Des réflexions ave la loi normale

Douine – Terminale S – Travail à distance 36

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Cheptel de vaches

On considère le cheptel français des vaches de la race FFPN (française frisonne pis noir). On suppose que la variable aléatoire X associant à toute vache du cheptel sa production laitière de l’année suit une loi normale ^N  ^{  ;}

 ^{avec   6000 et   400} . Afin de gérer au plus près son quota laitier, un éleveur faisant naître des vaches de cette race calcule certaines probabilités.

Des réflexions ave la loi normale

1. Quelle est la probabilité qu’une vache produise moins de 5600 litres par an ? 2. Quelle est la probabilité qu’une vache produise entre 5600 et 6400 litres par an ? 3. Quelle est la probabilité qu’une vache produise plus de 6400 litres par an ? 4. Quelle est la probabilité qu’une vache produise moins de 5200 litres par an ? 5. Quelle est la probabilité qu’une vache produise entre 5200 et 6800 litres par an ? 6. Quelle est la probabilité qu’une vache produise plus de 6800 litres par an ? 7. Quelle est la probabilité qu’une vache produise moins de 4800 litres par an ? 8. Quelle est la probabilité qu’une vache produise entre 4800 et 7200 litres par an ? 9. Quelle est la probabilité qu’une vache produise plus de 7200 litres par an ? Des réflexions symétriques : utilisation de l’inverse normale

10. Quelle est la production maximale prévisible des 30% des vaches les moins productives du troupeau ? Quelle est la production minimale prévisible des 20% des vaches les plus productives du troupeau ?

Quotient intellectuel

On a étalonné un test de QI de telle sorte que la variable aléatoire X qui attribue à tout individu son score suive la loi normale N d’espérance 100 et d’écart type 15.

1. Calculer la probabilité des trois événements suivants : « X<85 »

« 85<X<115 » et

« X>115 ».

2. Calculer la probabilité des trois événements : « X<70 » « 70<X<130 » et « X>130 ».

3. Calculer la probabilité des trois événements : « X<55 » « 55<X<145 » et « X>145 ».

4. Déterminer la valeur d’un score de QI telle que la probabilité qu’un individu pris au hasard obtienne un score plus faible soit égal à 1/3.

5. Déterminer la valeur d’un score de QI telle que la probabilité qu’un individu pris au

hasard obtienne un score plus élevé soit égal à 1/4.

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Garantie sous contrôle

La compagnie Goodweek fabrique des pneus qui ont une durée de vie moyenne de 50000 kilomètres avec un écart type de 4000 kilomètres. On prélève un pneu dans la production et on modélise sa durée de vie par une variable aléatoire X suivant la loi normale d’espérance 50000 et d’écart type 4000.

1. Déterminer la probabilité que ce pneu ait une durée de vie inférieure à 46000 km, ait une durée de vie supérieure à 54000 km, ait une durée de vie comprise entre 46000 et 54000.

2. Déterminer la probabilité que ce pneu ait une durée de vie inférieure à 42000 km, ait une durée de vie supérieure à 58000 km, ait une durée de vie comprise entre 42000 et 58000.

3. Déterminer la probabilité que ce pneu ait une durée de vie inférieure à 38000 km, ait une durée de vie supérieure à 62000 km, ait une durée de vie comprise entre 38000 et 62000.

4. Sur chaque pneu acheté, le client bénéficie d’une garantie si une défaillance survient avant un certain nombre de kilomètres parcourus. Estimer ce nombre N si l’entreprise ne souhaite pas appliquer sa garantie à plus de 2% des pneus vendus.

Satisfaire le cahier des charges

On envisage de construire à l’entrée d’une caserne une guérite dans laquelle pourra s’abriter le

sentinelle en cas d’intempéries. La taille des sentinelles est distribuée selon la loi normale de

moyenne 175 centimètres et d’écart type 7 centimètres. On se pose la question suivante : quelle

doit être la hauteur minimale du toit de la guérite pour que 99% des sentinelles puissent s’y tenir

debout ? Introduire une variable aléatoire X, traduire la question posée en termes de probabilités.