Performance des égaliseurs à complexité réduite et application à la norme Edge

(1)

Performance des egaliseurs a complexite reduite et application a la norme EDGE

Haf^edh ^Trigui, Dirk T. M.^Slock Institut EURECOM

2229 route des cr^etes BP. 193, 06904 Sophia Antipolis Cedex, France

trigui@eurecom.fr, slock@eurecom.fr

Resume {

Nous analysons les performances des recepteurs, reduisant la memoire du canal de communication, par la borne du ltre adapte (BFA) qui est une borne superieure (et souvent une bonne approximation) de la detection de sequence basee sur le critere de maximum de vraisemblance (DSMV). Nous demontrons que les performances varient entre celles d'un egaliseur lineaire ou avec retour de decisions et celles de la DSMV avec le canal non raccourci.

Abstract {

We analyse the performance of receivers using reduced-order channel models by the Matched Filter Bound (MFB) which is an upper bound (and often a good approximation) of Maximum Likelihood Sequence Estimation (MLSE). We show that the MFB is lower bounded by the Signal to Noise Ratio (SNR) of a linear or a Decision Feedback Equalizer and upper bounded by the MFB for MLSE using the actual (non-shortened) channel.

1 Introduction et Borne du Filtre Adapte (BFA)

Considerons un ltre lineaire (canal de communication)

h

(z) = ^N,1^X

i=0 h

iz^,i excite par des symboles a^k decorreles et de variance ²^a appartenant a un alphabet ni ^C. Le signal recu echantillonne a la cadence des symboles peut s'ecrire comme^y^k =

h

(q) a^k+^v^kou^v^kest un bruit additif blanc gaussien de variance ²^vet q est l'operateur d'avance (^y^{k +1}= q^y^k). Si K capteurs sont utilises a la reception et si la frequence d'echantillonnage est egale a ^T^p ou T est la duree d'un symbole alors^y^k,^v^k et

h

(z) sont des vecteurs m1 et m = pK. Il est a noter que le canal

h

(z) peut ^etre considere comme constant pendant la transmission d'un paquet (de duree 577 s pour GSM ou EDGE). Empilons M echantillons consecutifs du signal recu dans un vecteur

Y =^T(^H)A +^V ou^Y =^y^T^M^y^T¹^T (et une ecriture analogue pour ^V et A), ^H = [^h⁰^h^N^,1] et ^T(^H) est une matrice (bloc) Tplitz remplie par les ccients du canal.

Considerons la derivation de la BFA correspondant au probleme de la DSMV utilisant un canal estime^c^Het supposant que la matrice de covariance du bruit est^R^b^{v v}alors que sa valeur reelle est ^R^{v v}= E[^V^V^H]. Le probleme de la DSMV se ramene dans ce cas a la minimisation d'un critere de moindres carrees pondere

min

A2C M+N,1

Y ,T(^H^c)A²b R

,1

v v

: (1)

L'implementation de la DSMV est faite par l'algorithme de Viterbi dont la complexiteest proportionnelle au nombre d'etats ^jCj^N,1 ou ^jCj = 8 pour EDGE alors que ^jCj = 2 pour GSM. An d'obtenir la BFA, on se concentrera sur la detection d'un seul symbole a^k en supposant que les

autres symboles A^k sont connus (detectes parfaitement) [9]:^T(^c^H)A =^T^bâ^ka^k+^T^bÂ^kA^k.^T^bâ^kest la colonne de^T(^H^c) qui est multipliee par le symbole a^k, ^T^bÂk est la matrice

T(^c^H) de laquelle la colonne^T^bâ^k a ete enlevee, le vecteur A^k contient les symboles passes et futurs au symbole a^k. (^T^bâ^ka^k et^T^bÂ^kA^k contiennent respectivement la contribution du symbole a^ket des autres symboles dans le paquet).

Si la contribution des symboles connus est enlevee du signal recu, on peut reecrire le critere (1) comme

min

ak2C

h

Y , b

T

A

kA^kⁱ^,^T^b^a^ka^k²^b

R ,1

v v

: (2)

Il admet pour solution

( ^a^k = dec^fz^k^g

z^k = a^k+^T^bâk^H^R^b^,1^{v v}^T^bâ^k^,1^T^bâk^H^R^b^,1^{v v}^h^V +^T(^f^H)Aⁱ ou^H^f=^H,^H^c, le superscript ^Hest l'operateur transpose(3) hermitien et dec^f:^gest l'operateur de decision qui choisit l'element de l'alphabet^C le plus proche de son argument.

Notons par RSBBFA le rapport signal a bruit (RSB) a l'entree de l'element de decision. A l'instant k et avec la notation simpliee^T^b^a^k=T^b^ket^T(^f^H) =^T^e, on peut ecrire

RSBBFA(k) = ^a²(T^b^H^k^R^b^,1^{v v}T^b^k)²

Tb^H^k ^R^b^,1^{v v}(²â^Tê^Tê^H+^R^{v v})^R^b^,1^{v v}T^b^k : (4) Cette valeur peut varier, a cause des eets de bords, selon la position du symbole dans le paquet. On considerera sa valeur moyenne par symbole

RSBBFA = 1

M + N ^,1

M

X

k =,N+2

RSBBFA(k) (5) qui est equivalente asymptotiquement (quand M ^! ¹)

1177

Dix-septième colloque GRETSI, Vannes, 13-17 septembre 1999

(2)

au RSBBFA du cas d'une transmission continue:

RSBBFA = ²^a^{2 j}¹ ^H ^dz^z

h

^^y^S

vv

^{, 1}

h

^{^}²

1

2 j H

dz

z

h

^^y^S

vv

^,1⁽^a²^e

h h

^e^y+ S

vv

^{) ^S}

vv

^{, 1}

h

^{^} ^{; (6)}

S

vv

(z) est la densite spectrale de puissance (d.s.p.) du bruit ^v^k et

h

^y(z) =

h

^H(1=z). Les valeurs estimees sont notees par ^S

vv

^{(z) et ^}

h

^y(z).

Une borne superieure de la probabilite d'erreur de symboles pour une constellation 8-PSK utilisee par la norme EDGE [1] est donnee par P^e= 2Q(^pBFA) = erfc(^qBFA

2 ) ou BFA = RSBBFA sin²⁸ et erfc(x) est la fonction d'erreur complementaire. An de reduire la complexitede l'algorithme de Viterbi, on va raccourcir la reponse impul- sionnelle du canal.

2 Raccourcissement par un ltrage lineaire

2.1 Filtre de forcage a zero

Dans cette section, on considere le probleme de la DSMV sur le signal scalaire x^k (FIG. 1)

x^k=

f

(q)^y^k = b(q)a^{k ,d}+

f

(q)^v^k = b(q)a^{k ,d}+ w^k (7) resultant d'un ltrage du signal recu vectoriel ^y^k par un ltre

f

(z) veriant

f

(z)

h

(z) = z^,db(z) ou d est un retard et b(z) =^Xⁿ

i=0

bⁱz^,iest le canal raccourci avec n < N^,1 et b⁰= 1. La densite spectrale de puissance du bruit w^k est donnee par S^{w w}(z) = ^v²

f

(z)

f

^y(z) = ²^u

g(z)g^y(z) ou g(z) =

1

X

i=0

gⁱz^,i est le predicteur d'ordre inni du signal w^k et ²^u est la variance de l'erreur de prediction u^k = g(q)w^k. Pour le probleme ^kx^k^,b(q)a^{k ,d}^k²S

,1

w w

, la relation (6) se simplie en

RSBBFA = 2j²^a^v²

I dz

z

h

^yP

f

^y

h

_2j²^a ²

v I dz

z

h

^y

h

; ou P

f

^y ⁼

f ff

^y^y

f

est la projection orthogonale sur

f

^y(z) =(8)

P

i f

H

i zⁱ. Le ltre

f

(z) correspond dans le cas n = 0 a

ak h^(z) ^y^k f^(z) ^xk

vk

+ DSMV

^ ak

Fig.1: Raccourcissement de la longueur du canal par un ltre de forcage a zero.

l'egaliseur de forcage a zero (EFZ). Une strategie pos- sible d'egalisation utilise le canal raccourci b(z) dans l'algorithme de Viterbi. Pour que la prise en compte de la couleur du bruit S^{w w} n'augmente pas la memoire du canal b(z), il faut ltrer la sequence d'erreur pour chaque

chemin survivant par le predicteur g(z). Ainsi, la DSMV minimise le critere

min

ak,d2C X

k

ju^k^j²= min

ak,d2C

kg(q)[x^k^,b(q)a^{k ,d}]^k²: (9) En pratique, et an de reduire la complexite, un predicteur g^l(z) = ^X^l

i=0

gⁱz^,i d'ordre ni l du signal w^k sera utilise.

Le critere a considerer par la DSMV est alors min

a

k,d 2C

X

k

ju^l;k^j²= min

a

k,d 2C

kg^l(q)[x^k^,b(q)a^{k ,d}]^k²S^{^} ,1

u

l u

l

ou ^Sû^lû^l est une estimation de la d.s.p du signal u^l;k(10)= g^l(q)w^k donnee par Sû^lû^l = g^lS^{w w}g^y^l. Generalement, on suppose que le bruit u^l;kest blanc et on aura comme performance reduite

RSBBFA = ²^a^h^{2 j}¹ ^H ^dz^z

h

^yg^lg^y^l

f

^y

fh

ⁱ²

2

v

2 j H

dz

z

h

^y(g^lg^y^l

f

^y

f

)²

h

^l!1^,^!

2

a H

dz

z

h

^yP

f

^y

h

2j ^v² : La borne superieure de l'expression (8) est toujours at-(11) teinte par le probleme de la DSMV optimal (9) dans le cas multivoie avec n = N ^,1 (pas de raccourcissement) et dans le cas monovoie (m = 1) quelque soit n. Ce- pendant, le choix de

f

(z) est critique dans ce dernier cas lorsque le critere simplie (10) est considere avec l = 0 et

^S^ulul^,1 (z) = ²^w. On peut demontrer qu'il faut egaliser les zeros les plus loins du cercle unite an de maximiser l'expression (11) correspondant a l'approche pratique (10) ou an de minimiser la propagation d'erreurs dans l'approche optimale (9).

Dans le cas n = 0, b(z) = 1 et

f

(z) est un EFZ. L'approche (9) correspond alors a un egaliseur avec retour de decisions de structure predictive (Predictive DFE) [3].

L'approche sous-optimale de (10) avec g^l(z) = 1 (l = 0) et ^Sû^lû^l(z) = ²^w (ou donc ^Sû^lû^l(z) = 1) correspond a l'egaliseur lineaire. Pour ce cas, le rapport signal a bruit a l'entree de l'element de decision RSBEFZ = ²^v â²

2 j H

dz

z

ff

^y^.

L'inegalite de Cauchy-Schwartz indique que 1 1

2j

I dz

z

ff

^y_2j¹ ^I ^dz_z

ff

¹^y

et par consequent, le RSBEFZ est inferieur au RSBBFA de l'expression (8) (

fh

= 1). Le ltre

f

(z) qui maximisea la fois RSBBFA et RSBEFZ est, l'EFZ minimisant l'EQM,

f

= (

h

^y

h

)^,1

h

^y.

2.2 Filtre minimisantl'erreurquadratique moyenne (EQM)

Le raccoucissement de la longueur du canal est base dans cette section sur la methode presentee dans [2] (FIG. 2).

La DSMV opere dans ce cas sur le signal scalaire x^k =

f

(q)^y^k= b(q)a^{k ,d}+^eb(q)a^k+

f

(q)^v^k

= b(q)a^{k ,d}+^eb(q)a^k+w^k; (12)

eb(z) =

f

(z)

h

(z)^,z^,db(z) decrit l'erreur d^ue au raccourcissement (ER). Le ltre

f

(z) maximise,a sa sortie, le rapport

1178

(3)

a

k h^(z) ^y^k f^(z) ^x^k

v

k

+ DSMV

^ a

k

b(z) +

, ek

a

k ,d

Retar d

Fig.2: Raccourcissement de la longueur du canal par un ltre minimisant l'erreur quadratique moyenne.

signal a bruit plus ER

RSBER = ^a²^kb^k²

^v²^kfk²+ ²^a^k^eb^k²: (13) En appliquant la relation (6), on peut verier que la performance du probleme^kx^k^,b(q)a^{k ,d}^k²S

,1

w w

est

RSBBFA = ²^a^{2 j}¹ ^H ^dz^z ^b^y^b

2

v

ff

^y

2

1

2 j H

dz

z b

y

b

2

v

ff

^y ⁺^{2 j}²^a ^H ^dz^z ^b⁴^v^y⁽^e^be

ff

^b^y^y^b⁾² ⁽¹⁴⁾

et celle du probleme simplie min

a

k,d 2C

kx^k^,b(q)a^{k ,d}^k²est RSBBFA = ^a²^kb^k⁴

^a²^k^ebb^k²+^{2 j}²^v ^H ^dz^z b^y

ff

^yb: (15)

3 Raccourcissement par un egali- seur avec retour de decisions

An d'emp^echer l'amplication du bruit inherente aux (pre-)egaliseurs lineaires, le raccourcissement de la longueur du canal par un egaliseur avec retour de decisions (ERD) a ete propose dans [5]. Le signal recu ^y^k est l- tre tout d'abord par un ltre adapte passe-tout

h

^y^{(z )}

c y

(z ) ou c^y(z) est le facteur spectral a phase maximalede

h

^y(z)

h

(z);

h

^y(z)

h

(z) = c^y(z)c(z) et c⁰ = 1, > 0. Le bruit n^k (FIG. 3) a la sortie du ltre avant reste blanc et aura pour variance ²^v. Decomposons le ltre monique c(z) en c(z) = ^Xⁿ

i=0

cⁱz^,i et c(z) = ^N^X^,1

i=n+1

cⁱz^,i et retranchons du signal x^kpour chaque chemin survivant la contribution in- duite par c(z). Ainsi, la DSMV est eectuee sur le signal z^k = c(z)a^k+ n^k ou Sⁿⁿ(z) = ^v². De nouveau, on peut appliquer le resultat de la premiere section pour evaluer le

RSBBFA = ^v²^a²

n

X

i=0

jcⁱ^j² ²^a ²^v

N,1

X

i=0

jcⁱ^j²= 2j²^a

I dz z

h

^y

h

Il est a remarquer que l'ERD utilise est celui de forcage(16) a zero avec minimisation de l'erreur quadratique moyenne [4]. An d'enlever la complexite lineaire resultante du l- trage de tous les chemins survivants, il a ete propose [8]

a

k h^(z) ^y^k

v

k

+

^ a

+ k ,

DSMV

h^y^{(z )}

c y

(z ) x

k

c(z) z

k

Fig.3: Raccourcissement de la longueur du canal par un egaliseur avec retour de decisions.

de produire des decisions preliminaires par un ERD, de generer le signal z^k et de faire la DSMV. Cependant, les deux methodes sont equivalentes vis a vis de la BFA.

4 Simulations

On considere des environnements de propagation ty- piques pour EDGE: rural (RU), urbain (TU) et urbain dif- cile (BU). Pour ces environnements, on considere des canaux statistiques ayant 6 impulsions species par ETSI [6].

On montre des courbes de probabilite d'erreur moyennees sur 100 realisations independentes des canaux en fonction de l'ordre du canal raccourci (soit par un ltrage lineaire soit en utilisant un egaliseur avec retour des decisions).

Un seul capteur est utilise a la reception et le facteur de surechantillonnage etant egal a p = 2. Le rapport signal a bruit est deni par RSB = ^a²^kHk²v ² et il est xe a 20dB.

Le ltre de transmission etant la modulation GMSK li-

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹

ordre du canal raccourci

Probabilite’ d’erreur de symboles

Filtrage Lineaire avant la DSMV ,1capteur, p=2 ,100 realisations

snrEQM snrEQMblc bfaEQM bfaEQMblc snrFZ snrFZblc bfaFZ bfaFZblc

Fig.4: Probabilite d'erreur en fonction de l'ordre du canal raccourci par un ltrage lineaire pour l'environnement urbain (TU).

nearisee par moindres carrees [10] alors que le ltre de reception est un ltre passe-bas ideal (pour p 2: Ny- quist est satisfait) de moitie de largeur de bande ^2T^p . La gure 4 illustre des courbes de probabilite d'erreur correspondant au raccourcissement de la longueur du canal par un egaliseur de forcage a zero ou minimisant l'erreur quadratique moyenne a sa sortie. Des abbreviations du type FZ ou EQM appara^ssent, selon le cas, dans la legende.

Si le ltre

f

(z) est choisi de telle sorte qu'il maximise

1179

(4)

le RSB a sa sortie alors rsb est utilise dans la legende.

Par contre bfa correspond au cas ou le ltre

f

(z) maximise la BFA. L'abbreviation blc (blanc) correspond au cas ou on ignore la couleur du bruit, c'est a dire que les bornes du ltre adapte sont donnees par les expressions (11) et (15) alors que les valeurs optimales (si la couleur du bruit a ete prise en compte correctement dans le critere de la DSMV) sont celles des expressions (8) et (14).

Dans la gure 5, le raccourcissement de la longueur du canal par un egaliseur avec retour de decisions est considere.

On montre des courbes de probabilite d'erreur moyennees sur 100 realisations de canaux pour les trois types d'environnements (RU0, TU0, BU0). La gure 6 montre des courbes de probabilite d'erreur moyennees sur 100 realisations de canaux correspondant a l'environnement TU0. Le raccourcissement dans ce cas monovoie est une egalisation partielle des zeros du canal initial. Nous comparons les performances correspondant a deux facons d'arragement des zeros.

5 Conclusions

Les simulations montrent dans le cas bivoie qu'on peut raccourcir les canaux jusqu' a l'ordre un sans crainte de pertes signicatives des performances. Toutefois, il faut considerer la bonne metrique dans l'algorithme de Viterbi (prendre en compte correctement la matrice de covariance du bruit dans le critere de la DSMV). Les performances des recepteurs a complexite reduite varient entre celles d'un egaliseur lineaire ou avec retour de decisions et celles de la DSMV sur le canal non raccourci. Il est a noter que la technique qui reduit le nombre d'etats dans le treuillis sans raccourcir le canal [7] peut ^etre aussi interessante pour reduire la complexite des recepteurs EDGE.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻²

Raccourcissement par un ERD avant la DSMV ,1capteur, p=2 ,100 realisations, RSB=20dB

TU0 BU0 RU0

Fig.5:Probabilite d'erreur en fonction de l'ordre du canal raccourci par un ERD pour trois environnements.

References

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of 8-PSK. Technical report, ETSI, 20-24 April 1998.

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[10] H. Trigui and D. T. M. Slock. \Performance Bounds for Cochannel Interference Cancellation within the current GSM Standard". \To appear in a special issue of the European Journal Signal Processing", 1999.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

10⁻⁴ 10⁻³ 10⁻² 10⁻¹ 10⁰

Filtrage de FZ avant la DSMV dans un cas monovoie, RSB=20dB, TU0, 100 realisations

garder les zeros proches du cercle unite garder les zeros loins du cercle unite

Fig.6:Probabilite d'erreur en fonction de l'ordre du canal raccourci par egalisation partielle des zeros de

h

(z) pour l'environnement TU0.

1180