HAL Id: tel-00415825
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00415825
Submitted on 11 Sep 2009
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
The notion of indefinite in lambda calculus
Yves Bertini
To cite this version:
Yves Bertini. The notion of indefinite in lambda calculus. Mathématiques [math]. Université de Savoie, 2005. Français. �tel-00415825�
! " #!"$%!! &
λ
'()
(*
)
+,-./ 0/ 012+134+
56789:79 ;9
1er <7=;;98 >??@
9: A79 B9 ;C6D89:8=6: B7 EFGB9 B9 H6I897F B9 ;CJ:=A9F5=8K B9 LGA6=9
MNOPQRSQTO U VRTWOXRTQYZ[\ [T ]^_`aXRTQYZ[
bGF
cd
/. e/3+fgf
B9AG:8 ;9 h7Fi I6jb65K B9 k
l
RNN`aT[Za\
m n oop qmrm s tmu q
n ovvp wxm rm s tm qm
yzRXQ^RT[Za\ wm{ |p qmrm s tmu m
vm }p qmrm s tm wmm
~Qa[PT[Za [ TW\[ qmrm s tm tp om
¡ ¢
¡ £
£ ¤¥
¦ §
¨
¤ £ £
©
ª §
¨ £« ¥ ¤ ¬
¬ ¡
©
ª
® ¯ ¤ ¡
¬ ¡ ¬ ° ¢ ¯
¬ °¢¦ ±²
¯ ¬ ¡ ¨ ³ ¡
¡ ¤
´
° °
©
¬
©
£ µ ¯ ¨ ¢¶
¤ £ § ·¸¹º»¸·
¼ ¡ µ £
½©
¯ ª §¾ ¿
³À
¤Á ¨¤  ¤ ³
¼
ϕ
¬
£
©
¤ À ¡ ª ® ¡ ¬ à »Ä ÅÆÇÈ ÉÊ
¡ Ë
ÃÌÄ»»Ä ·Æ»ÆºÄ ºÄ ͸¹¸ÎÄÏ Ð Ñ¸ ÒÓ»ÄÏÓÌƸ¹ ÏÊ
¥ ¼² ¤
Π ¡ Ô
¡ £ ® ² ¬
£
¥ £ £ ² ° Ë
¤
á âãäåãæ çèåæçéêåæå ë
ì íî
λïðñòðóò ôõöõ ÷
øùø úû
λüýþÿý ÿ ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
øùøùø ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
øùøù
β ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù øø
øùøù
ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ø
øùø
ù
λ ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ø
øùøù
ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ø
øù úû !"û #
þ " $$û
ÿÿ û %
λüýþÿý ÿ ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ø
øù ùø &
'()
ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ø*
øù ù +,
λ ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ø
øù -".û!û $ " $ %/"$%0"$" ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ø1
øùùø 2
3 ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù 4
øùù 5
6
3
ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ø
øùù 7
ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
øùù 8
λβ+{9 =m}:;<=>;<>>?=@?AB;Cm
ù ù ù
D íî
λïðñòðóò õöôõöõ Eì
ùø FGû$" $ %
λüýþÿý ÿ þ ýþÿý ÿ "$0"$" ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ùøùø 7
, H ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ùøù I
H ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ùøù
H ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ù úû
λ⊥üýþÿý ÿ "$0"$"
J
þ
!K
!û %û Lû!
þ
!%
ýý
"
ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ù ùø M
H
,
λ⊥ H ù ù ù ù ù ù ù
ù ù
λ⊥ ' ù ù ù ù ù ù ù ù
ù ù &
'
H ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ù ù NO
H ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
E í
ñ ôñðõòõPQ RS
ùø T$! %
ý
" $ ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù 1
ù U
ÿ
þ
%"!û
ý
ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù 4
ù V!û .û W
þ
! ûGû$" $ X !
ý
ü
U û! ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ø
ùùø Y
Ω ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ø
ùù Y
6
Z
H ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ùù Y
O
ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ù X
ÿþ
û X $0"$
þ
$û ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ù
ùø 8
)
Z H ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ù
ù
8
H H ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ù
ù 2
ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ùù 8 H H ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù
ùù &
ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù ù 4
[[ \] ^]_`a`bc de
(YtΩ3) fg
h ijklm
n on
k pqrrlk st
uvw
Cons{(Y Ω3) = m} xy m zx{ |}z ~z }z ~y}yz |{z
|z δ3
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
uv
Cons{(Y Ω3) =δ3} v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
uv
Cons{(Y Ω3) =m} xyλβ+{(Ω3m) =m} 6`m=δ3
v v v v v v v v v
t ql
o l
jk
lm
n on
k
s ijlp
n
qr k
n
k
m pqonmk op δ3
q
non
qrk j
r
n
qrk
n
jklm
non k m
r
o
k s
vw
z zx }{ {y}x
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
v
zx ~y{zx
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
v
zx }{z {zx
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
vu ¡
¢}zx z xxzx
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v £
v ¤
} {|z z{ {yz |{yz z ~s xy (c ~s)∞=x v v v v v v v v v v
¥ ¦r p
o k k
m ¥¥
§ ¨©jqªk kkr
n
mk kqlk l ©«q
n
©ªkk ¬
1
n
¬
2
§
vw ®
|{¯xyyy{° z m v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v u
vwvw ±²³´µ ´µ
~tv v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
vwv ¶³²·¸¹º»º¼½¾º²¿ ´µ
u v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v
v
Clsm(YΩ3) zx{ x°z z À°¯{zzx v v v v v v v v v v v v w£
v vw Á½¹ Â
u∈ {H[v] ²µ¼ óµv∈H[v]} v v v v v v v v v v v v v v v w£
v v Á½¹ Â
u=∆∞ v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v ww
v v Á½¹ Â
u∈∆d+∪H[∆d+] v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v ww
v Ä
}|xy}
v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v ww
Å Æmk Åŧ
w£vw
m=λx.xΩ Ω v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v ww
w£v
m1=Y(λv λx.(x(Ω3v λyz.x)x)) v v v v v v v v v v v v v v v v v v v ww
w£v
m=λx.x(Ω3x)x v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v w£
ÅÅ Çkp
n
k ÅÈÅ