Professeur F. Pelgrin EDHEC Business School Données, Analyse, Décisions
Séance 10 : Quelques estimateurs classiques
Estimateur
Exercice 1: On souhaite construire un intervalle de confiance de la différence de fréquence d’avoir les yeux verts dans deux populations d’un pays donné. Dans les populations du nord et du sud d’un pays, on procède à la constitution de deux échantillons distincts de 500 personnes. On observe que 56 personnes au nord et 37 au sud ont les yeux verts.
1. Proposer un modèle d’échantillonnage pour le problème étudié. Justifier votre choix.
2. Quel est l’estimateur du paramètre de la population ? Quelle est sa distribution d’échan- tillonnage ?
3. Déterminer les quantiles d’ordre 2.5% et 97.5% sachant que Zn, qui correspond à l’esti- mateur centré réduit, vérifie
P(z0.975 ≤Zn≤z0.025) = 0.95.
4. En déduire un intervalle pour la différence de proportions à 95% (au niveau de confiance 95%).
Exercice 2 : Les longueurs d’une pièce métallique dans un processus de production indus- trielle sont supposées normalement distribuées avec un écart-type de 2mm. On s’intéresse à longueur moyenne de cette pièce métallique dans le cadre du respect d’une norme ISO. Pour ce faire, on procède à une comparaison de la longueur moyenne dans deux échantillons indé- pendants. Le premier échantillon est de taillen1 = 30 et le deuxième échantillon est de taille n2 = 40. Pour chaque échantillon, on connaît la longueur moyenne de la pièce métallique 192,16mm (échantillon 1) et 194.7mm (échantillon 2).
1. Proposer un modèle d’échantillonnage pour le problème étudié. Justifier votre choix.
2. Quel est l’estimateur du paramètre d’intérêt de la population ? Quelle est sa distribution d’échantillonnage ?
3. Déterminer les quantiles d’ordre 1% et 99% sachant queZn, qui correspond à l’estimateur centré réduit, vérifie
P(z0.99 ≤Zn≤z0.01) = 0.98.
4. En déduire un intervalle pour la différence de longueur moyenne à 99% (au niveau de confiance 95%).
5. En remplaçant chaque estimateur par son estimation ponctuelle (dans l’échantillon), que peut-on en déduire ?
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