

n

(1)(x) = γ

ⁿ t σF√

n

µ(Π

¹ t σF√

n

1) v

^t

σF√n

+ (Π

⁰ t σF√

n

)

ⁿ

(1).

Le deuxième terme est proche de (Π

⁰₀

)

ⁿ

(1) et donc majoré par Cρ

ⁿ

, d'après (I.9).

Pour le premier terme, nous avons les convergences : γ

ⁿ t

σF√n

→ e

^−12t2

, µ(Π

¹ t

σF√n

1) → µ(Π

¹₀

1) = 1, v

^t

σF√

n

→ v

₀

= 1.

On peut alors appliquer le théorème de convergence dominée et obtenir que B

_n^′

converge vers 1

√ 2π Z

R

ˆ g(0)e

^−t

2

2

dt =

Z

R

g (x) dx, si l'intervalle d'intégration tend vers

l'inni, c'est-à-dire si η <

¹₂

.

24 2.4. Théorème limite local pour le sous-shift de type ni unilatère

• B

_n²

Soit

_n^δη

≤ | t | ≤ δ . Comme γ

t

=

t→0

1 −

¹₂

σ

²_F

t

²

+ o(t

²

) , γ

t

est inférieur à 1 − σ

_F²

4

δ

²

n

^2η

, pour δ petit.

En appliquant le lemme 2.6, partant de la relation P

ⁿ⁻

[

^nξ

]

t

µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

= γ

ⁿ⁻

[

^nξ

]

t

µ

⁺

(Π

¹_t

µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

) v

_t

+(Π

⁰_t

)

ⁿ⁻

[

^nξ

] µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

, on obtient la majoration :

k P

ⁿ⁻

[

^nξ

]

t

µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

k

∞

≤ γ

ⁿ⁻

[

^nξ

]

t

k µ

⁺

(Π

¹_t

µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

v

t

k

∞

+Cρ

ⁿ⁻

[

^nξ

][ µ

P [

^nξ

] µ

e

^it(cn+S

[

^nξ

]

^F)

¶¶

]

α

≤ Cδ(e

^{−14σ2δ2(n−}

[

^nξ

]

^)n−2η

+ 2ρ

ⁿ⁻

[

^nξ

]).

D'où la convergence vers 0 de B

_n²

: B

_n²

≤ Cδ

²

√

n(e

^{−14σ2δ2n1−2η−nξ−2η}

+ 2ρ

ⁿ⁻

[

^nξ

]).

En prenant pour η un nombre vériant

¹₂

−

^β₂

< η <

¹₂

, on établit donc la convergence de A

_n

vers 1

√ 2π Z

R

ˆ

g(0)e

^−t22

dt = Z

R

g(x) dx .

2.5. Théorème limite local pour les sous-shifts de type ni bilatères 25

2.5 Théorème limite local pour les sous-shifts de type ni bilatères

Nous allons nous ramener au cas unilatère en utilisant la méthode de réduction de Bowen ([Bow75], p.11). Nous l'appliquerons pour obtenir des fonctions dépendant uniquement des coordonnées supérieures ou égales à un entier − ℓ. Nous ferons dans la suite varier ℓ an d'approcher uniformément les fonctions régulières sur X par des fonctions "unilatères".

Soit ℓ un entier. Pour tout t dans l'alphabet, soit (a

k

(t))

k∈Z

un élément de X tel que a

₋ℓ

(t) = t. Soit r

ℓ

: X → X, (x

k

)

k∈Z

7→ (x

^ℓ_k

)

k∈Z

, où pour tout k

x

^ℓ_k

=

½ x

k

, si k ≥ − ℓ, a

k

(x

₋ℓ

), sinon.

(Le passé de r

ℓ

(x) "antérieur" à − ℓ ne dépend que de x

₋ℓ

.)

Lemme 2.12. Soient F une fonction α-höldérienne sur X et ℓ ∈ N . Il existe C > 0, des fonctions F

^ℓ,+

α/2-höldérienne ne dépendant que des coordonnées supérieures à

− ℓ et u

ℓ α

2

-höldérienne sur X telles que :

F = F

^ℓ,+

+ u

ℓ

◦ σ − u

ℓ

,

k u

_ℓ

k

∞

≤ 2

^−αℓ

k F k

α

, k u

_ℓ

k

^α₂

≤ C k F k

α

.

Les fonctions F

^ℓ,+

sont toutes cohomologues entre elles. En posant h

ℓ

:=

ℓ−1

X

j=0

F σ

^j

r

0

: F

^ℓ,+

◦ σ

^ℓ

= F

^0,+

+ h

ℓ

◦ σ − h

ℓ

.

Preuve Posons :

u

ℓ

=

+∞

X

j=0

F ◦ σ

^j

− F ◦ σ

^j

◦ r

ℓ

.

Pour tout x ∈ X , σ

^j

x et σ

^j

◦ r

ℓ

x coïncident sur {− j − ℓ, . . . , + ∞}, donc :

| F ◦ σ

^j

x − F ◦ σ

^j

◦ r

ℓ

x | ≤ [F ]

_α

2

^−α(l+j)

. Ainsi u

ℓ

est bien dénie et k u

ℓ

k

∞

≤ 2

^−αℓ

[F ]

_α

.

Si x et y coïncident sur les coordonnées {− n, . . . , n }, alors r

_ℓ

(x) et r

_ℓ

(y) aussi ( r

_ℓ

impose le même passé à x et y si n ≥ ℓ et ne change pas les coordonnées {− n, . . . , n } sinon) et, pour tout 0 ≤ j ≤ n, on a

| F ◦ σ

^j

x − F ◦ σ

^j

y | ≤ [F ]

_α

2

^α(−n+j)

;

| F ◦ σ

^j

r

ℓ

(x) − F ◦ σ

^j

r

ℓ

(y) | ≤ [F ]

_α

2

^α(−n+j)

;

26 2.5. Théorème limite local pour les sous-shifts de type ni bilatères d'où :

| u

ℓ

x − u

ℓ

y | ≤

⌊ⁿ2⌋

X

j=0

| F ◦ σ

^j

x − F ◦ σ

^j

y | +

⌊ⁿ2⌋

X

j=0

| F ◦ σ

^j

r

ℓ

(x) − F ◦ σ

^j

r

ℓ

(y) | +2

+∞

X

j=⌊ⁿ₂⌋+1

[F ]

_α

2

^−j−ℓ

. On obtient donc :

k u

_ℓ

k

α/2

≤ C k F k

α

.

Posons F

^ℓ+

(x) = F (x) + u

ℓ

(σx) − u

ℓ

(x). Cette quantité ne dépend que des coordon- nées { x

₋ℓ

, x

₋ℓ+1

, . . . }. En eet :

F

^ℓ+

(x) = F (x) +

+∞

X

j=0

¡ F ◦ σ

^j+1

x − F ◦ σ

^j

r

ℓ

σx ¢

−

+∞

X

j=0

¡ F ◦ σ

^j

x − F ◦ σ

^j

r

ℓ

x ¢

= F (r

_ℓ

x) +

+∞

X

j=0

¡ F ◦ σ

^j+1

r

_ℓ

x − F ◦ σ

^j

r

_ℓ

σx ¢ . La fonction

F

^ℓ,+

(σ

^ℓ

x) = F (r

ℓ

σ

^ℓ

x) +

+∞

X

j=0

[F (σ

^j+1

r

ℓ

σ

^ℓ

x) − F (σ

^j

r

ℓ

σ

^ℓ+1

x)]

ne dépend, elle, que des coordonnées positives.

Comme

σ

^ℓ+j

r

0

(x) = σ

^ℓ+j

(....a

₋1

(x

0

)x

0

...)

= σ

^j

(....a

₋₁

(x

₀

)....x

_ℓ

...) = σ

^j

r

_ℓ

σ

^ℓ

(x) on a F (σ

^ℓ+j

r

0

x) = F (σ

^j

r

ℓ

σ

^ℓ

x) , et

u

ℓ

◦ σ

^ℓ

=

+∞

X

j=0

[F ◦ σ

^ℓ+j

− F ◦ σ

^j

r

ℓ

σ

^ℓ

]

=

+∞

X

j=0

[F ◦ σ

^ℓ+j

− F ◦ σ

^ℓ+j

r

0

]

=

+∞

X

j=ℓ

[F ◦ σ

^j

− F ◦ σ

^j

r

0

] = u

0

−

ℓ−1

X

j=0

[F σ

^j

− F σ

^j

r

0

].

Cela permet d'exprimer F

^ℓ,+

◦ σ

^ℓ

− F

^0,+

et d'obtenir :

F

^ℓ,+

◦ σ

^ℓ

− F

^0,+

= F σ

^ℓ

− F + u

_ℓ

σ

^ℓ,+

− u

_ℓ

σ

^ℓ

+ u

₀

− u

₀

σ

= F σ

^ℓ

− F +

ℓ−1

X

j=0

[F σ

^j

− F σ

^j

r

0

] −

ℓ−1

X

j=0

[F σ

^j+1

− F σ

^j

r

0

σ]

=

ℓ−1

X

j=0

[F σ

^j

r

0

σ − F σ

^j

r

0

].

2.5. Théorème limite local pour les sous-shifts de type ni bilatères 27

En posant h

_ℓ

:=

ℓ−1

X

j=0

F σ

^j

r

₀

, nous avons donc :

F

^ℓ,+

◦ σ

^ℓ

= F

^0,+

+ h

ℓ

◦ σ − h

ℓ

¤

Théorème 2.13. Soit F : X → R une fonction α-höldérienne, apériodique, et vériant µ(F ) = 0 . Soit β ∈ ]0,

¹₂

[ et soit (c

_n

) une famille de fonctions α -höldériennes X → R telle que pour tout n , on ait :

k c

n

k

∞

≤ n

^12−β

ln[c

n

]

α

≤ n

^1−β

. Alors, pour tout intervalle I ⊂ R , on a :

σ

F

√ 2πnµ Ã(

x ∈ X, c

n

(x) +

n−1

X

i=0

F ◦ σ

ⁱ

(x) ∈ I )!

−−−−→

n→+∞

λ(I).

Preuve Considérons un nombre β ∈ ]0,

¹₂

[ et une suite c

n

de fonctions telles que k c

n

k

∞

= o(n

^12−β

), ln[c

n

]

α

= o(n

^1−β

). (I.14) Posons :

A

n

= √ 2πnσ

F

Z

g(c

n

(x) + S

n

F (x)) dµ(x).

On a :

A

n

= r n

2π σ

F

Z

X

Z

R

ˆ

g(t)e

^{itcn(x)+itSnF(x)}

dt dµ(x)

= r n

2π σ

F

Z

R

ˆ g(t)

Z

X

e

^{itcn(x)+itSnF(x)}

dµ(x) dt

= C

_n¹

+ C

_n²

+ C

_n³

, où

C

_n¹

= r n

2π σ

F

Z

]−_nη^δ ,_nη^δ [

ˆ g(t)

Z

X

e

^{itcn(x)+itSnF(x)}

dµ(x) dt;

C

_n²

= r n

2π σ

F

Z

δ nη≤|t|≤δ

ˆ g(t)

Z

X

e

^{itcn(x)+itSnF(x)}

dµ(x) dt.

C

_n³

= r n

2π σ

F

Z

δ≤|t|≤a

ˆ g(t)

Z

X

e

^{itcn(x)+itSnF(x)}

dµ(x) dt.

Comme dans le cas unilatère, si

¹₂

−

^β₂

< η <

¹₂

, le premier terme, C

_n¹

, se comporte comme p

_n

2π

σ

F

R

]−_nη^δ ,_nη^δ [

g(t) ˆ R

X

e

^itSnF(x)

dµ(x) dt lorsque n tend vers l'inni, c'est- à-dire tend vers R

R

g(x) dx. Le terme C

_n³

se traite également comme dans le cas

unilatère.