Cours de supraconductivit´e M2-Physique Introduction

Cours de supraconductivit´ e

M2-Physique Introduction

o 1908 : Leiden, Hollande, Groupe de H.Onnes : liqu´ efaction de l’H´ elium

→ comportement de la r´ esistivit´ e des m´ etaux pour T → 0

o 1911 :

son ´ etudiant (G.Holst) est charg´ e de mesurer le mercure (qui peut ˆ etre obtenu dans un

´

etat tr` es pur) et remarque que la r´ esistance disparaˆıt juste au-dessus de 4K (R=0) . Cette d´ ecouverte est onfirmat´ ee en 1912 dans l’´ etain (3.7K) puis le plomb (7.2K) : Prix Nobel en 1913.

o 1933 : Berlin , Meissner et Ochsenfeld mettent en vidence l’expulsion totale du champ magn´ etique (B=0) : ph´ enom` ene de l´ evitation.

o 1934 : th´ eorie ´ electromagn´ etique : LONDON, bas´ ee sur les ´ equations de Maxwell + B=0/R=0, pr´ edit l’existence d’une longueur de p´ en´ etration.

o 1950 : th´ eorie des transition de phases : GINZBURG-LANDAU, pr´ edit l’existence dune seconde ´ echelle de longueur : longueur de coh´ erence → ´ etat mixte (Abrikosov).

o 1955 : th´ eorie microscopique BCS : rˆ ole des phonons.

Quelques applications :

- R=0 : lignes de transport, aimants supraconducteurs, limiteurs de courant ( fusibles ) - B=0 : blindages magn´ etiques, train ` a l´ evitation

- Coh´ erences : SQUID (mesure de M), d´ etecteurs micro-ondes

Mat´ eriaux

? Corps purs (sauf Cu,...) : supraconducteurs de type I (sauf Nb, V, Tc), T c ≤ 10K

? Alliages : A15 (β -tungsten) : A 3 B - B sommet et centre du cube - A par groupe de 2 sur les faces.

V ₃ Al : 9.6K → Nb ₃ Ge : 23.2K

1

? Phases de Laves (C15 : AB 2 ) : ZrV 2 : 9.6K.

? Phases de Chevrel M x Mo 6 X 8 X=S,Se,Te (chalcogenure), M=Sn,Pb,La : PbMo 6 S 8 : 15K.

? Organiques (fortement bidimentionnels) BEDT-TTF-Cu(CNS) ₂ ∼ 10K.

? Fullerenes, boules de carbone C ₆₀ aux sommets d’une structure cubique, dopage en alcalin (interstitiels) : A ₃ C ₆₀ (Cs ₂ Rb)C ₆₀ : 33K (1991) (voir aussi diamant dop´ e ci-dessous).

? Oxydes : (Ba,La) 2 CuO 4 : Bednorz/Muller 1986 (30K).

La 1.85 Sr 0.15 CuO 4 : 40K, YBa 2 Cu 3 O _7−δ : 92K, Bi 2 Sr 2 Ca 2 Cu 3 O 10 : 110K,

et mˆ eme Hg 0.8 Tl 0.2 Ba 2 Ca 2 Cu 3 O 8.3 : 138K

Des traces de supraconductivit´ e ont ´ et´ e report´ e dans (Sn _1.0 Pb _0.5 In _0.5 )Ba ₄ Tm ₅ Cu ₇ O ₂₀ ` a.... 185K le 6 Mars 2008, ce qui place cette T <sub>c</sub> 1K au dessus de la temp´ erature la plus basse relev´ ee en antartique (le 21 juillet 1983) : il s’agirait donc du premier supracon- ducteur ` a temp´ erature ambiante....

Tous ces syst` emes ont une structure fortement lamellaire : plans CuO ₂ supraconducteurs + m´ ecanisme non BCS (non encore d´ etermin´ e).

! Phases de Laves (C15 : AB 2 ) : ZrV 2 : 9.6K.

! Phases de Chevrel M x Mo 6 X 8 X=S,Se,Te (chalcogenure), M=Sn,Pb,La : PbMo 6 S 8 : 15K.

! Organiques (fortements bidimentionnel) BEDT-TTF-Cu(CNS) 2 : 10K.

! Fullerenes, boules de carbone C 60 au sommet d’une structure cubique, dopage en alcalin (interstitiels) : A 3 C 60

(Cs 2 Rb)C 60 : 33K (1991).

! Oxydes : (Ba,La) 2 CuO 4 : Bednorz/Muller 1986 (30K).

La 1.85 Sr 0.15 CuO 4 : 40K, YBa 2 Cu 3 O 7-d (92K), Bi 2 Sr 2 Ca 2 Cu 3 O 10 (110K) et même Hg 0.8 Tl 0.2 Ba 2 Ca 2 Cu 3 O 8.3 : 138K

structure fortement lamellaire : plans CuO 2 : supraconducteurs mécanisme non BCS (non encore déterminé).

mais aussi (K,Ba)BiO 3 : 32K – cubique, sommet Bi+octahedre O, centre du cube K,Ba

! Fermions lourds : Ce ou Uranides (U,…), bande d très étroite fortement hybridée aux électrons de conductions (Pt, Be) : m*/m ~ 200, UBe 3 : 8.8K.

! MgB 2 : plans hexagonaux B (de type graphite) : orbitales p z (!) et p xy : liaisons covalentes sp2 ("). dopage des liaisons " par Mg ²⁺ (interplans) : ces laisons deviennent alors supraconductrices avec un excellent couplage e-phonons : T c = 39K les liaisons ! sont elles aussi supraconductrices (mais avec T c = 10K) : coexistence de 2 supraconducteurs (faiblement couplés).

! Diamants dopé au B : la encore des orbitales " mais en configuration sp3 (qq K)

A noter aussi (K,Ba)BiO 3 : 32K cubique, sommet Bi+octahedre O, centre du cube K,Ba

? Fermions lourds : Ce ou Uranides (U,...), bande d tr` es ´ etroite fortement hybrid´ ee aux ´ electrons de conductions (Pt, Be) : m ∗ /m ∼ 200, UPt 3 : 1.5K.

? MgB 2 : plans hexagonaux B (de type graphite) : orbitales p z (π) et p xy : liaisons covalentes sp ² (σ).

dopage des liaisons σ par Mg ²⁺ (interplans) : ces liaisons deviennent alors supraconductrices avec un excellent couplage e-phonons : T c = 39K

les liaisons π sont elles aussi supraconductrices (mais avec T c = 10K) : coexistence de 2 supraconduc- teurs (faiblement coupl´ es).

Des calculs ab-initio dans d’autres systmes sugg` erent que la T c pourrait dpasser plusieurs 10 aines de K par dopage des laisons σ sp ² : BC 3 : > 40K, Li x BC : > 150K....

? Diamant dop´ e au B : la encore des orbitales σ mais en configu- ration sp ³ (qq K mais aussi Si:B : T c ∼ 0.7K). La T c pourrait la encore ˆ etre tr` es fortement augment´ ee pour d´ epasser 50K dans BC (Wurtzite). La diffucult´ e r´ eside ici dans le dopage de ces liaisons covalentes et de tr` es fortes valeurs de T c ont ´ et´ e pr´ edite dans des syst` emes de type ”cage” : clathrates de Carbone (F:C 34 , 7K d´ ej` a observ´ ee dans les clathrates de Si).

Superconductivity in Doped sp ³ Semiconductors: The Case of the Clathrates D. Conne´table, ¹ V. Timoshevskii, ¹ B. Masenelli, ¹ J. Beille, ³ J. Marcus, ⁴ B. Barbara, ³ A. M. Saitta, ² G.-M. Rignanese, ⁵

P. Me´linon, ¹ S. Yamanaka, ⁶ and X. Blase ¹

1 LPMCN, Universite´ Claude Bernard Lyon I and CNRS, UMR 5586, Baˆtiment Brillouin, 43 Bd du 11 Novembre 1918, 69622 Villeurbanne Cedex, France

2 LPMC, Universite´ Pierre et Marie Curie (Paris 6) and CNRS, UMR 7602, Tour 13/14, 4 Place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France

3 Laboratoire Louis Ne´el, CNRS, BP 166, 38042, Grenoble, France

4 LEPES, CNRS, BP 166, 38042, Grenoble, France

5 Universite´ Catholique de Louvain, Unite´ de Physico-Chimie et de Physique des Mate´riaux, 1 Place Croix du Sud, B-1348 Louvain-la-Neuve, Belgium

6 Department of Applied Chemistry, Faculty of Engineering, Hiroshima University, 1-4-1 Kagamiyama, Higashi-Hiroshima, Hiroshima 739-8527, Japan

(Received 21 May 2003; published 8 December 2003)

We present a joint experimental and theoretical study of the superconductivity in doped silicon clathrates. The critical temperature in Ba 8 @Si-46 is shown to strongly decrease with applied pressure.

These results are corroborated by ab initio calculations using MacMillan’s formulation of the BCS theory with the electron-phonon coupling constant ! calculated from perturbative density functional theory. Further, the study of I ₈ @Si-46and of gedanken pure silicon diamond and clathrate phases doped within a rigid-band approach show that the superconductivity is an intrinsic property of the sp ³ silicon network. As a consequence, carbon clathrates are predicted to yield large critical temperatures with an effective electron-phonon interaction much larger than in C 60 .

DOI: 10.1103/PhysRevLett.91.247001 PACS numbers: 74.70.Wz, 71.15.Mb, 74.62.Bf, 74.62.Fj The superconductivity in column-IV elemental com-

pounds has been extensively studied in the case of carbon.

In particular, the large observed critical temperature (T c ) in doped C 60 fullerene networks has stimulated a lot of work [1] while recent theoretical predictions emphasized that by reducing the fullerene size down to C 36 [2] or even C 28 [3], T c could be significantly increased.

Contrary to carbon, silicon does not form sp ² -like networks and, at ambient pressure, there is no supercon- ductivity associated with the sp ³ diamond phase. It is only at higher pressure, upon phase transformation into metallic phases such as the "-tin and simple hexagonal (sh-V) phases at 11 and 13–14 GPa, respectively, that superconductivity with a T c of 6–8 K could be measured and explained using electron-phonon calculations within the BCS theory [4].

The absence of superconductivity in silicon or carbon sp ³ networks raises the problem of the doping of such dense insulating phases. High doping changes the average lattice constant and introduces mechanical stresses with misfit dislocations [5]. In addition, doping is always limited by the solubility limit for the impurity in the solid which is small at low temperature. Practically, in heavily n-doped silicon, the well known ‘‘doping rule limit’’ predicts [6] a Fermi level located a few tenths of eVabove the conduction band minimum (CBM) where the electronic density of states (EDOS) is not large enough to induce superconductivity.

In this perspective, silicon clathrates [7] are promising candidates as they are cagelike materials allowing inter-

calation. In the case of the type-I clathrates studied here, they are built from a regular arrangement of a combina- tion of Si 20 (I h ) and Si 24 (D 6d ) cages (Fig. 1). Contrary to C 60 fullerene-assembled films, the silicon cages are strongly linked together since the polyhedra share pen- tagonal and hexagonal faces. All silicon atoms are thus covalently bonded within a four-neighbor sp ³ environ- ment as in the diamond phase, and silicon clathrates are

!1:8 eV band gap semiconductors [8]. Doping of type-I clathrates leads to a X ₈ @Si-46 stoichiometry, where X is the in-cage guest atom, displaying thus a huge 8=46 ratio of intercalated to host network atoms. As a result, the Fermi level (E f ) can be strongly displaced in the valence or conduction bands.

FIG. 1. Symbolic representation of face sharing Si 20 and Si 24

cages as a building unit of type-I clathrates.

P H Y S I C A L R E V I E W L E T T E R S week ending 12 DECEMBER 2003 V OLUME 91, N UMBER 24

247001-1 0031-9007=03=91(24)=247001(4)$20.00  2003 The American Physical Society 247001-1

2

? La d´ ecouverte tr` es r´ ecente (printemps 2008) de T c > 50K dans les oxypnictide de Fer : X(O,F)FeAs o` u X est un Lanthanide : La,Sm,Nd,.... fait l’objet de tr` es nombreux travaux.

Plans supraconducteurs : FeAs, contenant un ´ el´ ement magn´ etique et r´ eservoir de charge : XO dop´ e par substitution de F sur le site de l’oxyg` ene.

Mod` ele de London

Ce mod` ele est bas´ e sur les ´ equations de Maxwell rot ~ ~ E = −∂ ~ B/∂t

div ~ E = ρ/ 0

div ~ B = 0 rot ~ ~ B = µ ₀ J ~

et J ~ = −nq~ v (pour une charge -q) o` u n est la densit´ e de porteurs (et div(ρ~ v) + ∂ρ/∂t = 0, conservation de la masse). Dans un m´ etal normal → existence d’une force de frottement (diffusion par les impuret´ es et les phonons) : f ~ _F = −(m/τ )~ v. Pour t >> τ (r´ egime continu) ~ v = (−qτ /m) E, ~ J ~ = (nq ² τ /m) E ~ et σ = nq ² τ /m.

A priori un conducteur parfait (σ → ∞) est caract´ eris´ e par E ~ = ~ 0 et ce conducteur parfait ”s’oppose”

alors ` a toute variation de flux → g´ en´ eration d’un courant d’´ ecrantage :

conducteur parfait, B = c ^te ; ∂B/∂t = 0

T > T _c ,H 6= 0 T < T _c ,H 6= 0 T < T _c ,H = 0

3

N´ eanmoins, il faut ´ ecrire : −q ~ E = m × d~ v/dt et : d ~ J /dt = (nq ² /m) E ~

soit rot(∂ ~ ~ B/∂t) = µ 0 ∂ ~ J /∂t = µ 0 (nq ² /m) E ~

rot( ~ rot(∂ ~ ~ B/∂t)) = grad(div(∂ ~ ~ B∂t))−4(∂ ~ B/∂t) = 0 −4(∂ ~ B/∂t) = µ 0 (nq ² /m) rot ~ ~ E = −1/λ ² _L rot(∂ ~ ~ B/∂t)

avec λ ² _L = _µ ^m

0 nq ²

Mais un supraconducteur n’est pas simplement un conducteur parfait, il poss` ede ´ egalement la propri´ et´ e de pouvoir EXPULSER le champ et donc B = 0 (et non pas (∂B/∂t)). On peut (voir ci-dessous) donc r”emplacer” ∂B/∂t par B dans l’´ equation ci-dessus et

→ 4 B ~ = B/λ ~ ² _L

4 J ~ = J /λ ~ ² _L → µ 0 rot ~ ~ J = B/λ ~ ² _L Eq. de LONDON Remarque : syst` emes dissipatifs : J ~ = σ ~ E, 4 J ~ = σµ 0 ∂ ~ J /∂t → ´ epaisseur de peau δ = q

2 µ 0 σω

0 d

B ₀ z

B = ^ch(z/λ _ch(d/λ ^{L )}

L )

µ ₀ M = ¹ _d R d/2

−d/2 B(z)dz − µ ₀ H = −B ₀ (1 − ^2λ _d ^L th( ^2λ _d ^L )) d << λ _L , χ = dM/dH = −(d/2λ _L ) ² et

d >> λ _L , χ = −1(1 − (d/λ _L ))

z 2r

B ₀

x

Normale Supraconductrice

∂ ² B _z /∂r ² + 1/r.∂B _z /∂r − 1/λ ² _l B _z = 0

→ B Z = B 0 . _I ^{I 0 (r/λ L )}

0 (R/λ L )

o` u I 0 est la fonction de Bessel d’ordre zero ∼ e ^x /x pour x → ∞

remarque : mˆ eme ´ equation pour J donc un courant de transport ne circule que sur une ´ epaisseur λ _L

Lorsque le supraconducteur est refroidit sous champ en dessous de sa temp´ erature critique, il y a expulsion du flux : effet Meissner → LEVITATION

4

T > T c ,H 6= 0 T < T c ,H 6= 0 T < T c ,H = 0

• Aspect ´ energ´ etique

z 2r

B

₀

x Normale Supraconductrice

On suppose que B = B 0 e ^−x/L Energie magn´ etique : E mag = _2µ ¹

0

R ∞

0 B ² dτ = _2µ ¹

0

R ∞

0 B ² dx × S; soit E mag ∼ LS × B ² /4µ 0

et J = _µ ¹

0

∂B

∂x = _µ ^{B 0}

0 L e ^−x/L

→ Energie cin´ etique : E cin = ^m ₂ R ∞

0 v ² ndτ = _2nq ^m 2

R ∞

0 J ² dx × S; soit E cin ∼ SB ² m/4nq ² Lµ 0

∂(E _mag + E _cin )/∂L)| _{L=λ L} = 0 → λ ² _L = _µ ^m

0 nq ²

La longueur de London permet donc au syst` eme de minimiser l’´ energie totale (magn´ etique + cin´ etique).

retour sur l’´ equation du mouvement; le calcul en page 4 est ´ evidemment faux ! Il faut en fait ´ ecrire :

d~ v

dt = ^∂~ _∂t ^v + ¹ ₂ gradv ~ ² − ~ v × rot~ ~ v et rot ~ ~ gradv ² = 0, rot ~ ~ E = − ^{∂ ~} _∂t ^B , m ^d~ _dt ^v = −q( E ~ + ~ v × B) ~ d’o` u ^{∂ ~ rot~} _∂t ^v − rot(~ ~ v × rot~ ~ v) = ^−q _m ( rot( ~ E) + ~ rot(~ ~ v × B)) = ~ ^−q _m (− ^{∂ ~} _∂t ^B + rot(~ ~ v × B)) soit : ~

∂~ ω

∂t = rot(~ ~ v × ~ ω)

~

ω = rot~ ~ v + ^{−q ~} _m ^B Eq Helmholtz

remarque Eq. Helmoltz traduit l’´ evolution d’un fluide non visqueux en m´ ecanique des fluides = liq- uide de Fermi sans viscosit´ e. C’est bien sur le cas des supraconducteurs mais plus g´ en´ eralement de tout conducteur parfait (si un tel syst` eme existait) et cette ´ equation se substitue alors ` a 4 J ~ = σµ 0 ∂ ~ J /∂t pour un conducteur ”normal”. Le supraconducteur correspond ` a la solution particuli` ere : ω IN IT = 0 et donc

∂ω/∂t = 0 et ω reste nul [c’est bien la solution qui correspond ` a B=0 au centre de l’´ echantillon].

5

Soit rot~ ~ v − q ~ B/m = ~ 0 Eq. de London.

remarque sur les jauge : Cette ´ equation de London s’´ ecrit rot( ~ J ~ + _µ ¹

0 λ ² _L A) = ~ ~ 0 (en introduisant B ~ = rot ~ ~ A) soit J ~ = ^nq _m ² ( gradχ ~ − A) o´ ~ u χ est une fonction scalaire quelconque. A ~ et V sont d´ efinis ` a une

”constante pr` es” : les lois physique ne sont pas chang´ es si on remplace V → V + ∂χ/∂t et A ~ → A ~ + ∇χ. ~ On introduit la jauge de London : A.~ ~ n = 0 et div ~ A = 0 et on peut montrer que dans ce cas, pour un syst` eme simplement connexe (sans trous) : gradχ ~ = 0 soit J ~ = − ^nq _m ² A ~ . En m´ ecanique quantique on d´ efini l’impulsion g´ en´ eralis´ ee : P ~ = m~ v − q ~ A et on remarque donc la jauge de London est celle pour laquelle l’impulsion P ~ = ~ 0 dans un supraconducteur.

• Champ critique , rappels thermodynamiques

Champ magn´ etique cr´ ee par un sol´ enoide : H = n s i (o` u n s est le nombre de spires par m` etre)

→ Φ = n _s LB _a S → apparition d’une f.e.m. e = −dΦ/dt → δW _solenoide = −eiδt = HδB _a V = µ ₀ HδHV . du = T ds + HdB : mati` ere + sol´ enoide (´ energie par unit´ e de volume, on suppose pour simplifier qu’il n’y a pas d’effets d´ emagn´ etisants (H = H _a ) mais le r´ esultat est g´ en´ eral).

Si on condid` ere uniquement la mati` ere, il faut retrancher δW _solenoide , soit : du = T ds + HdB − µ 0 HdH = T ds + µ 0 Hdm (o` u m est l’aimantation : B = µ 0 (M + H)). On a donc :

Mati` ere seule Mati` ere + sol´ enoide

´

energie : u du = T ds + µ 0 HdM dU = T ds + HdB enthalpie libre (Gibbs): g g = u − T s − µ ₀ HM

dg = −sdT − µ ₀ M dH

g = u − T s − HB dg = −sdT − BdH

L’´ etat normal est suppos´ e non magn´ etique : M = 0 (B = µ ₀ H ) et pour le supraconducteur : B = 0 (M = −H ) et on a :

Mati` ere seule Mati` ere + sol´ enoide

g N g S g N g S

g ₀ ^N = g _N (T, H = 0) g ₀ ^S (T ) + ¹ ₂ µ ₀ H ² g ₀ ^N (T ) − ¹ ₂ µ ₀ H ² g ₀ ^S = g _S (T, H = 0)

L’´ ecrantage a donc un coˆ ut ´ energ´ etique (µ ₀ H ² /2) (mise en mouvement des supercourants). La phase supraconductrice est stable pour H < H c = q

2

µ ₀ (g ^N ₀ − g ₀ ^S ) i.e. g N > g S

6

• Energie libre de surface

δg = g ^S − g ^N = ^µ ₂ ⁰ (H ² − H _c ² ) mais la condition m =

−H n’est pas r´ ealis´ ee ` a la surface de l’´ echantillon. En supposant que B = B 0 e ^{−x/λ L} on a M = H(e ^{−x/λ L} − 1) → la surface STABILISE la phase supraconductrice.

!g

"

1/2# 0 H _c ²

1/2# 0 (H-H _c ² )

r

cout en énergie de condensation

gain en enthalpie libre de surface

S N S

premi` ere approche des vortex : est-il energetiquement favorable de cr´ eer une ”zone” normale au sein du supraconducteur ?

Un tube de phase normale (de rayon r)

sera stable si le gain en enthalpie libre de surface est sup´ erieur au cout en ´ energie de condensation:

π((r + λ _L ) ² − r ² )µ ₀ H ² /4 > πr ² µ ₀ (H _c ² − H ² )/2 i.e. si H ≥ H ^∗ ∼

√ 2r r+λ _L H c

!g

"

1/2# 0 H _c ²

1/2# 0 (H-H _c ² )

r

cout en énergie de condensation

gain en enthalpie libre de surface

S N S

De tels filaments de phases normales existe dans certain supraconducteur - dits de type II - mais pas tous (les autres sont dits de type I) → on les appele VORTEX car le coeur normal est entour´ e d’un ”tourbil- lon” de courant, on verra que chaque vortex porte un quantum de flux Φ 0 = h/2e = 2.10 ⁻¹⁵ T m ² (voir ci-dessous)

Th´ eorie de Ginzburg-Landau

La question se pose alors est de savoir pourquoi il existe des supraconducteurs de type I ? Il faut une enthalpie libre positive pour contrebalancer l’effet n´ egatif du ”d´ efaut d’aimantation” sur l’´ epaisseur de London.

→ le passage entre l’´ etat normal et l’´ etat supraconducteur n’est pas abrupte : la densit´ e de porteurs dans l’´ etat supraconducteur (n _S ) ne s’´ etablit que sur une longueur ξ appel´ e longueur de coh´ erence.

7

δg = ^µ ₂ ⁰ (H ² − H _c ² ) = δg m + δg c

δg _c ∼ −mu ₀ ^H ₂ ^{c 2} ( ^(n(x) _n

s ) ² : ´ energie de condensation δg m ∼ µ 0 H ²

2 (1 − e ^{−x/λ L} ) : ´ energie magn´ etique

0 d

B

₀

z

SUPRA Normal H

_c

T

_c

H

T

-1 0 1 2 3 4 5 6

20 25 30 35

!Cp(T,H)/T (mJ.mol-1.K-2)

0T 1T 2T 3T

5T

T (K)

!g

"

1/2# 0 H _c ²

1/2# 0 (H-H c 2 )

r

cout en énergie de condensation

gain en enthalpie libre de surface

S N S

H

_a

H

_d

B

₀

x Normale Supraconductrice

B

0

Normale Supraconductrice

"

x

n

_S

$

2 cas sont alors possibles :

λ _L < ξ

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4

0 2 4 6 8 10

g (u.a.)

u / !

_L

Enthalpie magnétique

Enthalpie de condensation

!

L

"

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4

0 2 4 6 8 10

g (u.a.)

u / !

_L

Enthalpie magnétique

Enthalpie de condensation

!

_L

"

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

0 2 4 6 8 10

g (u.a.)

u / ! _L

H = 0.7 H _c

K = 0.5

0 2 4 6 8 10

u / ! _L

H = 0.7 H

c K=2

→ il n’existe pas d’enthalpie libre n´ egative as- soci´ ee ` a la surface : type I

λ L > ξ

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4

0 2 4 6 8 10

g (u.a.)

u / ! _L

Enthalpie magnétique

Enthalpie de condensation

! L

"

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4

0 2 4 6 8 10

g (u.a.)

u / ! _L

Enthalpie magnétique

Enthalpie de condensation

! _L

"

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

0 2 4 6 8 10

g (u.a.)

u / ! _L

H = 0.7 H _c

K = 0.5

0 2 4 6 8 10

u / ! _L

H = 0.7 H _c

K=2

→ il existe une enthalpie libre n´ egative as- soci´ ee ` a la surface : type II

Le calcul exact (non d´ emontr´ e ici) place la limite ` a κ = ^λ _ξ ^L = ^{√ 1}

2

Transition de phase entre l’´ etat normal et l’´ etat supraconducteur.

GL traite la transition supraconductrice comme toute transition de phase. Une transition de phases est une modification des propri´ et´ es du syst` eme induite par la variation d’un param` etre ext´ erieur. Elle intervient lorsque le potentiel thermodynamique n’est pas analytique. Ehrenfest proposa une classi- fication des transitions de phases en fonction du degr´ e de non analycit´ e : une transition est du n ^eme ordre lorsqu’une d´ eriv´ ee n ^eme du potentiel est discontinue. N´ eanmoins cette d´ efinition ne prend pas en compte la possibilit´ e de divergence d’une d´ eriv´ ee (mais uniquement les discontinuit´ es). Cette divergence est n´ eanmoins pr´ esente dans la nature : transition superfluide de l’H´ elium 4 au point λ (2.17K, appel´ e ainsi du fait de la forme de la courbe C _p (T )).

On distingue aujourd’hui 2 type de transition (1 ^er ou second ordre) en fonction de l’existence ou non d’une chaleur latente (T ∆S, attention n´ eanmoins ` a la relation de Clapeyron : ∆S = −(∂P/∂T )∆V = V (∂H/∂T )∆M s’annule si ∂P/∂T ou ∂H/∂T ou toute autre d´ eriv´ ee s’annule). Les transition du 2 ^eme

8

ordre sont plus facile ` a d´ ecrire du fait de l’absence de discontinuit´ e des propri´ et´ es. Il est alors possible d’introduire des exposants critiques permettant de d´ ecrire l’´ evolution des propri´ et´ es au voisinnage de la temp´ erature de transition (T c ) : X ∝ (T −T c ) ^α . L’ensemble de ces exposants d´ efinie la classe d’universalit´ e de la transition.

G´ en´ eralement une transition de phase s’accompagne d’une rupture de sym´ etrie. Landau introduit alors une variable suppl´ ementaire permettant de tenir compte de cette rupture : le param` etre d’ordre.

A titre d’exemple on peut citer (i) transition liquide/solide Ψ = densit´ e

(i) transition ferro/para Ψ = M s (aimantation spontan´ ee)

(iii) alliage ´ equiatomique AB cristalisant en structure cubique centr´ ee

on note C _A ^α la concentration de A aux sommets des cubes (position α) (resp. C _B ^α ) on note C _A ^β la concentration de A au centre des cubes (position β) (resp. C _B ^β )

on peut noter C _A ^α = ^1−Ψ ₂ (= C _B ^β ) et respectivement C _A ^β = ^1+Ψ ₂ (= C _b ^α ) : Ψ = C _A ^β − C _A ^α

Ψ repr´ esente alors l’ordre chimique i.e. si Ψ = 0 les ´ el´ ements A et B sont al´ eatoire en site α et β (sommets et centres) et si Ψ = 1 l’alliage est parfaitement ordonn´ e avec A en position α et B en position β.

Il s’agit donc de d´ efinir un parametre d’ordre Ψ pour la transition normal/supra. On le supposera nul dans l’´ etat normal et 6= 0 dans la phase supraconductrice.

remarque Cette transition est du second ordre (en champ nul) et le param` etre d’ordre s’annule alors de facon continue. Dans ce type de transition il n’y a pas de ”s´ eparation de phase” type surfusion mais les fluctuations spatiales et temporelles peuvent ˆ etre grandes au voisinage de T _c

Dans le cas de la transition supraconductrice Landau d´ efini un parametre d’ordre complexe :

z 2r

0 d

B ₀ z

SUPRA Normal H _c

T _c H

T

-1 0 1 2 3 4 5 6

20 25 30 35

! C

p

(T,H)/T (mJ.mol

-1

.K

-2

)

0T

1T

2T 3T

5T

T (K)

!g

"

1/2# 0 H _c ²

1/2# 0 (H-H _c ² )

r

cout en énergie de condensation

gain en enthalpie libre de surface

S N S

H _a

H _d B ₀

x

Normale Supraconductrice

B ₀

Normale Supraconductrice

"

x

n _S

$

T<T _c T>T _c

f

%

% _eq &0

% _eq =0

Ψ = |Ψ|e ^iθ avec |Ψ| = √ n _s

Laudau → d´ eveloppement de l’´ energie libre en : f (Ψ) = f ₀ + α.Ψ ² + ¹ ₂ β.Ψ ⁴ avec α = a(T − T _c )

Remarque : les termes impaires ne sont pr´ sents que pour une transition du 1 ^er ordre

Pour tenir compte des fluctuations spatiales du parametre d’ordre on introduit un terme suppl´ ementaire : γ.[∇Ψ] ² en M.Q. ∇Ψ ≡ _{¯ h} ⁱ p.Ψ, p = op´ erateur impulsion. Ce terme correspond en fait l’´ energie cin´ etique des ”paires” supracon- ductrices (la notion de paire sera d´ efinie plus tard) : γ ≡ _2m ^{¯ h 2} . Enfin en pr´ esence d’un champ magn´ etique il faut :

(i) tenir compte de l’´ energie magn´ etique _2µ ^{B 2}

0 (mati` ere + sol´ enoide) (ii) remplacer <sup>¯ h</sup> <sub>i</sub> ∇ ~ par <sup>¯ h</sup> <sub>i</sub> ∇ − ~ q ~ A (charge -q), d’o` u :

9

→ f _s = f _n + α|Ψ| ² + 1

2 β|Ψ| ⁴ + 1 2m | ¯ h

i

∇Ψ ~ − q ~ AΨ| ²

| {z }

[...]

+ _2µ ^{B 2}

0 mati` ere + sol´ enoide

Enfin comme les variables du syst` eme sont T et H (et non pas S et B), on passe ` a l’enthalpie libre g=f-BH et g _s = f _n + [...] + 0 et g _n = f _n − ^{µ 0} ₂ ^{H 2} .

remarque : pour la mati` ere seule on doit retrancher l’´ energie du sol´ enoide ^{µ 0} ₂ ^{H 2} et g = f − µ ₀ Hm, on trouve donc g s = f n + [...] + ^{µ 0} ₂ ^{H 2} et g n = f n soit le mˆ eme ∆g.

En minimisant R R R

volume δg(Ψ(r))d ³ r on trouve [apr` es un long calcul...] : αΨ + βΨ|Ψ| ² + _2m ¹ [ ^{¯ h} _i ∇ − ~ q ~ A] ² Ψ = 0

J ~ = ^i¯ _2m ^hq [Ψ ∇Ψ ~ ^∗ − Ψ ^∗ ∇Ψ] ~ − ^q _m ^{2 A ~} |Ψ| ² Eq. Ginzburg-Landau

champ nul on consid` ere une interface plane : Ψ(x) et en l’absence de courant (J = 0) [Ψ∇Ψ ^∗ −Ψ ^∗ ∇Ψ] = 0 donc Ψ est r´ eel. On pose y = q _β

|α| Ψ. La premi` ere ´ equation de GL s’´ ecrit alors :Ψ + _α ^β Ψ − _2mα ^{¯ h 2 d} _dx ^{2 Ψ} 2 = 0 i.e. _2m|α| ^{h ¯ 2 d} _dx ^{2 y} ₂ + y(1 − y ² ) = 0. Soit y = th( ^{√ x}

2ξ ) avec ξ ² = _2m|α| ^{¯ h 2} .

• TD 1

! h i " # qA

$

% & ' ( )

2

* + ( h ", # qA )

²

*

« Supraconductivité » - Janvier 2006, Tous documents autorisés, durée 3 heures

Courant « critique »

La transition entre l’état normal (N) et l’état supraconducteur (S) peut se décrire à partir du formalisme de Ginzburg – Landau. La différence de densité d’énergie libre entre ces deux états s’écrit alors (pour le système « supraconducteur + bobine »):

!

F _s " F _N = # $ ² + 1 2 % $ ⁴ + 1

2m h i &$ " qA$

2

+ B ² 2 µ 0

1) Quelle est l’origine physique des différents termes de cette expression.

La minimisation de l’énergie libre totale conduit alors aux équations : (GL1) :

!

"# + $##

²

+ 1 2m

h i % &qA ' ( ) *

+ ,

2

# = 0 où A est le potentiel vecteur et (GL2) :

!

J = ihq

2m [ " # "

^*

$ "

^*

# " ] ^{$ q} _m

²

^{A "}

²

où J est le courant circulant dans le matériau

2) Commentez la différence entre l’équation (GL2) et celle obtenue à partir du modèle de London.

Exercice (extrait partiel 2006)

1) On suppose que la densité de paires est uniforme et on note !="!"e ^i#(r) . Que deviennent les équations (GL1) et (GL2) dans ce cas. On rappelle que dans la jauge de London :

2) On suppose que le supraconducteur est parcouru par un courant J, soit v s la vitesse correspondante des paires supraconductrices. Montrer que :

!

" + # $

²

+ 1 2 mv

s2

= 0

3) On note "! ! "=-$/% et y="!"/"! ! ", montrer que :

!

J = h µ

0

q"

²

# y

²

1$ y

²

4) Quelle est la signification physique de & (profondeur de pénétration) et ' (longueur de cohérence).

5) Tracer J(y) et en déduire la valeur J c maximale pouvant circuler dans le matériau.

On souhaite désormais comparer cette valeur à celle obtenue à partir de la théorie BCS. On note ( le gap supraconducteur relié à la longueur de cohérence par

!

" = h v _F / #$ . Une paire de Cooper est représentée par les cercles blancs sur la figure ci-contre. En présence d’un courant J (selon 0x) la sphère de Fermi est « décalée » de )k x << k F . On s’intéresse à la diffusion vers « l’arrière » de l’électron « avant » de la paire (diffusion de 1 en 1’).

8) On note k 1 et k 2 les valeurs de k des deux électrons de la paire. Donner k 1 et k 2

(avant la diffusion) en fonction de k F et )k x . Montrer que l’énergie d’une paire de Cooper est de l’ordre de

!

h ^{2 k F 2} /m-2( (au premier ordre en )k x /k F ). que se passe-t-il

pour l’électron 2 lorsque 1 est diffusé en 1’, en déduire que l’énergie de la paire n’est pas affectée par la diffusion.

9) On suppose maintenant que la paire est brisée par la diffusion 1 -> 1’. Quelles sont les nouvelles valeurs de k 1 et k 2’ . Quelle est alors la valeur de l’énergie de la paire (on se limitera à un développement limité au premier ordre en )k x /k F ). En déduire la valeur maximale (J c ) du courant pouvant circuler dans le matériau. Conclusion.

10) Donner l’ordre de grandeur de J c (pour T ~ 0) pour un supraconducteur de ' ~100A et & ~ 1000A.

Une mesure effectuée sous champ (H > H c1 ) montre que le matériau présente de la dissipation (i.e. une résistance non nulle) pour J > 10 ⁵ A/cm ² . Pourquoi.

densit´ e uniforme de paires : |Ψ| = cte; Ψ = |Ψ|e ^iθ(r) → ∇Ψ = i∇θΨ. Les ´ equations de GL deviennent



 

 



 

 



αΨ + βΨ|Ψ| ² +

1/2mv ² _s

z }| { 1

2m [¯ h ~ ∇θ − q ~ A] ² Ψ = 0 GL1 J ~ = _m ^q |Ψ| ²

|{z}

n

[¯ h ~ ∇θ − q ~ A]

| {z }

mv s

GL2

Cette deuxi` eme ´ equation est ` a compar´ e ` a : J ~ = <sup>nq</sup> <sub>m</sub> <sup>2</sup> ( ∇χ ~ − A) (mod` ~ ele de London). GL donne donc que

10

χ ≡ ^{¯ h} _q θ, un changement de Jauge est donc ´ equivalent ` a un changement de phase de la fonction d’onde.

Au coeur du mat´ eriau, v s = 0 α + β|Ψ _∞ | ² = 0 soit |Ψ _∞ | ² = − ^α _β = n s = _µ ^m

0 q ² λ ² _L soit β = ^µ ₂ ⁰ ( ^{¯ hλ} _mξ ^{L q} ) ² et (g s − g n )(0) = α|Ψ ∞ | ² + ^β ₂ |Ψ ∞ | ⁴ = − ^α _2β ² = − ^{µ 0} ₂ ^{H c 2}

d’o` u H c = ^{√ h ¯}

2µ 0 qξλ L = ^{Φ 0}

2π √

2µ 0 ξλ L avec Φ 0 = ^h _q .

´ etat mixte : Nous avons vu que dans les supraconducteurs dits de type II, il est ´ energ´ etiquement favorable de cr´ eer un vortex pour H > H ^∗ (voir si dessous pour la d´ efinition pr´ ecise de H ∗ appel´ e H _c1 ).

En effet, en pr´ esence d’un champ ext´ erieur le supraconducteur ”cr´ ee” un courant (∼ H/λ _L ) permettant d’´ ecranter le champ ext´ erieur mais J ne peut pas exc´ eder J _c et au del` a de H _c1 le supraconducteur ”autorise”

la p´ en´ etration partielle de B sous la forme de tubes de flux entour´ es de courants (assurant l’´ ecrantage de B en dehors du tube) appel´ es VORTEX. Il y a donc coexistence des phases supraconductrice et normale, cet ´ etat est appel´ e ´ etat mixte. Comme Φ s’annule au centre du vortex, la taille de son coeur normal ∼ 2ξ (pour minimiser le coˆ ut en ´ energie de condensation) le coeur doit minimiser sa taille (phase normal) alors que sa ”taille magn´ etique” est ∼ 2λ L .

Faible (élasticité) Fort

cristal verre

désordre

?

Ra

Matériau "normal" Matériau supraconducteur

qq 10 A qq 1000

A

H _c2

Glass Liquid

"Lattice"

(Bragg Glass)

T H

Verre de vortex

Liquide

Verre de Bragg

Réseau

Temperature : désordre thermique, rigidité du "réseau"

Champ magnétique : densité et rigidité AUGMENTATION DU "DESORDRE STATIQUE"

H croissant

H < H c1 , le courant d’´ ecrantage (∝ H) assure l’expulsion de B

H > H c1 , J = J c

nucl´ eation de vortex

Le nombre de vortex augmente jusqu’` a occuper tout l’espace (H c2 )

La pr´ ediction th´ eorique des vortex a ´ et´ e faite par A.A.Abrikosov en 1957 - 1 ^ere preuve exp´ erimentale : U.Essmann (1967).

Prédiction théorique de l’existence des vortex :

A.A.Abrikosov USSR Soviet Physics, 1957

Première visualisation expérimentale :U.Essmann 1967

décoration bitter (pulvérisation de poudre magnétique sur la surface)

Pb - 1.1K - 195G

to the presence of quasiperiodic and disordered pinning po- tentials. We investigate whether the vortex pattern in the sample is the result of the structure growth from nucleation centers distributed at random or if it follows a predetermined pattern characteristic of each sample. This is achieved using a simple technique recently developed in our laboratory that allows us to engineer pinning potentials by means of a novel method: Bitter pinning. In this technique the Fe clumps used to observe the vortex structure in a first Bitter decoration become pinning centers for new vortex structures. A second decoration allows the observation of the new vortex pattern and the comparison with the Fe clump distribution of the first one.

The Bitter pinning technique is shown to be appropriate to determine the conditions for an effective matching between vortex and artificially induced pinning structures. We dem- onstrate that the matching condition is rather subtle and does not require the expected stronger pinning associated with the Fe pattern, as compared with that of the bulk. When bulk pinning is essentially zero an extremely weak quasiperiodic potential is capable of locking commensurate vortex struc- tures breaking the translational as well as the rotational sym- metry of the vortex lattice.

II. EXPERIMENTAL TECHNIQUE AND SAMPLE CHARACTERIZATION

In the vortex decoration technique small Fe particles !of the order of 200 Å diameter" diffusing in a He gas atmo- sphere are attracted by the field modulation produced by the vortex pattern at the surface of the sample.

¹⁴

The clumps formed by the iron particles remain attached to the surface by van der Waals forces and are observed by SEM at room temperature. In the Bitter pinning the sample is cooled again in the presence of the Fe clumps and the effect of the surface introduced pinning on the new vortex structure is analyzed.

In all the experiments described in this work the vortices are nucleated in field cooling experiments.

The influence of the pinning induced by the Fe clumps on the critical current is studied by dc electrical resistance, mag- netization loops and ac susceptibility measurements.

The relevance of the resultant weak Fe periodic pinning potential on the vortex distribution and correlation in real space is made evident by the following procedure: Once the sample is decorated in a first FC experiment it is warmed up to room temperature to observe the Fe clumps. Subsequently, the sample is FC again down to 4 K and a second Bitter decoration is performed to observe the vortex structure. A portion of the sample is masked in the first decoration in order to verify the quality of the second one. Details of the technique have been reported elsewhere.

^15,16

The degree of periodic order in the first Fe pattern to be used in the Bitter pinning can be controlled by making use of two effects: dynamical ordering and dynamical memory.

Dynamical ordering was theoretically predicted and ob- served experimentally and in computer simulations.

^9,17–19

It has been shown that the disorder of vortex patterns nucleated in the presence of random potentials is strongly reduced when the vortex structure is displaced by forces exceeding the critical.

Dynamical memory is an experimental result showing

that the dynamically induced order is preserved when the force acting on the vortex structure is suddenly removed.

This memory effect shows that the direction of the applied force determines the orientation of the vortex quenched lat- tice. Dynamical memory is of basic importance to produce the oriented quasiperiodic pinning potential of the Bitter pin- ning technique. In this way polycrystalline vortex structures nucleated in NbSe

2

are transformed into almost perfect peri- odic structures extended over the whole sample.

¹⁵

An ex- ample is shown in Fig. 1: Thousands of Fe dots induced in the first decoration become the quasiperiodic structure to be used in subsequent decorations.

A simple technique to generate dynamical ordering and preserve memory is to induce currents exceeding the critical by rapid magnetic field rotations.

²⁰

This method has the ad- vantage of inducing currents with no need of electrical con- tacts in the sample. The sample is FC from room temperature down to 4 K, the applied magnetic field is rotated to a given angle and then rapidly returned to the original orientation.

The rotation used in the experiments described in this paper is accomplished by switching on and off a field H

T

, perpen- dicular to the applied one. We call this experiment field cool- ing rotation !FCR".

The samples used in this work are single crystals of Bi

2

Sr

2

CaCu

2

O

8

grown using the self-flux technique in a large temperature gradient.

²¹

The samples are annealed in an Ar atmosphere at 500 °C for 20 h followed by a fast cool down to achieve optimal doping. The crystals are character- ized by x-ray diffraction and energy dispersive spectroscopy

!EDS" to ensure the right structure and composition. The

critical temperature T

C

#87 K is determined using ac suscep- tibility measurements. The superconducting parameters are

$#2000 Å and %#10 Å . Typical sample dimensions are 1

mm

²

area and 50 & m l thickness, with the c axis oriented parallel to the thin dimension.

In order to keep the surface of the sample in optimal conditions the decoration is made using different freshly cleaved samples.

FIG. 1. Magnetic decoration pattern of the flux-line lattice in NbSe

2

superconductor. The white dots depict the positions of the vortices after a FCR process !see text" down to 4.2 K at 36 Oe with a field rotation at an angle of 60°. In the inset, the Fourier transform of the vortex pattern shows a six peak structure that makes evident its crystalline nature.

15 184 FASANO, MENGHINI, de la CRUZ, AND NIEVA PRB 62

NbSe 2 - 4K - 36 G

d´ ecoration Bitter

(pulv´ erisation de poudre magn´ etique sur la surface) - Pb : 1.1K - 195G.

Prédiction théorique de l’existence des vortex :

A.A.Abrikosov

USSR Soviet Physics, 1957 Première visualisation expérimentale :U.Essmann 1967

décoration bitter (pulvérisation de poudre magnétique sur la surface)

Pb - 1.1K - 195G

to the presence of quasiperiodic and disordered pinning po- tentials. We investigate whether the vortex pattern in the sample is the result of the structure growth from nucleation centers distributed at random or if it follows a predetermined pattern characteristic of each sample. This is achieved using a simple technique recently developed in our laboratory that allows us to engineer pinning potentials by means of a novel method: Bitter pinning. In this technique the Fe clumps used to observe the vortex structure in a first Bitter decoration become pinning centers for new vortex structures. A second decoration allows the observation of the new vortex pattern and the comparison with the Fe clump distribution of the first one.

The Bitter pinning technique is shown to be appropriate to determine the conditions for an effective matching between vortex and artificially induced pinning structures. We dem- onstrate that the matching condition is rather subtle and does not require the expected stronger pinning associated with the Fe pattern, as compared with that of the bulk. When bulk pinning is essentially zero an extremely weak quasiperiodic potential is capable of locking commensurate vortex struc- tures breaking the translational as well as the rotational sym- metry of the vortex lattice.

II. EXPERIMENTAL TECHNIQUE AND SAMPLE CHARACTERIZATION

In the vortex decoration technique small Fe particles !of the order of 200 Å diameter" diffusing in a He gas atmo- sphere are attracted by the field modulation produced by the vortex pattern at the surface of the sample. ¹⁴ The clumps formed by the iron particles remain attached to the surface by van der Waals forces and are observed by SEM at room temperature. In the Bitter pinning the sample is cooled again in the presence of the Fe clumps and the effect of the surface introduced pinning on the new vortex structure is analyzed.

In all the experiments described in this work the vortices are nucleated in field cooling experiments.

The influence of the pinning induced by the Fe clumps on the critical current is studied by dc electrical resistance, mag- netization loops and ac susceptibility measurements.

The relevance of the resultant weak Fe periodic pinning potential on the vortex distribution and correlation in real space is made evident by the following procedure: Once the sample is decorated in a first FC experiment it is warmed up to room temperature to observe the Fe clumps. Subsequently, the sample is FC again down to 4 K and a second Bitter decoration is performed to observe the vortex structure. A portion of the sample is masked in the first decoration in order to verify the quality of the second one. Details of the technique have been reported elsewhere. ^15,16

The degree of periodic order in the first Fe pattern to be used in the Bitter pinning can be controlled by making use of two effects: dynamical ordering and dynamical memory.

Dynamical ordering was theoretically predicted and ob- served experimentally and in computer simulations. ^9,17–19 It has been shown that the disorder of vortex patterns nucleated in the presence of random potentials is strongly reduced when the vortex structure is displaced by forces exceeding the critical.

Dynamical memory is an experimental result showing

that the dynamically induced order is preserved when the force acting on the vortex structure is suddenly removed.

This memory effect shows that the direction of the applied force determines the orientation of the vortex quenched lat- tice. Dynamical memory is of basic importance to produce the oriented quasiperiodic pinning potential of the Bitter pin- ning technique. In this way polycrystalline vortex structures nucleated in NbSe ₂ are transformed into almost perfect peri- odic structures extended over the whole sample. ¹⁵ An ex- ample is shown in Fig. 1: Thousands of Fe dots induced in the first decoration become the quasiperiodic structure to be used in subsequent decorations.

A simple technique to generate dynamical ordering and preserve memory is to induce currents exceeding the critical by rapid magnetic field rotations. ²⁰ This method has the ad- vantage of inducing currents with no need of electrical con- tacts in the sample. The sample is FC from room temperature down to 4 K, the applied magnetic field is rotated to a given angle and then rapidly returned to the original orientation.

The rotation used in the experiments described in this paper is accomplished by switching on and off a field H _T , perpen- dicular to the applied one. We call this experiment field cool- ing rotation !FCR".

The samples used in this work are single crystals of Bi ₂ Sr ₂ CaCu ₂ O ₈ grown using the self-flux technique in a large temperature gradient. ²¹ The samples are annealed in an Ar atmosphere at 500 °C for 20 h followed by a fast cool down to achieve optimal doping. The crystals are character- ized by x-ray diffraction and energy dispersive spectroscopy

!EDS" to ensure the right structure and composition. The

critical temperature T C #87 K is determined using ac suscep- tibility measurements. The superconducting parameters are

$#2000 Å and %#10 Å . Typical sample dimensions are 1

mm ² area and 50 & m l thickness, with the c axis oriented parallel to the thin dimension.

In order to keep the surface of the sample in optimal conditions the decoration is made using different freshly cleaved samples.

FIG. 1. Magnetic decoration pattern of the flux-line lattice in NbSe 2 superconductor. The white dots depict the positions of the vortices after a FCR process !see text" down to 4.2 K at 36 Oe with a field rotation at an angle of 60°. In the inset, the Fourier transform of the vortex pattern shows a six peak structure that makes evident its crystalline nature.

15 184 FASANO, MENGHINI, de la CRUZ, AND NIEVA PRB 62

NbSe 2 - 4K - 36 G

→ N bSe 2 - 4K - 36G Aujourd’hui plusieurs autres techniques permettent de ”visualiser” les vortex :

11

Technique

Mesures magn´ etiques Microscopie ` a :

- force magn´ etique - sonde de Hall - microSQUID - Lorentz

- magn´ eto-optique

Spectroscopie tunnel Diffraction de neutrons

sensible ` a λ _L ξ structure

gamme de champ qqG →∼ 100G qq100G → qq1000G qq100G → qqT

distance intervortex Microscopie Lorentz ∼ µm qq100˚ A qq10˚ A - 100˚ A

Microscope magneto-optique

NbSe 2 - 2K - 1T

MgBe 2 - 2K - 0.2T

Microscopie Tunnel : sensible à ! et non pas "

remarque des inclusions de phase normale au sein de la matrice supraconductrice peuvent apparaˆıtre mˆ eme dans les supraconducteurs de type I (´ etat interm´ ediaire) mais elles sont li´ ees aux effets ”d´ e”magn´ etisants (effet g´ eom´ etriques). H = H a + H d et H d = −N M , M = −H → H = _1−N ^{H a} > H a

pour les ´ echantillons de forme elliptique la condition H = H c

est remplie simultanement en tout point de la surface mais ceci n’est pas vrai pour un ´ echantillon de forme quelconque (pour lequel M n’est plus uniforme) → cette condition est alors rem- plie localement induisant en cet endroit la formation de phase normale mais de taille taille des vortex des supraconducteurs de type II (de l’ordre de qq 10 − 100˚ A).

H

_a

H

_d

Quantification du flux

C

sur un contour ferm´ e ∆θ = 2nπ = H

C m

nq¯ h J dl + H

C qA

¯ h dl loin du coeur J = 0, 2nπ = H

C qA

¯

h dl = _{¯ h} ^q R R

S BdS = _h ^q _¯ Φ Φ = nΦ 0 avec Φ 0 = ^h _q , en fait on peut montrer que n = 1

il est ´ energ´ etiquement plus favorable de cr´ eer deux vortex avec n=1 qu’une seul avec n=2

on mesure Φ 0 = 2.10 ⁻¹⁵ T m ² soit q = 2e : paire...

La quantification du flux implique que le nombre de vortex augmente avec H : B.S = nΦ ₀ soit n/S =

12

B/Φ 0 = α/a ² ₀ o` u a 0 est la distance inter-vortex et α est coefficient num´ erique d´ ependant de la sym´ etrie du r´ eseau de vortex. G´ en´ eralement les r´ eseau de vortex est hexagonal (le r´ eseau carr´ e a une ´ energie tr` es l´ egerement sup´ erieure et peut exister dans certains compos´ es) et α = 2/ √

3. La supraconductivit´ e est totalement d´ etruite lorsque les vortex finissent par occuper tout l’´ echantillon (a 0 ∼ 2ξ) et on peut estimer B c2 ∼ ₂ ^{√ Φ} _3ξ ⁰ ₂ .

On peut calculer la valeur exacte ` a partir du mod` ele de GL. Pr` es de H <sub>c2</sub> |Ψ| <sup>2</sup> ≈ 0, on peut donc n´ egliger le terme en βΨ|Ψ| <sup>2</sup> et → αΨ + <sub>2m</sub> <sup>1</sup> [ <sup>¯ h</sup> <sub>i</sub> ∇ − qA] <sup>2</sup> Ψ = 0. GL est donc ´ equivalent ` a l’´ equation de Schroedinger d’une particule dans un champ magn´ etique → solution = NIVEAUX DE LANDAU (−α = E)

B = µ ₀



 0 0 H



, A = µ ₀



 0 Hx

0



, → − _2m ^{¯ h 2} 4Ψ − ^{iq¯ hBx} _m ^dΨ _dy + q ² B ² x ² 2m

| {z }

1 2 kx ²

= ¯ h ² 2mξ ²

| {z }

E

Ψ

On cherche les solution sous la forme Ψ = e ^iay ϕ(x) (en n´ egligeant les variations le long de B), on trouve apr` es avoir effectu´ e le changement de variable X = x + _qB ^{a¯ h} : − _2m ^{¯ h 2} ϕ ⁰⁰ (X ) + ¹ ₂ kX ² ϕ(X) = Eϕ avec k = _m ¹ ( ^2π¯ _Φ ^hB

0 ) ² , ω = q k

m et E n = (n + 1/2)¯ hω = (n + 1/2) ^2π¯ _mΦ ^{h 2 B}

0 = _2mξ ^{¯ h 2} 2 . Le champ maximal admettant une solution non nulle est donc B c2 = _2πξ ^{Φ 0} 2 = √

2κH c (n = 0).

z 2r

0 d

B ₀ z

SUPRA

Normal H _c

T _c H

T

-1 0 1 2 3 4 5 6

20 25 30 35

! C

p

(T,H)/T (mJ.mol

-1

.K

-2

)

0T

1T

2T 3T

5T

T (K)

!g

"

1/2# 0 H _c ²

1/2# 0 (H-H _c ² )

r

cout en énergie de condensation

gain en enthalpie libre de surface

S N S

H _a

H _d B ₀

x

Normale Supraconductrice

C

H _c2

T _c H

T H _c1

T C

Pic de C : H _c1 Saut de C : H _c2

H _c2 H _c H

M

remarque: Ce calcul est un calcul de nucl´ eation d’une phase supraconductrice au sein d’une matrice nor- male sous champ fort, il reste valable dans le cas des supraconducteurs de type I (pour H d´ ecroissant) mais comme dans ce cas κ < 1/ √

2, H c2 < H c → appari- tion d’un hysteresis.

mais quelle est la valeur de H c1 ?

en l’absence de vortex g _s = f _n + α|Ψ ∞ | ² + ¹ ₂ β|Ψ ∞ | ⁴ (B = 0, J = 0) en pr´ esence de vortex g _s ^v = f n + α|Ψ| ² + ¹ ₂ β|Ψ| ⁴ − HB + _2µ ^{B 2}

0 + _2m ¹ | ^{¯ h} _i ∇Ψ − qAΨ| ²

13

= + énergie pour amener + +

le vortex à l’infini

énergie pour amener le vortex à l’infini énergie du vortex

énergie de condensation du

coeur

énergie magnétique

énergie cinétique des paires

= + + +

δG/L = R R

[ +α|Ψ _∞ | ² + 1

2 β|Ψ _∞ | ⁴ − α|Ψ| ² − 1 2 β|Ψ| ⁴

| {z }

−HB B ²

2µ 0

+ 1 2m | ¯ h

i ∇Ψ − qAΨ| ²

| {z }

]ds

´

energie de condensation du coeur δg c

formation du vortex ` a ∞ champ au coeur +courant d’´ ecrantage

1

2µ 0 (B ² + λ ² _L (rotB) ² ) R R δg c ds ∼ ^{µ 0} ₂ ^{H c 2} πξ ² : n´ egligeable R R

[...]ds = −Φ 0 H R R

[...]ds ≈ _4πµ ^{Φ 2 0}

0 λ ² _L ln( ^λ _ξ ) = 1

Il y a apparition du premier vortex lorsque _S ¹ R R

δg s ds = 0 soit H c1 = _4πµ ^{Φ 0}

0 λ ² _L [ln(λ/ξ) + c(λ/ξ)

| {z }

∼0.5+ _2κ+0.58 ^1.69

]

la pr´ esence de ξ dans 1 peut paraˆıtre ´ etonnant mais traduit la ”coupure” de la divergence de B dans le coeur du vortex :

saturation → B(r) = C(1 − (r/ξ) ² ) r < ξ sym´ etrie cylindrique → B(r) = _2πλ ^{Φ 0} 2

L

K 0 (r/λ) r > ξ Quel est alors le champ magn´ etique (B _max ) au centre du vortex ?

T<T _c T>T _c

f

!

! _eq "0

! _eq =0 z

2r

0 d

B ₀ z

SUPRA

Normal H _c

T _c H

T

-1 0 1 2 3 4 5 6

20 25 30 35

! C

p

(T,H)/T (mJ.mol

-1

.K

-2

)

0T

1T 2T 3T

5T

T (K)

#g

$

1/2% 0 H _c ²

1/2% 0 (H-H _c ² )

r

cout en énergie de condensation

gain en enthalpie libre de surface

S N S

H _a

H _d B ₀

x

Normale Supraconductrice

B ₀

Normale Supraconductrice

$

x

n _S

&

J

y J _c

C B _max

B _c2

B B _c2 B _c2

B _c1 Faible K

Fort K 1

2

5 K

B _max B _c1

champ faible

n n _eq

#g

avec interaction sans interaction

n(' ₁ -H( ₀ )

T<T _c T>T _c

f

!

! _eq "0

! _eq =0 z

2r

0 d

B ₀ z

SUPRA

Normal H _c

T _c H

T

-1 0 1 2 3 4 5 6

20 25 30 35

! C

p

(T,H)/T (mJ.mol

-1

.K

-2

)

0T

1T

2T 3T

5T

T (K)

#g

$

1/2% 0 H _c ²

1/2% 0 (H-H _c ² )

r

cout en énergie de condensation

gain en enthalpie libre de surface

S N S

H _a

H _d B ₀

x

Normale Supraconductrice

B ₀

Normale Supraconductrice

$

x

n _S

&

J

y J _c

C B _max

B _c2

B B _c2 B _c2

B _c1 Faible K

Fort K 1

2

5 K

B _max B _c1

champ faible

n n _eq

#g

avec interaction sans interaction

n(' ₁ -H( ₀ )

14

Combien de vortex p´ enetrent ` a H c1 ?

si un vortex est stable, pourquoi n’en cr´ ee-t-on pas 2,3,.... ?

→ il faut tenir compte de l’interaction vortex-vortex

→ on remplace B par _2πλ ^{Φ 0} 2 L

P

j K 0 (|r − r j |/λ L ) et δG/L = [n 1 − nHΦ 0 + _4πµ ^{nΦ 2 0}

0 λ ² _L

P

j6=0 K 0 (d j (n)/λ L )]

avec 1 = Φ 0 H c1

Le nombre de vortex est celui qui minimise δG/L

∂δG/∂n| n=n eq = 0

→ H = H _c1 + _4πµ ^{Φ 0}

0 λ ² _L

P

j6=0 (K ₀ (d _j (n)/λ _L ) + (d _J /λ _L )K ₁ (d _j /λ _L )/2) (car d ∝ 1/ √

n)

T<T _c T>T _c

f

!

! _eq "0

! _eq =0 z

2r

0 d

B ₀ z

SUPRA Normal H _c

T _c H

T

-1 0 1 2 3 4 5 6

20 25 30 35

! C

p

(T,H)/T (mJ.mol

-1

.K

-2

)

0T

1T

2T 3T

5T

T (K)

#g

$

1/2% 0 H _c ²

1/2% 0 (H-H _c ² )

r

cout en énergie de condensation

gain en enthalpie libre de surface

S N S

H _a

H _d B ₀

x

Normale Supraconductrice

B ₀

Normale Supraconductrice

$

x

n _S

&

J

y J _c

C B _max

B _c2

B B _c2 B _c2

B _c1 Faible K

Fort K 1

2

5 K

B _max B _c1

champ faible

n n _eq

#g

avec interaction sans interaction

n(' ₁ -H( ₀ )

• Pour H ≈ H c1 seules les interactions entre premiers voisins sont importantes (|r − r j | >> λ L )

→ H − H c1 = _2µ ^{Φ 0}

0 λ ² _L ×

1 ^er voisins

z}|{ z × r

( πd 2λ L

)e ^{−d/λ L}

| {z }

K ₀ (d/λ _L )

o` u d = q

Sα n(H)

et ^d(H) _λ

L = ln[ _2µ ^{Φ 0 z}

0 λ ² _L (H−H c1 ) ] + 1 2 ln[ π

2 ln(...)]

| {z }

negligeable

avec B = ^nΦ _S ⁰ = ^{√ 2Φ 0}

3d ² et z = 6 pour le r´ eseau hexagonal (le plus stable).

On a M = B/µ ₀ − H = ^nΦ _Sµ ⁰

0 − H

• limite de London ξ << d << λ L → variation lente de B (on n´ eglige toujours la contribution de coeur).

P K 0 → _S ⁿ R R

K 0 (r/λ L )d ² r

→ δg _s = ( ^nΦ _S ⁰ )(H _c1 − H ) + ( ^nΦ _S ⁰ ) ² _2µ ^µ

0 K ₁ (µ) avec µ = 1/ √

πnλ _L soit µ ₀ (H − H _c1 ) = B[µK ₁ (µ) + ^µ ₄ ² K ₀ (µ)]

et finalement on trouve M ≈ − _8πµ ^{Φ 0}

0 λ ² _L ln(0.36/h).

• A haut champ (typiquement pour H > H _c2 /3), les coeurs finissent par se superposer et B ≈ µ ₀ H − µ 0 H c2 −H

(2κ ² −1).β (soit M = _(2κ ^{H c2} 2 −1).β ^−H ) o` u β = _<Ψ ^<Ψ 2 ⁴ > ^{> 2} ∼ 1.1 (r´ egime d’Abrikosov).

remarque : la d´ etermination de H c1 est tr` es d´ elicate du fait des effets ”d´ emagn´ etisants”. Pour une ellipse H = H a − N.M ;µ 0 M = ^B−µ _1−N ^{0 H a} , _dH ^dM

a = _{1+N dM/dH} ^dM/dH → 1/N| H=Hc1 mais R H c2

0 M dH a = − _2µ ^{H 2 c}

0

ind´ ependament de N.

15