Le foncteur de Maurer-Cartan sur les algèbres L∞

Le foncteur de Maurer-Cartan sur les algèbres L_∞ nilpotentes, d'après Getzler

Notes d'exposé au groupe de travail de topologie algébrique Nantes/Angers

Aurélien DJAMENT novembre 2012

Résumé

Dans l'exposé précédent, nous avons appris la dénition de l'ensemble de Maurer-CartanMC(g) d'une algèbreL∞ nilpotente (sur un corps de caractéristique nulle)get vu que, à l'aide du foncteur de tensorisation par l'algèbre commutative graduée simplicialeΩ•que nous avons étudiée dans les séances antérieures, on en déduit un foncteurMC• des algèbres L∞

nilpotentes vers les ensembles simpliciaux, donné parMCn(g) = MC(g⊗ Ωn). Cet ensemble simplicial modélise le type d'homotopie deg; le résultat fondamental de cet exposé (qui suit essentiellement la deuxième partie de la section 4 de l'article [Get09] de Getzler) est qu'il s'agit d'un ensemble simplicial de Kan.

Table des matières

1 Rappels sur les algèbresL_∞ 2

2 Rappels et compléments sur le foncteur de Maurer-Cartan 2

3 L'ensemble simplicial MC_•(g) est brant 3

4 Propriétés d'invariance homotopique 7

5 Annexe : tentative pour comprendreπ0(g)pourgalgèbre de Lie

diérentielle graduée 7

1 Rappels sur les algèbres L_∞

On se donne une algèbreL_∞ gsur le corps de baseK de caractéristique0. Celle-ci est donc munie de crochets[] : Λ^kg→g, qui sont homogènes de degré 2−k, pour toutk≥1, où la puissance extérieurek-èmeΛ^kgs'entend au sens gradué et vérient une relation de Jacobi appropriée. Pour k = 1, on obtient une diérentielle que Getzler note δ.

Si (A, d) est une (K-)algèbre commutative graduée (éventuellement sans unité), l'espace vectoriel graduég⊗Ahérite d'une structure d'algèbreL∞telle que

[x⊗a] = [x]⊗a+ (−1)^|x|x⊗da et

[x1⊗a1, . . . , xk⊗ak] = (−1)^Pi<j|ai||xj|[x1, . . . , xk]⊗(a1. . . ak)pourk >1 (attention, le papier de Getzler semble contenir une coquille pour le signe).

Sigest nilpotente, il en est de même pourg⊗A.

Comme Getzler, nous adopterons les abus de notation suivants : si f est une application linéaire g→ g, nous noterons encore f pour f ⊗A :g⊗A → g⊗A. Si ϕ: A→ A est une application linéaire homogène, on notera encore ϕl'application linéaire g⊗A→g⊗A donnée parx⊗a7→(−1)^|ϕ||x|x⊗ϕ(a) (on utilise toujours la règle de Koszul pour les signes). Ainsi, la diérentielle de g⊗Apeut être notéed+δ. Noter que, avec cette convention de prolongement, f etϕcommutent au signe(−1)^|f|.|ϕ|près (on suppose ici quef est homogène).

Le cas qui nous intéresse est celui où A est l'algèbre commutative graduée Ω_n des formes diérentielles polynomiales sur le n-simplexe standard ∆ⁿ. On dispose ainsi d'une algèbreL_∞simplicialeg⊗Ω_•.

2 Rappels et compléments sur le foncteur de Maurer- Cartan

On dispose d'un premier foncteur de Maurer-CartanMC des algèbres L_∞ nilpotentes vers les ensembles. À gil associe l'ensembleMC(g)des α∈g¹ tels queF(α) = 0, où

F(α) :=X

l≥1

1 l![α^∧l]

(la somme est nie puisque g est nilpotente). Noter que la fonctorialité est évidente sur les algèbres de Lie diérentielles graduées, mais pas tout à fait dans le cadreL_∞. Supposons en eet que f :g→g⁰ est un morphismeL_∞ (avecg⁰ nilpotente, commeg) :f est une collection d'applications linéaires f_i:g^∧i→g⁰ de degré1−ivériant des relations appropriées ; six∈MC(g), alors on n'a pas nécessairement f₁(x) ∈ MC(g⁰) (c'est cependant le cas, évidemment, si f est un morphisme naïf, c'est-à-dire que lesfi sont nuls pour i >1). En revanche, l'élément

X

i≥1

1 i!f_i(x^∧i)

(on suppose ici que la somme est nie, ce qui n'est pas a priori gratuit) de g⁰¹ appartient àMC(g⁰)(c'est une conséquence facile des relations vériées par

les f_i) et cela fait de MC un foncteur des algèbres L_∞ nilpotentes vers les ensembles (éventuellement pointés :0est point de base canonique de l'ensemble de Maurer-Cartan).

Le foncteur étudié par Getzler dans le Ÿ 4 de [Get09], noté MC_•, va des algèbres L_∞ nilpotentes (les morphismes étant les morphismes L_∞ nilpotents au sens où la somme précédente est toujours nie) vers les ensembles simpliciaux.

Il est obtenu en composantMCet−⊗Ω_•. CommeΩ0s'identie àK, l'ensemble MC0(g)des0-simplexes deMC_•(g)s'identie à MC(g).

Getzler dénit les groupes d'homotopie d'une algèbreL∞nilpotentegcomme ceux de l'ensemble simplicial pointé de Maurer-Cartan MC•(g). L'ensemble (pointé) π0(g) :=π0(MC•(g)) possède une interprétation sympathique voir pour cela l'annexe en n de texte.

Si g est une algèbre L_∞ abélienne (i.e. dont les produits, sauf peut-être la diérentielle, sont nuls), c'est-à-dire un complexe de cochaînes, on dispose d'isomorphismes naturelsπ_i(g)'H¹⁻ⁱ(g).

3 L'ensemble simplicial MC_•(g) est brant

On rappelle (cf. Ÿ 3 de [Get09] et exposés correspondants) que, pour 0 ≤ i ≤ n, on dispose d'applications linéaires εⁱ_n : Ω_n → K ⊂ Ω_n d'évaluation sur le sommete_i des formes (c'est donc nul sur une forme homogène de degré strictement positif) et d'opérateurs hⁱ_n : Ω_n → Ω_n de degré −1 vériant la relation d'homotopie Id−εⁱ_n =dhⁱ_n+hⁱ_nd; les extensions de ces applications à g⊗Ωn vérient encore la même relation, ainsi que δhⁱ_n=−hⁱ_nδ(à cause des signes), de sorte qu'on a :

Id=εⁱ_n+ (d+δ)hⁱ_n+hⁱ_n(d+δ). (1) On pose aussiRⁱ_n := (d+δ)hⁱ_n.

Siα∈MCn(g), alors(d+δ)(α) =−P

l≥2 1

l![α^∧l], de sorte que (1) donne : α=εⁱ_n(α) +Rⁱ_n(α)−X

l≥2

1

l!hⁱ_n[α^∧l] (2) On rappelle également que εⁱ_nhⁱ_n = 0 par le lemme 3.6 de Getzler (cette composée est, au signe près, l'intégrale sur le simplexe dégénéré(ii), donc0).

On utilisera par ailleurs l'égalité

x^∧l−y^∧l=

l

X

j=1

x^∧(j−1)∧(x−y)∧y^∧(l−j) (3)

Dénition 3.1. On notemcⁱ_n(g)le sous-espace vectoriel de(g⊗Ωn)¹intersec- tion de l'image pard+δde(g⊗Ωn)⁰(image que Getzler notemcn(g)mais qui ne semble pas faire le travail) et de Ker εⁱ_n.

Proposition 3.2 (Lemme 4.6 de [Get09]). Pour toute algèbreL_∞ nilpotenteg, l'application (εⁱ_n, R_nⁱ)induit une bijectionMC_n(g)→MC(g)×mcⁱ_n(g).

Démonstration. On commence par noter que εⁱ_n, qui est une application sim- pliciale, envoie MCn(g)dansMC0(g) = MC(g)et queRⁱ_n envoie MCn(g)dans

mcⁱ_n(g). En eet, l'image deRⁱ_nrestreinte aux éléments de degré1est clairement incluse dans l'image par d+δ de(g⊗Ω_n)⁰, et l'on remarque que εⁱ_n(d+δ)hⁱ_n est nul car :

1. εⁱ_nd= 0, puisqueεⁱ_n est nul sur les formes homogènes de degré non nul et quedaccroît strictement le degré ;

2. εⁱ_nδhⁱ_n est également nul à cause de la relationεⁱ_nhⁱ_n= 0(εⁱ_n est une appli- cation simpliciale etδopère seulement surg, de sorte que ces morphismes commutent au signe près).

Montrons maintenant que la restriction àMCn(g)de(εⁱ_n, Rⁱ_n)est injective. Si αetβ sont deux éléments deMCn(g)tels queεⁱ_n(α) =εⁱ_n(β)etRⁱ_n(α) =Rⁱ_n(β), alors les égalités (2) et (3) fournissent

α−β=X

l≥2

1 l!

l

X

j=1

hⁱ_n [β^∧(j−1)∧(β−α)∧α^∧(l−j)] .

Par conséquent, si l'on note F^∗gla suite centrale descendante deg, la relation α−β ∈ F^rg entraîne α−β ∈ F^r+1g; comme gest nilpotente, on en déduit α=β.

Établissons la surjectivité de notre application. Donnons-nousµ∈MC(g)et ν ∈mcⁱ_n(g)et posonsα0=µ+ν. On a ici noté, par abus, de la même façonµ et son image µ⊗1 (où1 désigne l'unité de l'algèbre Ωn) dans g¹⊗Ω⁰_n. Alors εⁱ_nµ=µ(carεⁱ_n n'est autre qu'une évaluation sur les0-formes) etεⁱ_nν= 0par dénition de mcⁱ_n(g) (c'est là qu'on ne semble pas pouvoir s'en sortir avec le mc_n(g)de Getzler), doncεⁱ_nα₀=µ. On a égalementRⁱ_nµ= 0car hⁱ_nµ= 0(hⁱ_n n'opère que sur la partie simpliciale et fait strictement décroître le degré des formes, or µest de degré nul) etRⁱ_nν=ν grâce à la relation (1), qui fournit

Rⁱ_nν =ν−εⁱ_nν−hⁱ_n(d+δ)ν ;

or εⁱ_nν= 0et (d+δ)ν= 0puisque (d+δ)²= 0, doncRⁱ_nα0=ν.

On dénit maintenantα_k, pour k∈N^∗, par la relation de récurrence suiv- ante :

αk+1=α0−X

l≥2

1

l!hⁱ_n[α^∧l_k ].

Commeεⁱ_nhⁱ_n= 0, on aεⁱ_nαk =εⁱ_nα0=µpour toutk. De même, de(hⁱ_n)²= 0 (cas particulier du lemme 3.5 de [Get09]) on tire Rⁱ_nαk=ν pour toutk.

Utilisant l'identité (3), on voit que

αk+1−αk=X

l≥2

1

l!hⁱ_nX^l

j=1

[α^∧(j−1)_k−1 ∧(α_k−1−αk)∧α^∧(l−j)_k ]

d'où l'on déduit par récurrence la relationα_k+1−α_k ∈F^k+1g⊗Ω_n. Commegest nilpotente, cela implique que la suite(αk)est stationnaire ; nous noteronsαsa limite : elle vérieεⁱ_nα=µethⁱ_nα=ν. Pour conclure la démonstration, il sut donc d'établir que αappartient à MCn(g). Pour cela, on applique l'opérateur d+δà l'égalité

α=α0−X

l≥2

1

l!hⁱ_n[α^∧l],

ce qui donne, puisque(d+δ)ν= 0(car(d+δ)²= 0) etdµ= 0(carµest dans g=g⊗K⊂g⊗Ω⁰_n) :

(d+δ)α=δµ−X

l≥2

1

l!(d+δ)hⁱ_n[α^∧l], d'où

F(α) =δµ+X

l≥2

1

l! id−(d+δ)hⁱ_n [α^∧l]

puis, en utilisant l'égalité (1), la relationεⁱ_nα=µet le fait queεⁱ_n, qui est une application simpliciale de degré nul, commute aux crochets venant deg:

F(α) =F(µ) +X

l≥2

1

l!hⁱ_n(d+δ)[α^∧l] =hⁱ_n(d+δ)F(α).

Par l'identité de Bianchi

(d+δ)F(α) =−X

l≥1

1

l![α^∧l∧ F(α)], on en déduit :

F(α) =−X

l≥1

1

l!hⁱ_n[α^∧l∧ F(α)],

ce qui montre, par récurrence surj, queF(α)appartient à chaqueF^jg⊗Ω_n et conclut la démonstration,gétant nilpotente.

Remarque 3.3. Il serait très intéressant de comprendre comment les morphismes L_∞ (nilpotents) se comportent vis-à-vis de la bijection de la proposition précé- dente : pour ce qui concerneεⁱ_n : MC_n(g)→MC(g)c'est évident, mais ce l'est beaucoup moins pourRⁱ_n : MCn(g)→mcⁱ_n(g). Peut-être cela pourrait-il aider à compléter la démonstration de la proposition 3.6 ci-après pour un morphisme L_∞ général ?

Dans ce qui suit, les∂jdésignent (comme dans l'article de Getzler) les opéra- teurs de face sur l'algèbre simplicialeΩ_•.

Lemme 3.4. 1. Pour0≤i < j≤n, on aεⁱ_n =εⁱ_n−1∂j, ∂jhⁱ_n =hⁱ_n−1∂j et

∂jRⁱ_n=Rⁱ_n−1∂j.

2. Pour0≤j < i≤n, on aεⁱ_n=εⁱ⁻¹_n−1∂j,∂jhⁱ_n=hⁱ⁻¹_n−1∂j et∂jRⁱ_n=Rⁱ⁻¹_n−1∂j. Démonstration. Les assertions relatives aux εrésultent de ce que la composée ε^k_n−1∂_jest induite par l'application[0]→[n−1]→[n](de la catégorie simpliciale

∆) composée de la fonction constante enket de la fonction associanttàt < j et t+ 1 à t ≥j, composée égale à l'application constante en k si k < j et en k+ 1sinon.

Les assertions relatives aux applicationsh sont (avec des notations légère- ment diérentes) le point (ii) du lemme 2.19 de [Dup78]. Celles relatives aux R= (d+δ)hs'en déduisent, puisqued+δ commute¹ aux applications simpli- ciales (dest la diérentielle de de Rham etδn'opère que sur l'algèbreL_∞).

1. Il n'y a pas de problème de signe car les opérateurs simpliciaux∂jsont de degré nul.

On rappelle également le résulat classique suivant (cf. [GJ99], chap. III, lemme 2.10, par exemple) :

Lemme 3.5. Tout morphisme de groupes abéliens simpliciaux qui est surjectif en chaque degré est une bration de Kan.

Proposition 3.6 (Proposition 4.7 de [Get09]). Sif :g→hest un morphisme surjectif²d'algèbresL_∞nilpotentes, alors le morphisme d'ensembles simpliciaux MC_•(f) : MC_•(g)→ MC_•(h) est une bration de Kan, au moins si f est un morphisme naïf.

Démonstration. Soient n∈N^∗, i ∈ {0, . . . , n}, βj ∈MCn−1(g), pour 0 ≤j 6=

i ≤n, vériant ∂_jβ_k =∂_k−1β_j pour 0 ≤j < k ≤n avec j, k 6=i (autrement dit, lesβ_j forment un cornet) etγ∈MC_n(h)tel que∂_jγ=f(β_j)pourj6=i. Il s'agit de montrer l'existence deα∈MC_n(g)tel quef(α) =γ et∂_jα=β_j pour j6=i.

Comme f₁⊗Ω_m est surjectif pour tout m ∈ N, le lemme 3.5 montre que f1⊗Ω_• est une bration de Kan si f est un morphisme naïf surjectif (sinon, je ne sais pas comment compléter la démonstration de Getzler le morphisme entre les ensembles simpliciaux sous-jacents aux espaces vectoriels simpliciaux (g⊗Ω_•)¹ et(h⊗Ω_•)¹ dont on aimerait savoir qu'il est une bration n'est alors pas linéaire cf. la fonctorialité deMC_•indiquée dans la section 2 de sorte qu'on ne peut pas appliquer le lemme 3.5), de sorte qu'il existeρ∈g⊗Ωntel que f(ρ) =γet ∂jρ=βj pourj6=i. Du fait queεⁱ_n est une application simpliciale qui se factorise par ∂j, où j 6=i est arbitraire, et que ∂jρappartient au sous- ensemble simplicial MC•(g) de g⊗Ω•, εⁱ_nα appartient à MC0(g) = MC(g). La proposition 3.2 garantit donc l'existence d'un (unique)α∈MCn(g)tel que εⁱ_nα=εⁱ_nρetR_nⁱα=R_nⁱρ.

On a

εⁱ_nf(α) =f(εⁱ_nα) =f(εⁱ_nρ) =εⁱ_nf(ρ) =εⁱ_nγ

et de mêmeRⁱ_nf(α) =Rⁱ_nγ, de sorte quef(α) =γpar la proposition 3.2.

Soit j ∈ {0, . . . , n} \ {i}, montrons l'égalité ∂jα = βj. (Attention, sur ce point, le papier de Getzler contient quelques erreurs d'indexation.) Supposons d'abordi < j. Grâce au lemme 3.4, on a

εⁱ_n−1∂_jα=εⁱ_nα=εⁱ_nρ=εⁱ_n−1∂_jρ=εⁱ_n−1β_j et

Rⁱ_n−1∂jα=∂jRⁱ_nα=∂jRⁱ_nρ=Rⁱ_n−1∂jρ=R_n−1ⁱ βj, de sorte que la proposition 3.2 entraîne que∂jα=βj.

Dans le cas oùj < i, on procède de la même façon, mais en utilisantεⁱ⁻¹_n−1 et Rⁱ⁻¹_n−1; par exemple,

Rⁱ⁻¹_n−1∂jα=∂jRⁱ_nα=∂jRⁱ_nρ=Rⁱ⁻¹_n−1∂jρ=R_n−1ⁱ⁻¹βj, ce qui conclut la démonstration.

2. Cela signie-t-il que la première composante de f (qui est un morphisme d'espaces vectoriels gradués de degré0degdansh) est surjective, ou que le morphisme entre les cogèbres colibres associées est surjectif (peut-être même est-ce équivalent ?) ? Je n'ai pu trancher ce point, ne comprenant de toute façon pas la démonstration dans le cas où le morphisme n'est pas naïf.

Prenant pour hl'algèbre nulle, on obtient l'un des résultats principaux du

Ÿ 4 de [Get09] :

Corollaire 3.7. Pour toute algèbre L_∞ nilpotente g,MC_•(g)est un ensemble simplicial de Kan.

4 Propriétés d'invariance homotopique

On reproduit ici sans démonstration deux résultats de la n du Ÿ 4 de [Get09].

Elles indiquent en un certain sens que l'ensemble simplicial pointéMC_•(g)con- stitue un modèle raisonnable pour faire de la théorie de l'homotopie sur les algèbres L_∞nilpotentes.

Proposition 4.1 (Théorème 4.8 de [Get09]). Soit f : g→h une équivalence faible (naïve ?) entre deux algèbresL∞ nilpotentes concentrées en degrés négat- ifs. Alors le morphisme d'ensembles simpliciaux

MC•(f) : MC•(g)→MC•(h) est une équivalence d'homotopie.

Si m est une K-algèbre commutative sans unité, on a rappelé au début comment faire deg⊗mune algèbreL_∞ lorsquegest une algèbreL_∞. Simest nilpotente au sens où mⁱ = 0 pour un certain i, alors l'algèbre L_∞ g⊗m est toujours nilpotente.

Proposition 4.2 (Proposition 4.9 de [Get09]). Soientf :g→hune équivalence faible (naïve ?) entre deux algèbresL∞etmune algèbre commutative sans unité nilpotente. Alors le morphisme d'ensembles simpliciaux

MC•(f⊗m) : MC•(g⊗m)→MC•(h⊗m) est une équivalence d'homotopie.

La démonstration de ces deux résultats repose sur l'utilisation de ltrations judicieuses. Pour la proposition 4.1, Getzler emploie une ltration dénie à l'aide des cocyles et cobords des algèbresL_∞ (avec des conditions de degré), pour la proposition 4.2, c'est la ltration nie décroissante induite par les puissances de mqui sert. Un autre ingrédient réside dans le caractère contractile deΩ_•pour la proposition 4.1 et l'observation que le foncteur MC_• restreint aux algèbresL_∞ abéliennes (i.e. aux complexes de cochaînes noter queMCest l'ensembleZ¹ des1-cocyles pour une telle algèbre) envoie équivalences faibles sur équivalences d'homotopie. Enn, on utilise pour les deux propriétés la proposition 3.6, de sorte qu'il faut savoir la démontrer pour un morphismeL∞(nilpotent) arbitraire pour obtenir le même degré de généralité pour les propositions 4.1 et 4.2.

5 Annexe : tentative pour comprendre π₀(g) pour g algèbre de Lie diérentielle graduée

Pour simplier, on suppose ici simplement quegest une algèbre de Lie dif- férentielle graduée nilpotente. Cherchons à décrire π0(g) = π0(MC_•(g)). Con- sidérons pour cela un élément de(g⊗Ω1)¹'g¹[t]⊕g⁰[t]dtde composantesxet

−y.dt: sa diérentielle est la somme du termedx−dy.dtissu de la diérentielle ddeget du terme−x.dt˙ (on désigne par un point la dérivation des polynômes ; le signe provient de la règle de Koszul) et

[x−y.dt, x−y.dt] = [x, x]−2[x, y].dt= [x, x] + 2(ad y)x.dt

puisque dt.dt= 0, où l'on note ad y = [y,−]. Par conséquent,x−y.dt vérie l'équation de Maurer-Cartan si et seulement si

dx+1

2[x, x] = 0 et x˙ = (ad y)(x)−dy.

Cela équivaut à x(0)∈MC(g)etx˙ = (ad y)(x)−dy. En eet, sixvérie cette égalité, on voit facilement que z:=dx+¹₂[x, x]vérie l'égalité z˙ = (ad y)z, de sorte que z = 0équivaut simplement à z(0) = 0. Par ailleurs, en utilisant que g est nilpotente, on constate aisément que, pour tout a ∈ g¹, il existe une et une seule solution x∈g¹[t]de l'équation x˙ = (ad y)(x)−dy telle quex(0) =a. Pour résoudre cette équation, on procède comme d'habitude : soitY la primitive sans terme constant dey, en posant X = exp(−ad Y)(x)(c'est licite car gest nilpotente) l'équation devient

X˙ =−exp(−ad Y)(dy).

Siyest un monômetⁿω(oùω∈g⁰etn∈N),exp(−ad Y)(dy) =tⁿexp(−^t_n+1ⁿ⁺¹ad ω).dω s'intègre aussitôt :

X=X(0) +exp −^t_n+1ⁿ⁺¹ad ω

−1

ad ω .dω

ou encore

x= exptⁿ⁺¹ n+ 1.ad ω

.x(0) + 1−exp ^t_n+1ⁿ⁺¹ad ω ad ω .dω.

Cela montre d'une part que la formule

exp(λ).a= exp(ad λ)a+1−exp(ad λ) ad λ .dλ

dénit une action (ou plutôt, cela montre que cette formule donne un élé- ment deMC(g)lorsque ay appartient : vérier la formule exp(λ).(exp(µ).a) = (exp(λ) exp(µ)).a n'est pas évident) du groupe exp(g⁰) sur l'ensemble MC(g) (cf. [GM88] ; [Hin97] donne quelques explications sur cette action, mais elles me semblent totalement incompréhensibles) et d'autre part que deux éléments de MC(g) = MC0(g)sont dans la même composante connexe de l'ensemble sim- plicial de MC_•(g) s'ils sont conjugués sous cette action. Cela montre aussi la réciproque i.e. permet d'identierπ0(MC•(g))àMC(g)/exp(g⁰), résultat af- rmé par exemple par l'article de Getzler (y compris sous la forme plus générale correspondant au casL∞; le cas Lie dg est attesté dans [GM88] ou [Hin97]) si l'on sait montrer que le cas général (où y n'est pas monomial) se ramène à celui qu'on peut facilement intégrer.

Remarque 5.1. Une façon de voir qu'il est naturel de considérer l'équation dx+ ¹₂[x, x] = 0 pour x élément homogène de degré 1 d'une algèbre de Lie

diérentielle graduée (et sans doute, plus généralement, l'équation de Maurer- Cartan dans le cadreL_∞, en eectuant les modications qui s'imposent) est de noter la relation (pourxhomogène de degré impair)

(d+ad x)²=ad Q(x) où Q(x) =dx+1 2[x, x]

(cf. [GM88], pages 50-51). Cela semble lié intuitivement à l'énoncé selon lequel π0(g)paramétrise les classes d'équivalence de déformations deg(vrai également dans le cadreL_∞) qui constitue manifestement une motivation fondamentale à l'introduction du foncteur de Maurer-Cartan. On ne cherchera toutefois pas, dans cet exposé, à expliquer ce que signie déformer une algèbre de Lie dif- férentielle graduée (tout cela paraît trouver sa source dans des considérations géométriques qui dépassent totalement le cadre du présent exposé et les compé- tences de son auteur).

Remerciements Je remercie chaleureusement Friedrich Wagemann pour les références et indications précieuses qu'il m'a fournies, ainsi qu'Hossein Ab- baspour sans qui je n'aurais rien compris à la fonctorialité de l'ensemble de Maurer-Cartan relativement aux morphismesL_∞. La préparation de cet exposé a également bénécié de discussions avec Salim Rivière.

Références

[Dup78] J. L. Dupont Curvature and characteristic classes, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640, Springer-Verlag, Berlin, 1978.

[Get09] E. Getzler Lie theory for nilpotentL_∞-algebras , Ann. of Math.

(2) 170 (2009), no. 1, p. 271301.

[GJ99] P. G. Goerss & J. F. Jardine Simplicial homotopy theory, Progress in Mathematics, vol. 174, Birkhäuser Verlag, Basel, 1999.

[GM88] W. M. Goldman & J. J. Millson The deformation theory of representations of fundamental groups of compact Kähler manifolds , Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (1988), no. 67, p. 4396.

[Hin97] V. Hinich Descent of Deligne groupoids , Internat. Math. Res.

Notices (1997), no. 5, p. 223239.