Guillaume et Vivien September 30, 2017
1 Fractales et chaos dans la ville
Les villes se d´ eveloppent selon deux grands types de m´ ecanismes, soit elles suivent un sch´ ema planifi´ e souvent organis´ e autour de formes g´ eom´ etriques comme la grille ou les cercles concentriques (Figure 1), soit elle croissent de mani` ere organique sous les contraintes g´ eologiques (montagnes, fleuves) 1 et des forces d’attraction g´ en´ er´ ees par les march´ es ou les lieux d’´ echanges, les grandes voies de transport, les gares etc. (Figure 2).
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Figure 1: Plan de Palmanova (pr` es de Udine, https://en.wikipedia.org/wiki/
Palmanova) au XVIIe si` ece.
Figure 2: Plan de Cesky Krumlov au Moyen- ˆ Age, R´ epublique Tch` eque.
Dans son livre Fractal Cities 2 Michael Batty explique que pour autant, jusqu’au d´ ebut des ann´ ees 80, seule la conception g´ eom´ etrique et planifi´ ee de la croissance des villes a pr´ evalu, occultant tout un pan de la r´ ealit´ e pourtant connu par les ´ economistes et les soci- ologues. Entre les deux grands m´ ecanismes, la formation des villes r´ esulte de l’interaction entre une volont´ e de planification ` a l’´ echelle du centre ville et la somme d’une multi- tude de d´ ecisions individuelles locales corr´ el´ ees. Les concepts classiques d’esth´ etique et de g´ eom´ etrie euclidienne qui jouent un rˆ ole central dans l’´ etude du d´ eveloppement des villes sont peu adapt´ es ` a la description des structures ´ emergeant de ces interactions, et nous aveuglent ` a une partie des ph´ enom` enes en jeu. En revanche, Michael Batty pro- pose de profiter de l’´ emergence des sciences du chaos et de la complexit´ e, ainsi que de la g´ eom´ etrie fractale qui fournit un langage dans lequel d´ ecrire les processus complexes et chaotiques et des outils pour les visualiser.
L’objectif de ce projet sera de se familiariser avec les concepts fondamentaux li´ es
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a la g´ eom´ etrie fractale, puis d’´ etudier des mod` eles de croissance de ville utilisant des objets fractals. Il incluera une partie cons´ equente de programmation informatique.
Figure 3: Gauche: R´ eseaux de transports en communs des villes de Paris et Stuttgart.
Droite: r´ eseau fractal ` a croissance dendritique.
2 Le Blob (Physarum polycephalum), champion de l’optimisation spa- tiale
Le Blob est un ˆ etre ´ etrange, entre animal, v´ eg´ etal, champignon. Unicellulaire, c’est surtout une sorte de moisissure qui prosp` ere dans les sous-bois sur les vieux troncs et les feuilles tomb´ ees au sol. On ne compte plus ses prouesses, qui vont de la survie en milieu hostile (eau, feu) ` a la cicatrisation en l’espace de quelques minutes, et mˆ eme jusqu’` a la duplication en cas de d´ ecoupage. Il se r´ eg´ en` ere ` a intervalles r´ eguliers, en s´ echant pour quelques jours avant de repren- dre vie comme si le temps n’avait pas de prise sur lui. Regardez cette vid´ eo pour vous faire une id´ ee: http://www.lemonde.fr/biologie/video/2017/06/21/
visqueux-rampant-et-presque-immortel-pourquoi-le-blob-fascine-les-scientifiques_
5148518_1650740.html?xtmc=blob&xtcr=5.
La talent bien particulier qui va nous int´ eresser ici est la capacit´ e du blob ` a se d´ eplacer de mani` ere tr` es efficace pour r´ ecolter de la nourriture. Le blob s’´ etend pour couvrir une surface maximale, puis se concentre et fond pour ne garder que les axes les plus utiles pour faire circuler la nourriture dans son corps. Des chercheurs japonais on ´ etudi´ e plus pr´ ecis´ ement ce mode de d´ eplacement et ont conclu qu’il constituait une m´ ethode d’optimisation spatiale tr` es performante, et proche d’autres structures de r´ eseaux opti- mis´ es comme le m´ etro de Tokyo 3 . Ils pr´ esentent un mod` ele math´ ematique de formation de r´ eseau inspir´ e de la biologie du blob que l’on ´ etudiera et que l’on cherchera ` a simuler 4 . Le principe de ce mod` ele est que partant d’un espace couvert de blob, des canaux se forment qui ont tendance ` a croˆıtre ou ` a d´ ecroˆıtre selon leur utilit´ e pour transporter la nourriture. Le syst` eme ´ evolue et lorsqu’il s’arrˆ ete, il atteint une structure presque opti- male du point de vue de l’´ energie d´ epens´ ee et de la robustesse ` a des modifications suites
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a des dommages caus´ es au blob.
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Tero, A., Kobayashi, R., & Nakagaki, T. (2006). Physarum solver: A biologically inspired method of road-network navigation. Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications, 363(1), 115–119.
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Tero, A., Takagi, S., Saigusa, T., Ito, K., Bebber, D. P., Fricker, M. D., Nakagaki, T. (2010). Rules
for biologically inspired adaptive network design. Science, 327(5964), 439–442.
3 How the crocodile got its stripes (and teeth)! Formation de motifs sur des supports dilatants
Le sujet de l’ann´ ee derni` ere, intitul´ e How the leopard got its spots !, examinait la for- mation des motifs sur le pelage des animaux, dont le l´ eopard et ses tˆ aches bien par- ticuli` eres. Le point de d´ epart ` a la recherche dans ce domaine ´ etait un article original d’Alan Turing 5 , un scientifique passionnant qui est entre autres consid´ er´ e comme le p` ere de l’informatique et des ordinateurs. Traitant d’un sujet qui paraˆıt bien ´ etranger au domaine qui fit sa renomm´ ee scientifique, son article cherche ` a d´ ecrire la formation de taches sur les animaux. L’explication qu’il propose fait intervenir l’organisation des cel- lules au sein du corps de l’animal, le processus de diffusion des diverses mol´ ecules qu’elles produisent et leur interaction, cet ` a dire les r´ eactions chimiques qui se produisent lorsque les mol´ ecules se rencontrent. Turing parvient ` a montrer que son explication peut g´ en´ erer des motifs qui rappellent fort les taches d’une vache Holstein. Turing conclue son article en admettant avoir extr` emement simplifi´ e le probl` eme et ajoute qu’une description plus fid` ele des processus biologiques restera vraisemblablement hors de port´ ee de l’analyse math´ ematique. Il remarque par contre que les simulations num´ eriques sont l’outil parfait pour ´ etudier ces syst` emes, et nous allons le prendre au mot.
Le sujet How the crocodile got its stripes (and teeth)! Formation de motifs sur des sup- ports dilatants vient prendre la suite du sujet sur la formation des motifs sur les pelages des animaux. Pour r´ esumer, l’apport principal du mod` ele de Turing est d’expliquer comment des h´ et´ erog´ en´ eit´ es peuvent s’´ etablir dans un syst` eme o` u a lieu une diffusion.
Cela peut expliquer un grand nombre de ph´ enom` enes, allant du pelage des l´ eopards ` a la forme d’algues marines en passant par les motifs des ailes de certains papillons. Une cons´ equence particuli` erement profonde de ces travaux est que la structure exacte des motifs n’est pas ´ ecrite dans le code g´ en´ etique, ce qui demanderait d’y stocker beaucoup d’informations, mais se d´ eveloppe de mani` ere al´ eatoire selon la temp´ erature initiale et d’autres param` etres pour former un pelage distinctif mais unique (comme les em- preintes digitales). Or il existe des situations o` u une difficult´ e suppl´ ementaire s’ajoute au m´ ecanisme de formation des structures. Par exemple, on sait que le nombre de rayures d’alligators du Mississipi d´ epend de la temp´ erature ` a laquelle l’embryon se d´ eveloppe, et ceci pour des diff´ erences de temp´ eratures trop faibles pour que l’on puisse puisse l’expliquer simplement par des vitesses de diffusion ou de r´ eaction modifi´ ee. En re- vanche, la taille de l’embryon d´ epend elle de mani` ere tr` es sensible de la temp´ erature, et on peut faire l’hypoth` ese que c’est le d´ eveloppement de l’embryon qui conditionne le nombre de rayures. On s’int´ eresse particuli` erement aux alligators parce qu’ils offrent des possibilit´ es d’´ etude tr` es int´ eressantes: on peut enlever la coquille de l’oeuf sans percer la peau et regarder l’embryon se d´ evelopper, pour suivre au cours du temps la formation des motifs (Figure 4). Deux objets d’´ etude sont possibles chez ces alligators:
on peut examiner le processus de formation de leurs rayures, ou bien le processus de
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