Algèbres de Lie et algèbres de Clifford

Thesis

Reference

Algèbres de Lie et algèbres de Clifford

ROHR, Rudolf Philippe

Abstract

Cette thèse est basée sur 3 articles. Dans le premier article, nous étudions les liens entre 2 algèbres de Lie "engendrées" de manière différente par la même 3-forme. Le deuxième article concerne la construction de la base principale d'une algèbre de Lie simple à partir de ces polynômes invariants. La notion de base principale a été introduite par Kostant. Dans cet article nous donnons une nouvelle construction de la base principale et nous complétons la définition pour le ca so(41). Dans le troisième article, nous étudions les algèbres différentielles acycliques munies d'une structure de module sur une algèbre de polynôme. En particulier on calcule la cohomologie de ces algèbres quotientées par l'idéal engendré par ces polynômes.

On démontre que la cohomologie est toujours isomorphe, comme algèbre, à une algèbre de Clifford dont la forme bilinéaire est définie par les cochaines de transgression de ces polynômes.

ROHR, Rudolf Philippe. Algèbres de Lie et algèbres de Clifford. Thèse de doctorat : Univ.

Genève, 2008, no. Sc. 3978

URN : urn:nbn:ch:unige-16298

DOI : 10.13097/archive-ouverte/unige:1629

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:1629

Disclaimer: layout of this document may differ from the published version.

UNIVERSITE DE´ GENEVE` FACULTE DES SCIENCES´

Section de Math´ematiques Professeur A. ALEKSEEV

A ^LG EBRES DE ` L <sup>IE ET ALG</sup> EBRES DE ` C ^LIFFORD

THESE`

pr´esent´ee `a la Facult´e des sciences de l’Universit´e de Gen`eve pour l’obtention du grade Docteur `es sciences, mention interdisciplinaire

par

Rudolf Philippe ROHR Hunzenschwil (AG)de

Th`ese N˚3978

GEN `EVE

Atelier de reproduction de la Section de physique Juin 2008

Table des mati`eres

R´esum´e iii

1 Alg`ebres de Lie et 3-formes 1

1.1 Alg`ebres de Clifford . . . 1

1.2 Isomorphisme de Chevalley . . . 2

1.3 3-formes . . . 4

2 Base principal et polynˆomes invariants 7 2.1 Polynˆomes invariants . . . 7

2.2 Tripletsl₂ . . . 7

2.3 Base principale . . . 8

2.4 ´El´ements primitifs et conjecture de Kostant . . . 10

3 Alg`ebres de Weil, cohomologie et transgression 13 3.1 Alg`ebreg-diff´erentielle . . . 13

3.2 Alg`ebre de Weil . . . 14

3.3 Trangression . . . 15

3.4 Cohomologie de W(g)/SP_S⁺ . . . 16

3.5 Alg`ebre de Weil quantifi´ee . . . 16

Bibliographie 18

Lie algebras genereted by 3-forms 21

Principal basis on Cartan subalgebra 27

Transgression and Clifford algebras 43

R´esum´e

Dans cette th`ese, nous ´etudions la th´eorie des alg`ebres de Lie et des alg`ebres de Clifford. Elle est compos´ee de 3 articles :

”Lie algebras genereted by 3-forms”

”Principal basis in Cartan subalgebra”

”Transgression and Clifford algebras”

Dans le premier article, nous ´etudions le lien entre un crochet antisym´etrique et un sous espace vectoriel d’une alg`ebre de Lie, tous deux ”engendr´e” par une mˆeme 3-forme.

SoitV un espace vectoriel sur les r´eels muni d’un produit scalaireB (d´efinit positif) et T ∈Λ(V^∗)une 3-forme. On d´efinit un crochet antisym´etrique surV par

[·,·]_V : V ∧V → V

x∧y 7→ 2B^\(T(x, y,·)),

A priori ce n’est pas un crochet de Lie, i.e. il ne satisfait pas l’identit´e de Jacobi. La 3-formeT permet de d´efinir un homomorphisme d’espace vectorielσpar

σ: V → Λ²V^∗ ∼=so(V, B) x 7→ T(x,·,·).

A priori Im(σ)n’est pas une sous alg`ebre de Lie de so(V, B). On d´emontre, en utilisant l’alg`ebre de Clifford Cl(V, B), que[·,·]_U est un crochet de Lie si et seulement si Im(σ) est une sous alg`ebre de Lie so(V, B)et queσest un homomorphisme d’alg`ebres de Lie.

Dans le second article, nous ´etudions la notion de base principale d’une sous alg`ebre de Cartan. La notion de base principale a ´et´e introduite par Kostant dans une de ses conjectures. Kostant a conjectur´e que la projection d’Harish-Chandra des ´el´ements pri- mitifs d’une alg`ebre de Lie simple surC donne la base principale de la sous alg`ebre de Cartan. Dans notre article, nous expliquons comment on obtient la base principale

`a partir d’un choix de g´en´erateurs des polynˆomes invariants. Soitgune alg`ebre de Lie simple sur les complexes et {p₁,· · · , p_r} une choix de g´en´erateurs des polynˆomes in- variants, i.e. S(g^∗)^g = C[p₁,· · · , p_r], tel que degp₁ ≤ · · · ≤ degp_r. A chacun de ces g´en´erateurs, on associe une applicationG-´equivarianteDp_i : g → g. On d´emontre que apr`es orthogonalisation selon le proc´ed´e de Gram-Schmidt de la famille de vecteurs suivante

{Dp₁(ρ^∨),· · · , Dp_r(ρ^∨)} avecρ^∨ la demi somme de coracines positives, on obtient la base principale de la sous alg`ebre de Cartan deg. On d´emontre ´egalement comment, partant des g´en´erateurs de S(g^∗)^g, on obtient la base principale de la sous

alg`ebre de Cartan du dual de Langlandsg. Pour cela on associe `a chaque polynˆome une applicationG-´equivarianteDp˜ _i : g^∗ → g^∗ et on d´emontre que l’orthogonalisation de la famille

{Dp˜ ₁(ρ),· · · ,Dp˜ _r(ρ)} avecρla demi somme des racines positives, donne la base principale de la sous alg`ebre de Cartan du dual de Langlands deg.

Dans le troisi`eme article, nous d´emontrons un th´eor`eme g´en´eral qui permet de cal- culer la cohomologie d’alg`ebre diff´erentielle de la forme :

W/ < P >, avec

a. W une alg`ebre diff´erentielleZ₂-gradu´ee et de cohomologie triviale,

b. P un sous espace vectoriel deW, engendr´e par des ´el´ements de la partie paire du super centre deW et qui sont des cobords,

c. < P >d´esigne l’id´eal bilat`ere deW engendr´e parP.

On note que la diff´erentielle deW passe au quotient. On d´emontre que siW peut ˆetre vu comme unSP-module libre alors on a comme alg`ebre

H(W/ < P >)∼=Cl(P, B),

o`u l’isomorphisme est donn´e par P 3 p → [C_p] ∈ H(W/ < P >) avec C_p tel que dC_p =p. La forme bilin´eaireBest donn´ee, pourp, q ∈P par

B(p, q) = 1

2[C_p·C_q+C_q·C_p].

On applique ce r´esultat aux alg`ebres de Weil, W(g)et aux alg`ebres de Weil quantifi´ees W(g). On obtient, pourgune alg`ebre de Lie r´eductive surCque

H(W(g^∗)/ < P_S >)∼= Λ(P)

H(W(g)/ <P˜_S >)∼=Cl(<p˜₁,· · ·p˜_l>_C)⊗Λ(<p˜_l+1,· · · ,p˜_r >_C),

avecP_S l’enveloppe lin´eaire d’un choix {p₁,· · · , p_r} des g´en´erateurs deS(g^∗)^g, p˜_i = Duf(p_i)o`u Duf est l’isomorphisme de Duflo et{p˜<sub>1</sub>,· · · ,p˜<sub>l</sub>}qui correspond `a une base du centre deg et{p˜_l+1,· · · , p_r} `a un choix de g´en´erateurs du centre de l’alg`ebre enve- loppante de la partie semisimple deg.

Chapitre 1

Alg`ebres de Lie et 3-formes

1.1 Alg`ebres de Clifford

SoitV un espace vectoriel sur un corps Kde caract´eristique nulle et B une forme bilin´eaire sym´etrique. L’alg`ebre de Clifford associ´ee `a la paire(V, B)est l’alg`ebre sur Kengendr´ee parV et munie des relations

vw+wv= 2B(v, w), ∀v, w∈V.

Elle se note Cl(V, B), ou Cl(V)si le choix deB est ´evident (voir§3.1 de [5]).

On obtient Cl(V, B) comme le quotient de l’alg`ebre tensorielle T(V), par l’id´eal bilat`ere engendr´e par les ´el´ements de la formev⊗w+w⊗v−2B(v, w), i.e.

Cl(V, B) =T(V)/ < v⊗w+w⊗v−2B(v, w)> .

L’alg`ebre de Clifford est la solution du probl`eme universel suivant (voir Proposition 3.2 de [5]) :

SoitAune alg`ebre associative surKavec une unit´e1etc:V → Aune application lin´eaire telle que

c(v)c(w) +c(w)c(v) = 2B(v, w)1,

alors il existe un unique homomorphisme d’alg`ebreφ:Cl(V, B)→Atel queφ◦i=j. Exemple1.1.1. SoitV =K<sup>n</sup>un espace vectoriel euclidien de dimensionnet{e<sub>1</sub>,· · ·e<sub>n</sub>} une base orthonormale. L’alg`ebre de Clifford Cl(Kⁿ)est form´ee par la somme de pro- duits de la forme

e_j1e_j2. . . e_jm, j_i = 1,· · · , n m≤n

et les relations

e_ie_j =−e_je_i i6=j et e²_i = 1.

La Z-graduation de T(V) induit une Z₂-graduation sur Cl(V, B). En effet, la Z- graduation deT(V)induit uneZ₂-graduation surT(V)et les g´en´erateurs de l’id´eal par lequel on quotiente sont pairs.

On peut voir l’alg`ebre ext´erieur de V comme un cas particulier d’une alg`ebre de Clifford, en effet on a

Λ(V) =Cl(V, B = 0).

1.2 Isomorphisme de Chevalley

Dans cette section, nous allons rappeler la construction de l’isomorphisme de Che- valley. Nous commenc¸ons pour cela par rappeler la notion de produit int´erieur et de produit ext´erieur d’une alg`ebre ext´erieure (voir§2 de [13]).

a. A chaque vecteur α ∈ V^∗, on fait correspondre une d´erivation de degr´e −1 de Λ(V),ι(α)qui est appel´ee le produit int´erieur. Elle est donn´ee sur les g´en´erateurs deΛ(V)par :

ι(α)v =α(v), v ∈V.

Comme ι(α)ι(β) +ι(β)ι(α) = 0 pour tout α, β ∈ V^∗, on peut ´etendre ι `a un homomorphisme d’alg`ebre

ι : Λ(V^∗)→End(Λ(V)).

b. A chaque vecteurv ∈ V, on fait correspondre un endomorphisme d’espace vec- toriel de degr´e+1 deΛ(V),(v), qui est appel´e le produit ext´erieur. Il est donn´e par

(v)a=v ∧a, a ∈Λ(V).

Comme (v)(w) + (w)(v) = 0 pour tout v, w ∈ V, on peut ´etendre `a un homomorphisme d’alg`ebre

: Λ(V)→End(Λ(V)).

On peut maintenant construire pour chaque vecteur v ∈ V, l’endomorphisme de degr´e impair deΛ(V)suivant

j(v) = (v) +ι(B^[(v))∈End(Λ(V)),

avecB^[ :V →V^∗ l’endomorphisme induit parB. Comme on a l’identit´e j(v)j(w) +j(w)j(v) = 2B(v, w),

on peut ´etendrej `a un homomorphisme d’alg`ebre

j :Cl(V, B)→End(Λ(V)).

Cette homomorphisme d´efinit une structure de module de Clifford sur Λ(V), ainsi qu’un homomorphisme d’espace vectoriel

Chev: Cl(V, B) → Λ(V) a 7→ j(a)(1).

Dans [6], Chevalley d´emontre qu’il s’agit d’un isomorphisme d’espace vectoriel Z₂- gradu´e. On l’appelle isomorphisme de Chevalley. L’isomorphisme inverse est appel´e la quantification et est donn´e par

q(v₁∧ · · · ∧v_r) = 1 r!

X

σ

sgn(σ)v_σ(1)· · ·v_σ(r), avecσune permutation de{1,· · · , r}.

Ces deux isomorphismes permettent d’identifier Cl(V, B)etΛ(V)comme le mˆeme espace vectoriel munit de deux structures d’alg`ebres, la multiplication ext´erieur et le produit de Clifford. Pourv, w∈Λ(V), on a

Chev(q(v)q(w)) =v∧w+ termes de degr´e plus petit.

Dans [12], Th´eor`eme 16, Kostant exprime le produit de Clifford en terme du produit ext´erieur et du produit int´erieur. Pourv, w∈Λ(V), on a

q(v)q(w) =q Xn k=0

(−1)^k k!

X

a1,···,ak

ι^R(e_a1)· · ·ι^R(e_ak)v∧ι(e^a1)· · ·ι(e^ak)w

!

, (1.1) avec {e_i} et {eⁱ} une paire de base dual de g et ι^R la produit int´erieur a droite , i.e.

ι^R(v) = αι(α(v))α o`u α est l’unique antiautomorphisme tel que α(x) = x pour tout x∈V.

Comme l’alg`ebre de Clifford est une alg`ebre associativeZ₂gradu´e, munie du super- crochet

[a, b] =ab−(−1)^|a||b|ba,

elle devient une super-alg`ebre de Lie. Comme pour une alg`ebre de Lie, on note par adx

la repr´esentation adjointe, i.e. adx = [x,·].

En utilisant l’isomorphisme de Chevalley pour identifier Cl(V, B)etΛ(V), on a pour toutv ∈V (voir Lemme5 de [11])

ι(v)◦Chev =Chev◦ ad_v

2 . (1.2)

SiBest non d´eg´en´er´ee, alors elle induit un isomorphisme d’espace vectorielB^[entre V etV^∗ qui s’´etend `a un isomorphisme d’alg`ebre gradu´eeB^[ : Λ(V)→^∼= Λ(V^∗). On on d´eduit queB^[◦Chev est un isomorphisme d’espace vectorielZ₂-gradu´e, i.e.

B^[◦Chev:Cl(V, B)→^∼= Λ(V^∗).

1.3 3 -formes

Dans cette section,V d´esigne un espace vectoriel surRmunie d’une forme bilin´eaire Bnon d´eg´en´er´ee, etT ∈Λ³(V^∗)une 3-forme. Cette 3-forme nous permet de d´efinir un crochet bilin´eaire antisym´etrique par

[·,·]_V : V ∧V → V

x∧y 7→ 2B^\(T(x, y,·)), avecB^\ :V^∗ →V l’isomorphismes induit parB.

On d´efinit ´egalement un homomorphisme d’espace vectoriel σ : V → Λ(V^∗)² ∼=so(V, B)

x 7→ T(x,·,·).

Supposons que[·,·]_U soit un crochet de Lie, alors il est facile de montrer que Im(σ) est une sous alg`ebre de Lie de so(V, B). En effet, soit Cl(V, B)l’alg`ebre de Clifford de (V, B). En utilisant l’isomorphisme de Chevalley, on a σ(x) ∈ Cl(V, B) ∼= Λ(V^∗). En utilisant l’´equation (1.2), on obtient[x, y]_U = B^\(T(x, y,˙)) = [σ(x), y], donc adx ∼= σ(x). Comme ad_[x,y]U = [ad_x,ad_y], on a que Im(σ) est une sous alg`ebre de Lie de so(V, B)etσest un homomorphisme d’alg`ebre de Lie.

Dans l’article ”Lie algebras generated by 3-forms”, Th´eor`eme 1.1, on d´emontre que la contrapos´e est vraie siB est d´efinie positive :

Th´eor`eme 1.3.1. Supposons que B soit d´efinie positive, alors [·,·]<sub>U</sub> est un crochet de Lie si et seulement si Im(σ)est une sous alg`ebre de Lie de so(U, B). De plus,

a. σ est un homomorphisme d’alg`ebres de Lie, b. Ker(σ)est un id´eal ab´elien,

c. T est une 3-forme de Cartan pour B, i.e.T(x, y, z) = B([x, y], z).

Le point cl´e pour la d´emonstration de ce th´eor`eme est le Lemme 2.1 de notre article.

On y d´emontre que[σ(x), σ(y)] = 0impliqueT(x, y,·) = 0. La d´emonstration utilise le formule (1.1) du produit de Clifford.

Chapitre 2

Base principal et polynˆomes invariants

Dans ce chapitre g repr´esente une alg`ebre de Lie simple sur C, h ⊂ g une sous alg`ebre de Cartan,B une forme bilin´eaire sym´etrique invariante non d´eg´en´er´ee (e.g. la forme de Killing, la forme canonique),r =rang(g)le rang et{α₁,· · · , α₂}un choix de racines simples.

2.1 Polynˆomes invariants

Soit J_S l’alg`ebre des polynˆomes invariants de g. Un c´el´ebre r´esultat de Chevalley (voir [7]) dit que cette alg`ebre est engendr´ee parrpolynˆomes homog`enes,{p₁,· · · , p_r} lin´eairement ind´ependants, i.e.

J_S =S(g^∗)^g =C[p₁,· · · , p_r].

Le choix de ces polynˆomes n’est pas unique, mais on peut toujours les choisir tel que leur degr´e est donn´e pardeg(p_i) = k_i + 1, avec1 = k₁ ≤ k₂ ≤ · · · ≤ k_r les exposants deg.

On noteP_S =< p₁,· · · , p_r >_C l’enveloppe lin´eaire de ces g´en´erateurs. Elle n’est pas unique, mais c’est un compl´ement gradu´e de(J_S⁺)² dansJ_S⁺.

2.2 Triplet sl

Soits=< e, f, h >_Cun tripletsl2 deg. Le crochet de Lie est donn´e par[e, f] =h, [h, e] = 2eet[h, f] =−2f. Un th´eor`eme du `a Jacobson et Morosov (voir Th´eor`eme 3.4 de [11]) garantit l’existence de tripletsl2. La restriction de la repr´esentation adjointe de g`asdonne une repr´esentation dessurg, i.e.

adx: s → Der(g) x 7→ ad_x

est un homomorphisme d’alg`ebre de Lie. Consid´erons la d´ecomposition de g en s- modules irr´eductibles,

g=V₁⊕ · · · ⊕V_n. (2.1)

Sans perte de g´en´eralit´e, nous supposons quedim(V₁)≤ · · · ≤dim(V_n). Dans [11],§5, Kostant d´emontre que n ≥ r et n = r si et seulement sis est un triplet sl2 principal.

Si on impose `a l’´el´ement semisimple du tripletsl2principal d’appartenir `a h, alors il est donn´e pars₀ =< e₀, f₀, h₀ >_Cavec,

h₀ = 2ρ^∨ = la somme des coracines positives, e₀ =

Xr i=1

e_i avece_i un vecteur propre correspondant `a la racine simpleα<sub>i</sub>, etf<sub>0</sub>est enti`erement d´etermin´e par le crochet de Lie et vaut

f₀ = Xr

i=1

c_if_i,

avecf_iles vecteurs propres correspondant `a la racine−α_i tel queB(e_i, f_i) = 1etc_i des constantes tel queP

ic_iB^\(α_i) = 2ρ^∨ (B^\ : g^∗ → gest l’isomorphisme induit parB).

En fait tout tripletsl₂principal est conjugu´e `as₀.

2.3 Base principale

D´ecomposonsgens0-modules irr´eductibles. On obtient

g=V₁⊕ · · · ⊕V_r. (2.2)

Dans [11],§6, Kostant d´emontre que les dimensions des cesrmodules irr´eductibles sont donn´ees par

dim(V_i) = 2k_i+ 1 aveck_iles exposants deg.

Donc chaques0-modulesV_iposs`ede une intersection unidimensionnelle avech, i.e. pour touti, il existeh_i ∈htel que

< h_i >_C=V_i∩g.

La famille{h₁,· · · , h_r}form´ee par ces intersections est libre, c’est donc une base deh.

On appelle cette base la base principale deh.

Si tous les exposants sont diff´erents entre eux alors la d´ecomposition (2.2) est unique et orthogonale. Donc la base principale est unique (`a des constantes multiplicatives pr`es).

C’est les cas pour toutes les alg`ebres de Lie simples surC, sauf pour la famille so(2l,C) avecl pair. Dans ce cas exactement deux exposants ont pour valeur l−1. Il faut alors pr´eciser la d´efinition de la base principale. Nous reviendrons sur ce cas `a la fin de cette section.

Dans l’article ”Principal basis of Cartan subalgebras” nous expliquons comment cal- culer la base principale `a partir d’un choix de g´en´erateurs des polynˆomes invariants.

Soitp ∈ S(g^∗)^g un polynˆome invariant. On lui associe une application, Dp : g → g, G-´equivariante par

Dp(x) = X

i

∂p_i

∂e^∗_i(x)e_i, x∈g,

avec{e_i} ⊂g, {e^∗_i} ⊂ g^∗ une paire de base duale. CommeDpestG-´equivariante on a pour touth∈h, queDp(h)∈h. On consid`ere la famille de vecteur suivante,

{Dp₁(ρ^∨),· · · , Dp_r(ρ^∨)} ⊂h, (2.3) avecρ^∨la demi somme des coracines positives. Par le Th´eor`eme 3 de [14], elle est libre.

C’est donc une base deh. Notre premier r´esultat, Th´eor`eme 4.3 de l’article ”Principal basis on Cartan subalgebras”, est :

Th´eor`eme 2.3.1. Apr`es orthogonalisation de la famille (2.3) par le proc´ed´e de Gram- Schmidt, on obtient la base principale deh.

Soitg^∨, le dual de Langlands deg. On choisit comme sous alg`ebre de Cartanh^∨ de g^∨, celle qui est donn´ee par les racines deg. Comme auparavant, pour chaque polynˆome invariantp∈S(g^∗)^g, on associe une applicationDpˆ :g^∗ →g^∗ G-´equivariante par

Dp(α) =ˆ X

i

∂p

∂e^∗_i(B^\(α))e^∗i α ∈g^∗,

avec{e^∗_i}et{e^∗i}une pair de base duale deg^∗. Notre deuxi`eme r´esultat est le Th´eor`eme 4.8 :

Th´eor`eme 2.3.2. Soitρla demi somme des racines positives deg. La famille {Dpˆ ₁(ρ),· · · ,Dpˆ ₁(ρ)}

est une base deh^∨. Apr`es orthogonalisation, on obtient la base principale.

Dans la§5 de notre article ”Principal basis on Cartan subalgebras”, nous discutons du cas de so(2l,C)aveclpair. Cette alg`ebre de Lie poss`ede exactement deux exposants ayant les mˆeme valeurs del−1. Cette alg`ebre de Lie poss`ede aussi un automorphisme σd’ordre 2 de son diagramme de Dynkin. En utilisant le Th´eor`eme 2.3.1, on d´emontre que si on impose aux vecteurs de la base principale d’ˆetre vecteur propre deσ, alors la base principale est unique (`a des constantes multiplicatives pr`es).

2.4 ´El´ements primitifs et conjecture de Kostant

SoitJ l’alg`ebre des ´el´ements invariants de l’alg`ebre ext´erieure deg, i.e.J = Λ(g)^g. L’espace des ´el´ements primitifsP ⊂ J est d´efinit comme le compl´ementaire orthogo- nal de J⁺ ∧ J⁺ dans J⁺, relativement `a l’extension de B `a l’alg`ebre ext´erieure. J<sup>+</sup> repr´esente l’id´eal augment´e deJ. Comme l’extension deB `aΛ(g)est non d´eg´en´er´e,P est un sous espace gradu´e deJ.

Hopf, Koszul et Samuelson ont d´emontr´e (voit Th´eor`eme 23 de [12]) que : a. dim(P) = r,

b. P ⊂Λ^impairg^∗,

c. l’injection canoniqueP ,→J induit un isomorphisme d’alg`ebre Λ(P)∼=J.

DoncP =< q₁,· · · , q_r >_C avec q_i de degr´e impair. De plus, en utilisant la trans- gression (voir§3.3), on d´emontre quedeg(q_i) = 2k_i+ 1.

Dans le cas des alg`ebres de Lie, l’isomorphisme de Chevalley (voir §1.2) est un isomorphismeg-´equivariant, i.e. Chev◦adx = adx ◦Chev pour tout x ∈ g . Donc il induit un isomorphisme d’espace vectoriel entre les invariants, i.e.

Cl(g, B)^g →^∼= J.

SoitP¯ =q(P). Dans [12], Th´eor`eme 35, Kostant d´emontre un analogue du th´eor`eme de Hopf, Koszul et Samuelson. L’injection canonique deP¯dans Cl(g)^ginduit un isomor- phisme d’alg`ebre

Cl(g, B)^g =Cl( ¯P , B₀),

avecB₀ d´efinit parB₀(p, q) = B(α(p), q)¹ o`uα est l’antiautomorphisme de l’alg`ebre de Clifford tel que∀x∈V,α(x) =x.

1iciBd´esigne son extension `a l’alg`ebre de Clifford

Il existe un analogue de la projection de Harish-Chandra (voir §7.4 de [8]) pour les alg`ebres de Clifford. Elle est d´efinie, comme pour les alg`ebres enveloppant par la d´ecomposition

Cl(g)^h =Cl(h)⊕L, avecL=Cl(g)n₊∩Cl(g)^h un id´eal bilat`ere. On a que

Φ_HCCl :Cl(g)^h →Cl(h) est un homomorphisme d’alg`ebre.

Consid´erons la projection d’Harish-Chandra des ´el´ements primitifs. On a, voir§7.6.1 de [4], que

Φ_HCCl( ¯q_i)∈h⊂Cl(h),

avecq¯_i =q(q_i). De plus, dans§7.6.2 de [4], il est d´emontr´e que

{Φ_HCCl(q₁),· · · ,Φ_HCCl(q_r)} (2.4) est une base orthogonale deh.

Kostant a conjectur´e que (2.4) est la base principale deh^∨. Dans sa th`ese [4], Bazlov a d´emontr´e cette conjecture pour les alg`ebre de Lie simple classiques.

Il existe un d´ebut de lien entre cette conjecture et nos r´esultats. Nous allons les ex- poser si-dessous.

Dans [12], Lemme 86 , Kostant d´emontre que pour chaque ´el´ement primitifs q¯_i, il existe un polynˆome invariantu_i ∈S(g)^gtel que

(δ◦β)∂u_i

∂x =ι(x) ¯q_i x∈g, (2.5)

avec :

a. β l’isomorphisme de Poincar´e-Birkhoff-Witt (voir§2.1 de [8])

b. δ :U(g)→Cl(g), l’homomorphisme d’alg`ebre donn´e pourx∈gpar δ(x) = 1

4 X

i

eⁱ[e_i, x],

avec{e_i}et{eⁱ}une paire de base duale deg(voir Th´eor`eme 74 de [12]).

De plus chaque polynˆome invariantu_i peut ˆetre ´ecrit comme une combinaison lin´eaire de polynˆomes de Dynkin. Soit{a₁,· · · , a_r} les polynˆomes de Dinkin (avec dega₁ ≤

· · · ≤dega_r}), alors il existe des constantesλ_j telles queu_i = P_i

j=1λ_ja_j (voir§6.14 de [12]), i.e.u_iest une combinaison lin´eaires de polynˆomes de Dinkin de degr´e ´egal ou inf´erieur au sien.

En prenant la projection de Harish-Chandra des deux cˆotes de l’´egalit´e (2.5) et en utilisant le point (a) du Lemme 7.3.1 de [4], on obtient

Φ_HCCl( ¯q_i) =X

i

Φ_HCCl((δ◦β)∂u_i

∂e_i)eⁱ.

En utilisant les point (b) et (c) du Lemme 7.3.1 de [4], et le fait que la projection de Harish-Chandra est un homomorphisme d’alg`ebre sur lesh-invariants, on arrive a

Φ_HCCl((δ◦β)∂u_i

∂e_i) = Φ_HCU(β(∂u_i

∂e_i))(ρ),

o`u dans le membre de droite Φ<sub>HCU</sub> est la projection de Harish-Chandra usuelle sur l’alg`ebre enveloppante. Finalement on a

Φ_HCCl( ¯q_i) = X

i

Φ_HCU(β(∂u_i

∂e_i))(ρ)eⁱ.

Le membre de droite ressemble fortement `a la diff´erentielle Du¯ <sub>i</sub> ´evalu´ee en ρ (ici on identifiegavecg<sup>∗</sup> en utilisant la forme de Killing). Malheureusement, `a cause de l’iso- morphisme de Poincar´e-Birkhoff-Witt, il y a des termes suppl´ementaires sur lesquelles nous n’avons pour l’instant aucun contrˆole. En effet

Φ_HCU(β(∂u_i

∂e_i)) =λ_i(∂a_i

∂e_i)(ρ) +autres termes venant deβ(a_i) +λ_i−1(∂a_i−1

∂e_i )(ρ) +autres termes venant deβ(a_i−1)

· · · +λ₁(∂a₁

∂e_i)(ρ)

Chapitre 3

Alg`ebres de Weil, cohomologie et transgression

3.1 Alg`ebre g-diff´erentielle

Soitgune alg`ebre de Lie. On lui associe une super-alg`ebre de Lie˜gZ-gradu´ee, telle que

˜g=g⁻¹⊕g⁰⊕g¹, avec :

a. g⁻¹ ∼=gcomme espace vectoriel, et l’isomorphisme est not´e g3x→ι(x)∈g⁻¹,

b. g⁰ ∼=gcomme espace vectoriel, et l’isomorphisme est not´e g3x→L(x)∈g,

c. g⁺¹ est de dimension1, et le g´en´erateur est not´ed.

Le super-crochet de Lie de˜gest alors donn´e, en fonction du crochet deg, pour tout x, y ∈gpar

[ι(x), ι(y)] = 0 [L(x), L(y)] =L([x, y]) [d, d] = 0

[L(x), ι(y)] =ι([x, y]) [L(x), d] = 0 [d, ι(x)] =L(x)la formule de Cartan. Une alg`ebre g-diff´erentielle Z-gradu´e est la donn´ee d’une alg`ebre A Z-gradu´ee et d’une repr´esentationρdegdansApar d´erivation, i.e.

∀x∈g, ρ(ι(x))∈Der⁻¹(A), ρ(L(x))∈Der⁰(A), ρ(d)∈Der⁺¹(A).

Par la suite on noteraι(x), L(x) et d `a la place de ρ(ι(x)), ρ(L(x)) et ρ(d). Si A est Z₂-gradu´ee alorsι(x)etdsont des d´erivations impaires etL(x)est une d´erivation paire.

L’exemple classique d’alg`ebre g-diff´erentielle est le complexe de de Rham, avec ι le produit int´erieur,Lla d´eriv´ee de Lie etdla diff´erentielle de de Rham.

Exemple3.1.1. Soitgune alg`ebre de Lie r´eductive. Consid´eronsA = Λ(g<sup>∗</sup>), l’alg`ebre des formes ext´erieures sur g. Sa structure d’alg`ebre g-diff´erentielle est d´efinie par ι le produit int´erieur usuel de l’alg`ebre ext´erieure,L(x) = ad^∗_x la repr´esentation coadjointe deg sur Λ(g^∗) et la diff´erentielle, qui est le dual du crochet de Lie, est donn´ee par la formule de Koszul (voir§3 de [13])

d_∧ = 1 2

X

i

(e^∗_i)L(e_i),

avec{e^∗_i} ⊂g^∗ et{e_i} ⊂gune paire de base duale. La cohomologie de(Λ(g^∗), d_∧)est isomorphe aux invariants (voir Th´eor`eme 9.2 de [13]), i.e.

H(Λ(g^∗), d_∧)∼=J.

Exemple3.1.2. Soit Cl(g, B), l’alg`ebre de Clifford d’une alg`ebre de Lie gmunie d’une forme bilin´eaire sym´etrique invariante et non d´eg´en´er´ee B. La structure d’alg`ebre g- diff´erentielle est donn´ee par des commutateurs. Soit g(x) = −¹₂P

ieⁱ[e_i, x] et γ =

13

P

ie_ig(eⁱ), avec{e_i},{eⁱ}une paire de base duale deg. On a ι(x) =adx, L(x) =adg(x), d_Cl =adγ. La cohomologie de(Cl(g), d_Cl)est triviale (voir§3.1 de [1]).

3.2 Alg`ebre de Weil

L’alg`ebre de Weil W(g<sup>∗</sup>) d’une alg`ebre de Lie g est une alg`ebre g-diff´erentielle super-commutative etZ-gradu´ee (voir [1], [2], [10]). Elle est d´efinie par

W(g^∗) =S(g^∗)⊗Λ(g^∗).

Sa graduation est donn´ee par

W(g^∗)^k= M

2i+j=k

S(g^∗)ⁱ⊗Λ(g^∗)^j,

i.e. les g´en´erateurs de S(g^∗) sont pairs et ceux de Λ(g^∗) sont impairs. La structure d’alg`ebreg-diff´erentielle est donn´ee par :

a. ι(x) = 1⊗ι(x), o`u dans le terme de droiteιd´esigne la produit int´erieur usuel de l’alg`ebre ext´erieure,

b. L(x) = ad^∗_x⊗1 + 1⊗ad^∗_x, c. d_W =P

ie^∗_i ⊗ι(e_i) + 1⊗d_∧.

La cohomologie du complexe(W(g), d_W)est triviale, i.e.H(W(g), d_W)∼=C.

3.3 Trangression

On identifieS(g^∗)avec S(g^∗)⊗1. Tout polynˆome invariantp ∈ J_S⁺ ⊂ W(g^∗)^g est un cobord, i.e. il existeC_p ∈W(g^∗)^gtel que

d_WC_p =p.

Les ´el´ementsC_p sont appel´es cochaˆınes de transgression (voir§6.5 de [12]). Notez que les cochaˆınes de transgression sont d´efinis `a cocycle pr`es.

Soitπla projection de W(g^∗)dansΛ(g^∗)d´efinie par la d´ecomposition suivante W(g^∗) =W(g^∗)S(g^∗)⁺⊕Λ(g^∗).

Clairementπest un homomorphisme deg-modules, donc il se restreint aux invariants π :W(g^∗)^g →J.

L’application de transgressiont:J_S⁺→J⁺est d´efinie par la Proposition 62 de [12] : Il existe une unique application lin´eaire t telle que pour tout p ∈ J_S⁺ et C_p une cochaˆıne de transgression dep, on a

t(p) =π(C_p).

De plus,π(C_p)est ind´ependant du choix deC_p, pour toutk ∈Z, on a t:J_S^k+1 →J^2k+1

et Im(t)ne d´epend pas du choix de g´en´erateurs deJ_S (voir Th´eor`eme 66 de [12]), i.e.

pour tout choix de g´en´erateurs, on at(P_S) = P.

3.4 Cohomologie de W ( g )/SP

SoitJ_S ⊂ S(g^∗) ⊂ W(g^∗) la sous alg`ebre des polynˆomes invariants. On peut voir W(g^∗) comme un J_S-module. L’action de J_S sur W(g^∗) est donn´e simplement par la multiplication de W(g^∗). Dans[11], Kostant d´emontre queS(g^∗)est unJ_S-module libre, donc W(g^∗)est ´egalement unJ_S-module libre. La diff´erentielle de Weil est un homomor- phisme deJ_S-module, en effetd_Wp = 0pour toutp ∈ J_S etd_W est une d´erivation. De mˆeme, le produit int´erieur et la d´eriv´ee de Lie sont des homomorphisme deJ_S-module.

On peut donc construire une nouvelle alg`ebreg-diff´erentielle W(g^∗)/ < p₁,· · · , p_r >,

avec< p₁,· · ·, p_r >, l’id´eal bilat`ere engendr´e par{p₁,· · · , p_r}un choix de g´en´erateurs deJ_S.

En utilisant le petit mod`ele de Cartan, [3], on peut calculer la cohomologie de cette nouvelle alg`ebre. Le Th´eor`eme 4.2 de [3], avec comme alg`ebre diff´erentielle Λ(g^∗), permet de conclure que

H(W(g^∗)/ < p₁,· · · , p_r >)∼= Λ(< p₁,· · ·, p_r >_C), et l’isomorphisme est donn´e parp_i →[C_pi].

3.5 Alg`ebre de Weil quantifi´ee

Il existe une version non-commutative de l’alg`ebre de Weil, l’alg`ebre de Weil quan- tifi´ee (voir [1], [2]). C’est une alg`ebreg-diff´erentielleZ₂-gradu´ee. Elle est d´efinie par

W(g) =U(g)⊗Cl(g),

avec les g´en´erateurs deU(g), de degr´e pair, et les g´en´erateurs de Cl(g), de degr´e impair, qui commutent entre eux. Comme pour l’alg`ebre de Clifford, sa structure d’alg`ebreg- diff´erentielle est donn´ee par des commutateurs. Soit

D =X

i

eⁱ⊗e_i+γ.

On a

ι(x) = ad1⊗x, L(x) = adx⊗1+1⊗g(x), d_W =adD.

Sigest une alg`ebre de Lie quadratique alorsB^[ permet d’identifier W(g)∼=W(g^∗) et il existe un isomorphisme d’espace vectoriel g-diff´erentielle (i.e. un isomorphisme

d’espace vectoriel qui commute avec la structureg-diff´erentielle) entre W(g)etW(g), la quantification (voir Th´eor`eme 6.1 de [1])

Q:W(g)→ W(g).

La cohomologie de l’alg`ebre de Weil quantifi´ee est donc ´egalement triviale.

La restriction de la quantification `a l’alg`ebre ext´erieure donne l’inverse de l’isomor- phisme de Chevalley, i.e. la quantification pour l’alg`ebre ext´erieure,

Q|_1⊗Λ(g) = 1⊗q.

Dans [9], Duflo introduit un isomorphisme de g-module entre S(g) et U(g) et il d´emontre que sa restriction aux invariants est un isomorphisme d’alg`ebre, i.e.

Duf:S(g)^g →^∼= U(g),

avecZ(g)le centre de l’alg`ebre enveloppante. La restriction de la quantification `a l’alg`ebre sym´etrique donne l’isomorphisme de Duflo, i.e.

Q|_S(g)⊗1 =Duf⊗1.

L’isomorphisme de Duflo implique queZ(g)est engendr´e parrg´en´erateurs{p˜₁,· · · ,p˜_r} lin´eairement ind´ependants. On peut choisir ces g´en´erateur tels que Duf(p_i) = ˜p_i. Dans [11], Kostant d´emontre queU(g)est unZ(g)-module libre. DoncW(g)et aussi unZ(g)- module libre (ici on identifieU(g) avecU(g)⊗1). Comme dans le cas non quantifi´e, la diff´erentielle, la d´eriv´ee de Lie et le produit int´erieur sont des homomorphismes de Z(g)-module. On peut alors construire une nouvelle alg`ebreg-diff´erentielle,

W(g)/ <p˜₁,· · · ,p˜_r >,

avec<p˜₁,· · · ,p˜_r >l’id´eal bilat`ere engendr´e par{p˜₁,· · · ,p˜_r}.

La quantification Q n’induit pas d’isomorphisme d’alg`ebre g-diff´erentielle entre W(g)/ < p<sub>1</sub>,· · ·, p<sub>r</sub> > et W(g)/ < p˜<sub>1</sub>,· · · ,p˜<sub>r</sub> >, car en g´en´eral l’´egalit´e, pour p un polynˆome invariant et a ∈ W(g), Q(pa) = Duf(p)Q(a) est fausse. Donc on ne peut pas d´eduire directement la cohomologie de W(g)/ < p˜<sub>1</sub>,· · · ,p˜<sub>r</sub> > de celle de W(g)/ < p<sub>1</sub>,· · · , p<sub>r</sub> >. De plus, il n’existe pas de version ”quantifi´ee” du petit mod`ele de Cartan.

Dans l’article ”Clifford algebras and transgression”, nous d´emontrons un r´esultat beaucoup plus g´en´eral et qui permet de calculer la cohomologie deW(g)/ < p˜₁,· · · ,p˜_r >:

Th´eor`eme 3.5.1. SoitW une alg`ebre diff´erentielleZ₂-gradu´ee sur un corpsK de ca- ract´eristique nulle et de cohomologie triviale, i.e. H(W) ∼= K. Soit {p₁,· · · , p_r} ∈ Z^paire(W)un choix der´el´ements lin´eairement ind´ependants de la partie paire du super- centre deW, tel que ;

a. ce sont de cobords, i.e. pour chaquep_i il existeC_pi tel quedC_pi =p_i,

b. la sous alg`ebre deW engendr´ee par lesp<sub>i</sub> et l’unit´e est l’alg`ebre sym´etriqueSP deP =< p₁,· · · , p_r >_K,

c. W est unSP-module libre.

Alors on l’isomorphisme d’alg`ebre suivant

H(W/ < p₁,· · ·, p_r >)∼=Cl(P, B).

L’isomorphisme est donn´e parp→ [C_p]_det la forme bilin´eaire est donn´ee, pourp, q ∈ P, par

B(p, q) = 1

2[C_p·C_q+C_q·C_p]_d.

Bibliographie

[1] A. Alekseev and E. MeinrenkenThe non-commutative Weil algebra, Invent. math., 139, 135-172 (2000).

[2] A. Alekseev and E. Meinrenken Lie theory and the Chern-Weil homomorphism, Ann. Scient. ´Ec. Norm. Sup., (4) 38 (2005), 303-308.

[3] A. Alekseev and E. Meinrenken Equivariant cohomology and the Maurer-Cartan equation, Duke Math. J. 130 (2005), no. 3, 479–521. .

[4] Yuri BazlovExterior powers of the adjoint representation of a simple Lie algebra, Thesis, August 2003.

[5] Nicole Berline, Ezra Getzler et Mich`ele Vergne Heat Kernel and Dirac operators, Springer-Verlag, 1992.

[6] C. Chevalley, The algebraic theory of spinors, Columbia university press 1954.

[7] C. ChevalleyInvariants of Finite Groups Generated by Reflections, American Jour- nal of Mathematics, Vol.77, No. 4 (1955),778-782.

[8] J. DiximierEnveloping Algebras, North-Holland Publishing Company, 1977.

[9] Michel Duflo, Op´erateurs diff´erentiels bi-invariants sur un groupe de Lie, Ann.

Sci. ´Ecole Norm. Sup. (4) 10 (1977), no. 2, 265–288.

[10] Victor W.Guillemin and Shlomo Sternberg, Supersymmetry and Equivariant de Rham Theory, Springer, 1999.

[11] B. Kostant,Lie Groups Representation on Polynomial Rings, American Journal of Mathematics, Vol. 85, No3 (1963), 327-404.

[12] B. Kostant, Clifford algebra analogue of the Hopf-Koszul-Samelson theorem, the ρ-decompositionC(g) = EndV_ρ⊗C(P), and theg-module structure ofV

g, Adv.

in Math. 125 (1997), 275–350.

[13] J.-L. Koszul,Homologie et cohomologie des alg`ebres de Lie, Bulletin de la S.M.F., tome 78 (1950), p. 65-127

[14] On the Ring of Invariant Polynomials on a Semisimple Lie Algebra, V.S. Varadara- jan, American Journal of Mathematics, Vol. 90, No. 1 (Jan., 1968), 308-317.

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 381–385

http://france.elsevier.com/direct/CRASS1/

Lie Algebras

Lie algebras generated by 3-forms

Rudolf Philippe Rohr

University of Geneva, Section of Mathematics, 2-4, rue du Lièvre, CH-1211 Geneva 4, Switzerland Received 4 November 2004; accepted 21 December 2005

Available online 3 February 2006 Presented by Michel Duflo

Abstract

LetU be a real vector space, B an inner product on U and T ∈ ∧U^∗ a 3-form. The 3-form T defines two natural maps, [·,·]U:∧²U→U andσ:U → ∧²U^∗∼=so(U, B)given by[x, y]U=2B(T (x, y,·))andσ (x)=T (x,·,·). We show that[·,·]U is a Lie bracket if and only ifg_T ≡Im(σ )is a Lie subalgebra of so(U, B). To cite this article: R.P. Rohr, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

©2006 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved.

Résumé

Algèbres de Lie engendrées par des 3-formes. SoitU un espace vectoriel réel,Bun produit euclidien surU etT ∈ ∧U^∗une 3-forme. La 3-formeT permet de définir deux applications,[·,·]U:∧²U→U etσ:U→ ∧²U^∗∼=so(U, B)telles que[x, y]U= 2B(T (x, y,·)) etσ (x)=T (x,·,·). On va démontrer que [·,·]U est un crochet de Lie si et seulement sig_T ≡Im(σ ) est une sous-algèbre de Lie de so(U, B). Pour citer cet article : R.P. Rohr, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

©2006 Académie des sciences. Published by Elsevier SAS. All rights reserved.

Version française abrégée

Soitg une algèbre de Lie quadratique et(·,·)sa forme bilinéaire symétrique invariante. On définit la 3-forme de CartanT ∈ ∧³g^∗ parT (x, y, z)=(x,[y, z]), x, y, z∈g(voir [2]). Cette 3-forme définit une classe dans cohomologie deg. De plus sigest simple elle engendreH³(g). On peut changer de point de vue. SoitUun espace vectoriel réel (de dimension finie) muni d’une forme bilinéaire symétrique non dégénéréeB etT ∈ ∧³U^∗ une 3-forme. On considère le crochet antisymétrique suivant,

[·,·]U:U∧U→U, x∧y→2B

T (x, y,·) ,

avecB:U^∗→U l’isomorphisme induit parB. Si[·,·]U satisfait l’identité de Jacobi, alors :U devient une algèbre de Lie avec[·,·]U comme crochet ;Bdevient une forme invariante surU;T est une 3-forme de Cartan. Considérons l’homomorphisme d’espaces vectoriels suivant,

E-mail address: [email protected] (R.P. Rohr).

382 R.P. Rohr / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 381–385

σ:U→ ∧²U^∗∼=so(U, B), x→σ (x)≡T (x,·,·).

On note gT ≡Im(σ ) l’image de cette homomorphisme. Cette définition est inspirée de la Définition 3.1 de [1]. Le résultat principal de cette Note est le théorème suivant :

Théorème 0.1. Supposons queB est définie positive. Alors,[·,·]U est un crochet de Lie si et seulement sigT est une sous algèbre de Lie de so(U, B). De plus :

(i) σ est un homomorphisme d’algèbre de Lie, i.e.[σ (x), σ (y)] =σ ([x, y]U); (ii) Ker(σ )est un idéal abélien ;

(iii) T est une 3-forme de Cartan pourB(i.e.T (x, y, z)=B([x, y]U, z)).

La preuve de ce théorème dans le sens direct est un exercice facile (voir Remarque 1). Par contre, la preuve de la réciproque nécessite les étapes suivantes :

(i) On démontre que si deux éléments (σ (x)etσ (y)) degT commutent alors[x, y]U =0 (voir Lemme 2.1). De ce lemme on déduit :

(a) l’algèbre de LiegT est semi-simple (voir Lemme 2.2) ;

(b) sa décomposition en somme directe d’algèbres de Lie simples est donnée pargT =

igT_i avec T =

iTi

oùT_i∈ ∧³U_i^∗etU=

iU_i⊕Ker(σ )est la décomposition orthogonale correspondante (voir Lemme 2.4).

(ii) On montre que σ (x)·y ≡ [σ (x), y] = [x, y]U définit une structure gT-module sur U (voir Section 2). Puis on démontre queU est homomorphe au module adjoint de gT et que σ :U→gT est un homomorphisme de gT-modules (voir Section 3).

1. Introduction

Letgbe a quadratic Lie algebra, with(·,·):g×g→R its invariant bilinear form. We can define a 3-formT ∈ ∧³g^∗ byT (x, y, z)=([x, y], z), x, y, z∈g. This 3-form, called a Cartan 3-form (see [2]), defines a class in the cohomology ofg. In particular, for gsimple,T generatesH³(g). We can change the point of view. LetU be a real vector space (of finite dimension), equipped with a nondegenerate symmetric bilinear formB, and letT ∈ ∧³U^∗ be a 3-form. We define a skew-symmetric bracket

[·,·]U:U∧U→U, x∧y→2B

T (x, y,·)

, (1)

whereB:U^∗→Uis the isomorphism induced byB. If[·,·]Uis a Lie bracket (i.e.[·,·]U satisfies the Jacobi identity), then the bilinear formBis invariant with respect to the adjoint action, i.e.∀x, y, z∈U, B([x, y]U, z)+B(y,[x, z]U)= 0 andT is the Cartan 3-form. Furthermore, we define the vector space homomorphism

σ:U→ ∧²U^∗∼=so(U, B),

x→σ (x)≡T (x,·,·). (2)

We denote its image bygT ≡Im(σ )⊆so(U, B). This definition is inspired by Definition 3.1 of [1]. The main result of this Note is the following theorem:

Theorem 1.1. Assume thatB is positive definite. Then,[·,·]U is a Lie bracket if and only ifgT is a Lie subalgebra of so(U, B). Moreover, in this case we have:

(i) σ is a Lie algebra homomorphism, i.e.[σ (x), σ (y)] =σ ([x, y]U),

R.P. Rohr / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 381–385 383

Remark 1. Assume that[·,·]U is a Lie bracket. Then, proving thatgT is a Lie subalgebra of so(U, B)is an elementary exercise: let Cl(U, B)be the Clifford algebra and denote [σ (x), y] =σ (x)y −yσ (x) the commutator in Cl(U, B) (here we use the Chevalley isomorphism Cl(U, B)∼= ∧U^∗, see Theorem II.1.6, p. 41 of [3]). We have [x, y]U = 2BT (x, y,·)= [σ (x), y], which impliesσ (x)∼=adx. Moreover, ad_[x,y]U = [adx,ady]implies thatg_T ⊆so(U, B)is a Lie subalgebra andσ ([x, y]U)= [σ (x), σ (y)], i.e.σ is a Lie algebra homomorphism.

The above argument works for any signature of the bilinear form B. Our proof of the reciprocal, presented in Sections 2 and 3, depends on the positivity ofB. We conjecture that the theorem above hold true if the bilinear form is only nondegenerate.

2. Properties ofgT

In this section we assume thatgT is a Lie subalgebra of so(U, B)and that B is positive definite. Below we list some useful properties of the mapσ and of the Lie subalgebragT.

Lemma 2.1. Letx, y∈U such that[σ (x), σ (y)] =0. Then,[x, y]U =0.

Proof. Let {ei}i=1..n by an orthonormal basis of U. By Theorem 16 of [5] (page 293), we have ∀x, y ∈ U, [σ (x), σ (y)] =2n

i=1(ι(ei)ι(x)T )∧(ι(ei)ι(y)T )(here ιis the left contraction operator). If [σ (x), σ (y)] =0, we have that_n

i=1(ι(ei)ι(x)T )∧(ι(ei)ι(y)T )=0. In particular, we obtain 0=ι(x)ι(y)

n i=1

ι(ei)ι(x)T

∧

ι(ei)ι(y)T

= − n i=1

T (y, x, ei)2

,

which implies[x, y]U=0. 2

Remark 2. From the above lemma we deduce that the Lie algebra gT is either trivial or nonabelian. Indeed, if [σ (x), σ (y)] =0 for allx, y∈U, thenT (x, y,·)=0 andσ=0.

Lemma 2.2. The Lie algebragT is semisimple.

Proof. gT is a reductive Lie algebra, since it is a Lie subalgebra of so(U, B)andB is positive definite. Then, we have gT =Z(gT)⊕ [gT,gT]. If σ (x)∈Z(gT)(the center of gT), Lemma 2.1 implies ι(x)ι(y)T =0, ∀y ∈U and σ (x)=0. 2

We are interested in the decomposition of gT into a direct sum of simple Lie algebras. For that, we need the following definition.

Definition 2.3. The 3-formT is called reducible if there exists a nontrivial orthogonal decompositionU=U1⊕U2⊕ Ker(σ ), and nontrivial elementsTi∈ ∧³U_i^∗,i=1,2, such thatT =T1+T2. Otherwise we say thatT is irreducible.

Lemma 2.4. The Lie algebragT is simple if and only if the 3-formT is irreducible. Moreover, the decomposition of gT into simple Lie subalgebras is given by

gT =

i

gTi,

where Ti ∈ ∧³U_i^∗ are the irreducible components of T =

iTi, and U =Ker(σ )⊕

iUi is the corresponding orthogonal decomposition.

Proof. The proof in the⇒)direction is obvious. We will give the proof in the⇐)direction. Assume thatgT decom-

384 R.P. Rohr / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 381–385

with Lemma 2.1 implies that∀x∈U1 and∀y∈U2,T (x, y,·)=0. Then,T =T1+T2, withTi≡T|_∧³_U^∗

i,i=1,2, and we havegi=gT_i,i=1,2. Moreover,U1⊥U2. Indeed, we have thatB(B(σ (x)), y∧z)=B(x,[y, z]U), which implies(Ker(Bσ ))^⊥=Im([·,·]U). Then, for eachx∈U1 there existswx∈ ∧²U1 such thatB(ι(wx)T )=x (hereι is the left contraction operator), and we have∀x∈U1and∀y∈U2thatι(y)ι(wx)T =B(x, y)=0, i.e.U1⊥U2. 2

The vector spaceU is agT-module, withgT-action given byσ (x)·y≡ [σ (x), y], where the bracket is the com- mutator in the Clifford algebra Cl(U, B)and we identify Cl(U, B)and∧U^∗ with the Chevalley isomorphism.

Lemma 2.5. ThegT-moduleUhas the following properties:

(i) σ (x)·y= [x, y]U,∀x, y∈U, (ii) U is a faithful module,

(iii) [σ (x), σ (y)] =0⇒σ (x)·y=0, (iv) σ (x)·y= −σ (y)·x,∀x, y∈U,

(v) U is irreducible if and only ifgT is simple.

Proof. The point (i) follows from the fact that in the Clifford algebra Cl(U, B)we have[x,•] =2ι(x)• (see Theo- rem 5, page 284 of [5]). The points (ii) and (iv) follow from the point (i), the point (iii) follows from the point (i) and Lemma 2.1 and the point (v) follows from the point (i) and Lemma 2.4. 2

3. The homomorphism theorem

In this section, we prove a theorem that allows us to complete the proof of Theorem 1.1.

Theorem 3.1. Let g be a simple Lie algebra(his its Cartan subalgebra), U a faithfulg-module, and σ:U→g a vector space isomorphism. Assume that the following properties hold true:

P1 ∀v, w∈U,σ (v)·w= −σ (w)·v, P2 ∀v, w∈σ⁻¹(h),σ (v)·w=0.

Thenσ is an isomorphism ofg-modules, i.e.[σ (x), σ (y)] =σ (σ (x)·y), ∀x, y∈U, and thenx∧y→σ (x)·y is a Lie bracket onU.

Proof. First we complexifygandU. Letg^C=h^C⊕

α∈Rgα be the root space decomposition,Rbe the set of roots ofg^Cwith respect toh^C. This decomposition induces a decomposition ofU^Cbyσ, i.e.U^C=U⁰⊕

α∈RU^α, where U⁰=σ⁻¹(h^C)andU^α=σ⁻¹(gα).

The structure of theg^C-moduleU^Cinduces another decomposition,U^C=

λ∈PU_λ, whereP is the set of weights ofU andUλ⊆Uis the subspace of weightλ. The subspace of weight zero is denoted byU0≡Uλ=0.

(i) The property P2 impliesU⁰⊆U0.

(ii) We prove that every root ofg^C is a weight ofU, i.e.R⊆P. Leth∈U⁰ andv^α∈U^α. Then, property P1, the point (i) above and Lemma 20.1, page 107 of [4] imply thatσ (h)·v^α∈Uα. We shall show that for every rootα there exists an elementhα∈U⁰such asσ (hα)·v^α=0. Indeed, if it is not the case, then there isβ=αsuch that for somev^β∈U^β,σ (v^β)·v^α=0 (because the moduleU is faithful). We have then∀h∈U⁰,

σ (h)·σ v^β

·v^α

=β(h)σv^β·v^α

= −σ (h)·σ v^α

·v^β= −

σ (h), σ v^α

·v^β−σ v^α

·

σ (h)·v^β

=α(h) σ v^β

·v^α

of weightβ

+σ v^α

· σ

v^β

·h

of weightα+β

.