Séance 9 : Quelques estimateurs classiques

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Professeur F. Pelgrin EDHEC Business School Données, Analyse, Décisions

Séance 9 : Quelques estimateurs classiques

Estimateur

Exercice 1 : QCM

Q1. Le théorème de la limite centrale nous dit que

A. Quelles que soient la population et sa distribution, la loi d’échantillonnage de la moyenne empirique est normale

B. Quelle que soit la population, dès que la taille de l’échantillon est grande, la distribution d’échantillonnage de la moyenne empirique est normale.

C. La moyenne empirique d’un échantillon quelconque tiré dans une population de variance finie peut être vue comme un tirage d’une loi normale de moyenne et de variances égales à celles de la population.

D. Lorsque la variance de la variable échantillonnée est finie et que la taille de l’échantillon est grande, la distribution d’échantillonnage de la moyenne empirique est semblable à celle d’une loi normale dont la moyenne est la moyenne en population et la variance, la variance en population divisée par la taille de l’échantillon.

Q2. Lorsque le taux de sondage est élevé, la variance de la moyenne empirique doit être corrigée

A. D’un facteur supérieur à 1 qui prend en compte qu’il n’y a pas par construction deux fois la même unité ou le même individu dans un échantillon en pratique.

B. D’un facteur inférieur à 1 qui prend en compte qu’il n’y a pas par construction deux fois la même unité ou le même individu dans un échantillon en pratique.

C. D’un facteur supérieur à 1 qui prend en compte qu’il peut y avoir deux fois la même unité ou le même individu dans un échantillon en pratique.

D. D’un facteur inférieur à 1 qui prend en compte qu’il peut y avoir deux fois la même unité ou le même individu dans un échantillon en pratique.

Q3. Une des affirmations suivantes est fausse, A. Lorsque le taux de sondage est voisin de 50

B. La variance empirique d’un échantillon tiré dans une population normale suit une loi du khi-deux dont le nombre de degrés de liberté est égal à la taille de l’échantillon.

C. La fréquence empirique d’un trait dans une population est pratiquement normalement distribuée lorsque la taille de l’échantillon est assez grande (nP(1-P)>5) et que le taux de sondage est inférieur à 5

D. La variance de la moyenne empirique construite à partir de la réunion de deux échan- tillons est plus faible que la variance de la moyenne calculée sur chaque échantillon séparé.

Q4. La fréquence empirique d’un trait de fréquence P dans la population, mesurée sur un échantillon aléatoire de cent individus appartient à l’intervalle [0,9P ;1,1P] (F_Z est la fonc- tion de répartition de la loi normale standard) avec probabilité

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A. F_Z [1/P(1−P)]^1/2

−F_Z −[1/P(1−P)]^1/2

; B. F_Z [P/(1−P)]^1/2

−F_Z −[P/(1−P)]^1/2

; C. 2FZ [P/(1−P)]^1/2

−1;

D. Vous n’avez pas assez d’information pour répondre.

Q5. Quelles sont les propositions correctes ci-dessous ?

A. La moyenne et l’écart-type empirique sont des estimateurs sans biais de la moyenne et de l’écart-type de la population.

B. Lorsque l’on connaît la valeur de la moyenne en population, il est possible de calculer la probabilité que la moyenne empirique calculée sur n’importe quel échantillon appartienne à un intervalle choisi a priori.

C. Lorsque la variable est normalement distribuée, la variance de la variance empirique croît avec la taille de l’échantillon.

D. Si une variable est normalement distribuée, il est possible de calculer la probabilité que la somme des observations dans un échantillon appartienne à un intervalle choisi a priori.

Exercice 2 : Dans une population d’adulte d’un village de taille 300, un échantillon de 20 personnes est tiré (dans le cadre d’un recensement partiel) pour mesurer le poids moyen des personnes. Cette variable est supposée normalement distribuée d’écart-type 4,8kg.

1. Proposer un modèle d’échantillonnage pour le problème étudié. Justifier votre choix.

2. Quel est l’estimateur du paramètre de la population ? Quelle est sa distribution d’échan- tillonnage ?

Exercice 3 : Les longueurs d’une pièce métallique dans un processus de production indus- trielle sont supposées normalement distribuées avec un écart-type de 2mm. On s’intéresse à longueur moyenne de cette pièce métallique dans le cadre du respect d’une norme ISO. En particulier, un échantillon de 10 pièces est constitué dont est tirée une moyenne empirique de 195,32mm.

3. Déterminer les quantiles d’ordre 2.5% et 97.5% sachant que Z_n, qui correspond à l’estimateur centré réduit, vérifie

P(z_0.975 ≤Z_n≤z_0.025) = 0.95.

4. En déduire un intervalle pour µ à 95% (au niveau de confiance 95%).

5. En remplaçant l’estimateur X¯n par son estimation ponctuelle (dans l’échantillon), que peut-on en déduire ?

Exercice 4: Le poids d’un tube de colle produit par l’entreprise "Laglue" est affiché à 125g.

Il ne doit pas être trop souvent différent de cette valeur, mais une tolérance est acceptée, elle est liée à la variabilité des poids observée dans le passé. Chaque jour, un échantillon aléatoire de tubes de colle de taille n= 50 est tiré. La moyenne empirique et la variance empirique sont calculées sur cet échantillon. Compte tenu de l’incertitude liée à la mesure sur un

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échantillon de taille 50, le responsable qualité doit définir des intervalles de valeurs auxquels les mesures relevées ont une grande probabilité d’appartenir si les conditions de productions sont inchangées. Dès que l’une des mesures est hors de son intervalle, il faut procéder à une vérification du processus de production. On suppose le poids distribué normalement.

Lors d’un recensement au lancement du produit, l’écart-type en population était de 4g et la moyenne de 125g.

– Partie 1: On s’intéresse au poids moyen.

3. L’intervalle pour la moyenne empirique défini par le responsable qualité correspond sous l’hypothèse que cet écart-type est toujours valable à un intervalle symétrique centré contenant 90% de la masse de probabilité de la distribution d’échantillonnage de la moyenne empirique dans les conditions normales. Déterminer les quantiles d’ordre 5%

et 95% tel que l’estimateur centré et réduit appartienne à l’intervalle défini par ces deux quantiles avec une probabilité égale à 0.90.

4. En déduire un intervalle pour X¯_n à 90% (au niveau de confiance 90%).

– Partie 2 : Le responsable qualité souhaite également donner une mesure de variabilité ou tout du moins une borne supérieure pour la variabilité du poids. En particulier, le responsable qualité calcule une borne au-dessus de laquelle il n’y a que 5% de chances d’observer une mesure de la variance empirique sur un échantillon de taille 50. Déterminer cette borne.

Exercice 5: On s’intéresse à la proportion de personne ayant les yeux d’une certaine couleur.

Cette proportion dans la population est p = 0.25.

3. Quelle est la probabilité qu’un échantillon de taille 200 donne une proportion estimée entre 0.20 et 0.30 ?

4. Si la taille de l’échantillon passe à 400, quelle est la probabilité de cet événement ? 5. Pourquoi observe-t-on cette évolution de la masse de probabilité ?

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