L3B Ann´ee 2017/2018 JUIN 2018 JUSTIFIER TOUTES VOS REPONSES

(1)

L3B Ann´ ee 2017/2018

JUIN 2018

JUSTIFIER TOUTES VOS REPONSES

Exercice 1

1. (a) i. Montrer queZ/3Zest un corps.

un anneauAest un corps ssixinversible∀x∈A\ {0A}.

• Z/3Z= ¯0,¯1,¯2

• ¯1⁻¹= ¯1,¯2⁻¹= ¯2

ii. Détérminer les valeurs den≤20 pour lesquelles l’anneauZ/nZ est intègre.

un anneauAest un int`egre ssi

xy= 0A⇒x= 0Aouy= 0A. On a vu dans le cours que :

n >0,Z/nZint`egre⇔npremier.

Pour n = 2,3,5,7,11,13,17,19 Z/nZ est (un corps donc) int`egre.

(b) i. D´eterminer l’inverse de ¯13 dansZ/89Z

13, 89 sont premier entre eux, on determine la relation de Bezout avec l’algo de Euclide :

6×89−41×13 = 1⇒−41 = ¯¯ 48 = ¯13⁻¹ Sinon :

91−89 = 7×13−89 = 2 6×2 = 13−1 6(7×13−89) = 13−1 42×13−6×89 = 13−1 41×13−6×89 = −1

(2)

ii. Montrer que l’anneau (Z/89Z)[X] est int`egre.

89 est premier.

(c) i. Montrer qu’un polynˆome P ∈C[X] non nul est inversible si et seulement si deg(P) = 0.

• On suppose∃Q∈C[X] tel que

P Q= 1⇒deg(P) + deg(Q) = deg(1) = 0

⇒deg(P) = deg(Q) = 0

• deg(P) = 0⇒ ∃γ∈C^∗, P(X) =γ

⇒Q(X) =γ⁻¹ est l’inverse deP

ii. En d´eduire que∀α∈Cle polynomeX−αest irr´eductible dans C[X].

Un ´eltx∈Aest irreductible ssi x=ab⇒ainversible oubinversible.

On suppose :

X−α=P(X).Q(X)⇒deg(P) + deg(Q) = 1

⇒deg(P) = 0,deg(Q) = 1⇒P(X) inversible.

iii. Montrer que le polynˆome ¯2X+ 1 est inversible dans (Z/4Z)[X].

(¯2X+1)²= ¯2²X²+2¯2X+1 = ¯4X²+¯4X+1 = 0X²+0X+1 = 1.

iv. Donner une liste de tous les polynˆomes inversibles de la forme

¯

aX+ ¯bdans l’anneau (Z/2Z)[X].

Z/2Z est un corps car 2 premier donc le mˆeme argument qu’on a appliqu´e pourCci-dessus est valable et on a : P(X)∈(Z/2Z)[X] inversible⇔deg(P) = 0

⇒P(X) = ¯1.

2. SoitP ∈R[X]. Vrai ou faux,

(a) P est irr´eductible si et seulement siP est irreductible dansC[X].

Faux : P(X) =X²+ 1 irreductible dans R[X] car deg(P)<4 etP n’a pas de racines dansR. MaisP(X) se factorise P(X) = (X+i)(X−i)∈C[X].

(3)

(b) P est irr´eductible si et seulement siP n’a pas de racine dans R. Faux : P(X) = (X²+ 1)² n’a pas de racines dansR. mais n’est pas irreductible.

Justifier vos r´eponses.

3. On rappelle que deux ´el´ements x, yd’un anneau commutatifA sont premiers entre eux ssi les seuls diviseurs communs sont les inversibles deA.

(a) Montrer que X, X−1, X+ 1 sont deux `a deux premiers entre eux dans l’anneauC[X].

Il y a diverses facons `a r´epondre par exemple :

Sid|X, d|X−1⇒d|(X−(X−1)) = 1⇒d|1⇒dest inversible . . .

(b) Montrer que C[X]/(X)'C[X]/(X+ 1)'C[X]/(X−1).

Soitα∈Calors

evα:C[X]→C, P(X)7→P(α)

est un morphisme surjectif d’anneau dont le noyau est l’id´eal (X−α) d’o`u :

C[X]/(X−α) =C[X]/ker ev_α'Imev =C.

(c) Montrer que :

i. C[X]/(X)6'R[X]/(X+ 1).

On a

C[X]/(X)'C,R[X]/(X+ 1)'R.

Il suffit de montrer queC6'R: On supposeφ:C→R un isomorphisme :

−1 =−φ(1) =φ(−1) =φ(i²) =φ(i)²>0.

Contradiction.

ii. C[X]/(X²+ 1)6'R[X]/(X²+ 1).

(4)

• X²+ 1 est irreductible surRcar 1≤deg<4 et n’a pas de racine dansRdoncR[X]/(X²+ 1) est un corps

⇒int`egre.

• (X²+ 1) = (X+i)(X−i)∈C[X] doncC[X]/(X²+ 1) n’est pas int`egre car

(X+i)×(X−i) =X²+ 1 = 0∈C[X]/(X²+ 1)

Exercice 2

1. (a) Donner tous les ´el´ements inversibles de l’anneauZ/15Z. Par Bezout ¯m inversible dansZ/nZ⇔m∧n= 1

⇒¯1,¯2,¯4,¯7,¯8,11,¯ 13,¯ 14 sont les inversibles.¯

(b) Pour chaque ´el´ementx∈Z/15Z^∗ calculer son inverse.

• ¯1⁻¹= ¯1,14¯⁻¹= ¯−1⁻¹= ¯14

• ¯2⁻¹= ¯8,¯7⁻¹= ¯−8⁻¹= ¯−2 = ¯13

• ¯4⁻¹= ¯4,11¯⁻¹= ¯−4⁻¹= ¯−4 = ¯11,

(c) Montrer que si x 6∈ Z/15Z^∗ alors x est un diviseur de zero dans l’anneauZ/15Z.

On a toujours ¯0×¯1 = 0 reste `a traiter 3,5,6,9,10 :

• ¯3×¯5 = ¯15 = 0

• ¯6×¯5 = 2(¯3×¯5) = 0

• ¯9×¯5 = 3(¯3×¯5) = 0

• ¯3×10 = 2(¯¯ 3×¯5) = 0

2. (a) Montrer que les inversibles de l’anneau Z/15Z forment un groupe commutatif (Z/15Z^∗,×).

i. (×) est associatif, commutatif car Zest un anneau commutatif etx7→x¯morphisme d’anneau.

ii. ´elt neutre ¯1∈Z/15Z^∗.

iii. stable par multiplication (xy)⁻¹=x⁻¹y⁻¹. iv. stable par inversion (x⁻¹)⁻¹=x.

(5)

(b) Pour chaque ´el´ement de (Z/15Z^∗,×) calculer son ordre.

• o(¯1) = 1,o( ¯14) = 2

• o(¯4) =o(−4) =o( ¯11) = 2

• o(¯2) =o(−2) =o( ¯13) =o( ¯11) =o(¯8) =o(−8) =o(¯7) = 4

(c) Le groupe (Z/15Z^∗,×) est-il cyclique ?

Non ordre maximal dex∈Z/15Z^∗= 4<8 =|Z/15Z^∗| (d) Trouver tous les sous groupes de (Z/15Z^∗,×).

Indication : Ce groupe poss`ede exactement 8 sous groupes.

Le groupe est d’ordre 8 d’apr`es Lagrange siH un sous groupe

|H| ∈ {1,2,4,8}. Il y a 6 sous groupes cyclique qui sont facile `a

´

enumerer i. h¯1i= ¯1 ii. h¯2i= ¯2,¯4,¯8,¯1 iii. h¯4i= ¯4,¯1 iv. h¯7i= ¯7,¯4,13,¯ ¯1

v. h11i¯ = ¯11,¯1 vi. h14i¯ = ¯14,¯1 vii.

4×11 = 44 = 2×15 + 14 ⇒ 14 = ¯¯ 4×11¯

⇒ 14h¯ ¯4i × h11i¯

⇒ h¯4i × h11i¯ = ¯1,¯4,11,¯ 14¯ Le groupe est isomorphe `a Z/2Z×Z/4Z:

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Subgroup_

structure_of_direct_product_of_Z4_and_Z2

Exercice 3

1. Décomposer en produit de cycles à supports deux à deux disjoints les permutations deS10suivantes.

σx=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 4 8 10 2 9 6 1 7 3

(6)

σy=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 5 4 6 8 7 9 1 10 3

σz=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 8 4 1 9 5 6 7 10 2

σx = (1,5,2,4,10,3,8),(6,9,7) σy = (1,2,5,8),(3,4,6,7,9,10) σ_z = (1,3,4),(2,8,7,6,5,9,10)

Donner les ordres deσx, σy, σz.

o(σ_x) =o(σ_z) =ppcm(3,7) = 21, o(σ_y) =ppcm(4,6) = 12

2. (a) Montrer que si deux permutations sont `a supports disjoints, alors elles commutent.

On a fait dans le cours : on commence par rappeller que supp(σ) :={x, σ(x)6=x},

et

x∈supp(σ)⇒σ(x)∈supp(σ) car sinon :

σ(σ(x)) =σ(x)⇒σ(x) =σ⁻¹◦σ(σ(x)) =σ⁻¹◦σ(x) =x.

Soitσ1, σ2∈Sn. Par hypothese :

{1, . . . n}= supp(σ1)tsupp(σ2)tX o`u X:={x,=σ1(x) =σ2(x) =x}.

Soity∈ {1, . . . n}. On a 3 cas `a traiter:

i. y∈supp(σ1)⇒σ1◦σ2(y) =σ1(y) =σ2◦σ1(y) carσ1(y)∈supp(σ1).

ii. De mˆemey∈supp(σ2)⇒σ2◦σ1(y) =σ2(y) =σ1◦σ2(y) iii. y∈X, y=σ₁◦σ₂(y) =σ₂◦σ₁(y)

(7)

(b) Montrer qu’il y a une permutation d’ordre 3 qui commute avecσx. o(σ_x) = 21 et il suffit de prendreσ_x⁷= ( 6 9 7 ).

3. On rappelle que deux éléments σ1, σ2 ∈ Sn sont conjugués ssi il existe τ∈Sn tel queσ2=τ◦σ1◦τ⁻¹.

Montrer que deux cycles σ₁, σ₂ ∈S_n sont conjugu´es si et seulement s’ils ont mˆeme longueur. Comment obtenir dans ce cas τ ∈S_n tel queσ₂ = τ◦σ₁◦τ⁻¹ ?

La condition est necessaire car la longueur d’un cycle est ´egale `a son ordre dans le groupe de permutations car

σ₂^k = (τ◦σ₁◦τ⁻¹)^k=τ◦σ₁^k◦τ⁻¹ doncσ₂^k est trivial si et seulement siσ₁^k est trivial.

La condition est suffisante car si (x₁, x₂. . . x_k) (y₁, y₂. . . y_k) sont deux cycles de longueurk on d´efinit une application:

τ(z) =

yi z=xi

z z6∈ {x1, . . . xk} L’application est :

• bien d´efinie car lesxi sont distincts

• injective car lesyi sont distincts On a :

(y1, y2. . . yk) = (τ(x1), . . . τ(xk) ) =τ◦(x1, . . . xk)◦τ⁻¹.

4. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que deux permutations σ₁, σ₂ ∈S_n soient conjugu´ees, et expliquer comment obtenir dans ce cas τ∈S_n tel que

σ2=τ◦σ1◦τ⁻¹.

σ₁, σ₂ d´ecompose de la mˆeme facon en cycles disjoints.

. . .

5. Trouverτ ∈S₁₀ tel queτ◦σ_x◦τ⁻¹=σ_z.

(8)

τ n’est pas unique : τ=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 7 9 6 8 1 4 10 3 5

On verifie queτ(6) = 1, τ(9) = 3, τ(7) = 4. . .