1, 2, 3. . . Sciences
Ann´ ee acad´ emique 2017-2018
Math´ ematiques g´ en´ erales : partim B’
R´ ep´ etition 1*
Physique
Version 9 mars 2018
R´ ep´ etition 1* : Compl´ ements sur les ´ equations diff´ erentielles (1)
Exercices ` a r´ esoudre PENDANT la r´ ep´ etition (et ` a achever ` a domicile si n´ ecessaire)
Lors de la r´ep´etition, les exercices II.(b), III.(d) et IV.(d) seront r´esolus par l’assistant.
I. Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants
R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes en pr´ecisant l’intervalle sur lequel on travaille (f est une fonction de la variable r´eellex).
(a)D3f(x)−12Df(x) + 16f(x) = 32x−8 (b)D3f(x) + 2D2f(x)−Df(x)−2f(x) =ex+x2 (c)D2f(x)−2Df(x) + 3f(x) = sin(x) (d)D3f(x) +Df(x) =π
II. Equations d’Euler
R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes sur ]0,+∞[ (f et y sont des fonctions de la variable r´eelle x).
(a) x2D2f(x) +xDf(x) +f(x) = 1 (b) x2D2f(x)−xDf(x) +f(x) =x
(c) x3D2y(x)−x2Dy(x)−3xy(x) + 16 ln(x) = 0
III. Equations diff´erentielles `a second membre lin´eaire
R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes en pr´ecisant le domaine sur lequel on travaille (f ety sont des fonctions de la variable r´eelle x).
(a) 1 +x2
Dy(x)−2xy(x) = 1 +x22
(d)x3Df(x) + 2−3x2
f(x) =x3, f(1) =1 2 (b)Df(x) + 2xf(x) = 2xe−x2 (e) xDy(x) + 1 = 1
ln(x)y(x), y(e) = 1 (c)xDy(x) +y(x) =−x3 (f) Df(x) = sin(x)−cotg(x)f(x), fπ
2
=π 4 IV. Equations exactes
R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes en pr´ecisant, si possible, l’intervalle sur lequel on travaille (f etusont des fonctions de la variable r´eelle x).
(a)xDf(x) +f(x) +x3= 0 (d)Df(x) =−f(x) cos(xf(x)) + 2x xcos(xf(x)) (b) ln(x)Du(x) +u(x)
x = 3
xln2(x) (e)x2Df(x) + 4f(x)Df(x) + 2xf(x)−1 = 0 (c)Du(x) =−3x2u(x)−u3(x)
x3−3xu2(x)
2
