Une étude du comportement des noyaux de groupes discrets

Thesis

Reference

Une étude du comportement des noyaux de groupes discrets

JAUDON, Ghislain

Abstract

Cette thèse traite de noyaux (fonction de deux variables à valeur réelles) sur les groupes discrets de type fini. Différentes formes faibles de moyennabilité y sont étudiées, dont notamment la propriété A, la proprieté de Haagerup et l'uniforme plongeabilité dans un espace de Hilbert. Parmi les résultats principaux de cette thèse, l'auteur donne des formules explicites pour ces noyaux dans de nombreuses situations dont les extensions de groupes et les groupes agissant convenablement sur un espace métrique ayant la propriété A. Par ailleurs, en utilisant la notion de noyau de type positif, l'auteur relie les notions de compression hilbertienne et de rotondité généralisée via une inégalité lui permettant d'obtenir les premiers exemples de calculs explicites de rotondité généralisée, à savoir celle des groupes libres et des groupes abéliens libres.

JAUDON, Ghislain. Une étude du comportement des noyaux de groupes discrets. Thèse de doctorat : Univ. Genève, 2010, no. Sc. 4169

URN : urn:nbn:ch:unige-54961

DOI : 10.13097/archive-ouverte/unige:5496

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:5496

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Universit´e de Gen`eve Facult´e des sciences Section de Math´ematiques Professeure G. ARJANTSEVA (Directrice) Docteur P-A. CHERIX (Co-Directeur)

Une ´ etude du comportement des noyaux de groupes discrets

Th`ese

pr´esent´ee `a la Facult´e des sciences de l’Universit´e de Gen`eve pour l’obtention du grade Docteur `es sciences, mention math´ematiques

par

Ghislain JAUDON

Th`ese N˚4169

R´ esum´ e

Comme son titre l’indique, les objets math´ematiques centraux dans cette th`ese sont des fonctions de deux variables (`a valeurs r´eelles), appel´ees “noyaux”, qui sont d´efinies sur des groupes discrets de type fini. `A travers le comporte- ment de ces noyaux sur les groupes (et plus g´en´eralement sur des espaces m´etriques discrets), diff´erentes propri´et´es analytiques des groupes, comme la propri´et´e A, la propri´et´e de Haagerup et l’uniforme plongeabilit´e dans un es- pace de Hilbert peuvent ˆetre caract´eris´ees en termes d’une “approximation de l’unit´e” par certains noyaux de “type positif”. Parmi les r´esultats principaux de cette th`ese, l’auteur donne des formules explicites pour ces noyaux dans de nombreuses situations g´en´erales, comme les extensions de groupes ayant la propri´et´e A, les groupes ayant une dimension symptotique finie, les groupes ayant une compression hilbertienne> ¹₂, anisi que les groupes agissant “conve- nablement” sur un espace m´etrique ayant la propri´et´e A.

Par ailleurs, la notion de noyau de type positif, permet de relier deux quantit´es g´eom´etriques se situant dans le cadre de l’uniforme plongeabilit´e : la “compression hilbertienne ´equivariante” et la “rotondit´e g´en´eralis´ee”. Plus pr´ecis´ement, l’auteur obtient une in´egalit´e affirmant que la rotondit´e g´en´eralis´ee d’un groupe discret ne peut exc´eder le double de sa compression hilbertienne

´equivariante. Cette in´egalit´e, faisant intervenir deux quantit´es tr`es difficiles `a calculer, permet n´eanmoins d’obtenir les premiers exemples de calculs expli- cites de rotondit´e g´en´eralis´ee, `a savoir celle des groupes libres et des groupes ab´eliens libres qui s’av`ere ˆetre ´egale `a 1.

iii

A mes parents.

v

Table des mati` eres

Introduction xi

0.1 R´etrospective et motivations . . . xi

0.2 Structure du texte . . . xiii

1 G´en´eralit´es sur les noyaux 1 1.1 Types de noyaux . . . 1

1.2 Constructions GNS . . . 3

2 Noyaux invariants sur les groupes 5 2.1 Moyennabilit´e . . . 5

2.2 Propri´et´e de Haagerup . . . 6

2.3 Propri´et´e (T) de Kazhdan relative . . . 7

3 G´eom´etrie grossi`ere `a travers les noyaux 9 3.1 Propri´et´e A de Yu et plongeabilit´e uniforme . . . 9

3.2 Compression hilbertienne et rotondit´e . . . 11

4 Probl`emes ouverts et perspectives 15 5 Principaux r´esultats 21 A Notes on relative Kazhdan’s property (T) 27 A.0 Introduction . . . 27

A.0.1 Notations . . . 28

A.0.2 Definitions . . . 28

A.1 Equivalent characterizations . . . 29

A.1.1 Kazhdan’s constants and Fell’s topology . . . 29

A.1.2 Functions of positive type and conditionally of negative type . . . 31

A.1.3 Cohomology and Serre’s property (F H) . . . 33

A.1.4 Amenable representations . . . 36

A.1.5 Relative property (T) forC^∗-algebras . . . 38

A.2 General results about relative property (T) . . . 39

A.2.1 Criterions and non-obvious examples . . . 40

A.2.2 Properties and stability results . . . 44

A.3 Relative property (T) from a dynamical viewpoint . . . 49 vii

A.3.1 Strong ergodicity . . . 49

A.3.2 Uniqueness of invariant means . . . 51

A.3.3 Actions on arbitrary measured spaces and spaces with walls . . . 52

A.3.4 Relative properties (T_L^p) and (F_L^p) . . . 54

A.4 Property (T R) . . . 55

A.4.1 A strong negation for the Haagerup property . . . 55

A.4.2 Property (T R) in Lie groups and algebraic groups . . . . 56

A.4.3 Wreath products . . . 58

A.4.4 Small cancellation property . . . 58

B Strong ergodicity, invariant measures and relative Kazhdan’s property (T) 61 B.0 Introduction . . . 61

B.0.1 Prerequisites . . . 61

B.0.2 Statement of the main results . . . 62

B.1 Strong ergodicity . . . 63

B.1.1 preliminaries . . . 63

B.1.2 Proof of theorem 0.2.1 . . . 63

B.2 Uniqueness of invariant means . . . 66

B.2.1 preliminaries . . . 66

B.2.2 Proof of theorem 0.2.4 . . . 69

C On Ozawa kernels 71 C.1 Introduction . . . 71

C.2 Property A and Ozawa kernels . . . 72

C.3 Group extensions . . . 75

C.4 Direct limits . . . 78

C.5 Wreath products . . . 80

C.6 Metric spaces with finite asymptotic dimension . . . 82

C.7 Metric spaces with Hilbert space compression>1/2 . . . 84

C.8 Groups acting on metric spaces . . . 89

C.9 Applications . . . 96

C.9.1 Semi-direct products of free groups . . . 96

C.9.2 Free group of infinite rank . . . 97

C.9.3 The wreath product ZoF₂ . . . 97

C.9.4 Hyperbolic groups . . . 98

C.9.5 CAT(0) cubical groups . . . 99

C.9.6 Baumslag-Solitar groups . . . 99

D Some remarks on generalized roundness 101 D.1 Introduction . . . 101

D.2 Preliminaries . . . 101

D.3 Negative type inequalities in CAT(0) cube complexes . . . 103

Remerciements

Je tiens tout d’abord `a remercier ma directrice, Goulnara Arzhantseva.

Outre le fait de m’avoir offert l’opportunit´e de d´evelopper cette th`ese, je la remercie surtout d’avoir su me conseiller et me guider durant mes recherches.

Son soutien constant m’a permis de conduire ce travail `a son terme.

J’adresse `a mon co-directeur, Pierre-Alain Cherix, toute ma gratitude pour sa sympathie, sa grande patience, ainsi que pour le temps qu’il m’a consacr´e lors de nombreuses discussions. Tout au long de cette th`ese, son aide et son soutien m’ont ´et´e tr`es pr´ecieux.

J’ai beaucoup de reconnaissance `a l’´egard de Bachir Bekka et Alain Valette qui m’ont fait l’immense honneur d’accepter de faire partie de mon jury. Je les remercie en outre pour les entretiens qu’ils m’ont accord´e lorsque je les ai rencontr´es par le pass´e, ainsi que pour leurs g´en´ereux commentaires avis´es durant la lecture de ce texte.

Je remercie Pierre de la Harpe pour le temps qu’il a pu m’accorder `a l’oc- casion de nombreusex ´echanges.

Je n’oublie pas mes coll`egues et amis de la Section de Math´ematiques, sans les encouragements desquels cette th`ese n’aurait probablement jamais pu aboutir. Je tiens `a remercier tout particuli`erement Benoˆıt Dehrin, Luc Guyot, Fr´ed´eric Mouton, Hugo Parlier, Wolfgang Pitsch et Julio Rodriguez pour de nombreux et tr`es stimulants ´echanges. Je rends hommage `a Martin Anderegg et Eugenio Rodriguez pour leur soutien ind´efectible ainsi que leurs nombreux conseils durant la derni`ere phase de ce travail.

Je remercie enfin la formidable Manuela pour son inestimable soutien, et pour avoir su me supporter durant la r´edaction de cette th`ese.

ix

Introduction

0.1 R´ etrospective et motivations

A l’origine mes recherches portaient sur la propri´et´e (T) de Kazhdan pour` les paires. Heuristiquement, le monde de la propri´et´e (T) est une sorte d’“oppo- s´e” de celui de la moyennabilit´e, et il est donc naturel de penser que des g´en´era- lisations de la moyennabilit´e soient ´egalement “oppos´ees” `a des g´en´eralisations de la propri´et´e (T), comme la propri´et´e (T) des paires. C’est pour cela que je m’int´eresse par la suite `a diff´erentes formes faibles de moyennabilit´e comme, entre autres, la propri´et´e de Haagerup, la propri´et´e A de Guoliang Yu, et la plongeabilit´e uniforme dans un espace de Hilbert. Bien que ces propri´et´es ad- mettent des formulations tr`es similaires, les liens que l’on peut soup¸conner entre elles sont m´econnus. N´eanmoins, il est frappant de constater que pour beaucoup de r´esultats concernant ces propri´et´es, notamment leurs diverses ca- ract´erisations, les techniques sont souvent analogues. Mais ces similarit´es ont des limites, par exemple au niveau du comportement de ces propri´et´es par passage aux extensions de groupes. Alors que la propri´et´e A est stable par extensions, d’une part il est bien connu que mˆeme une extension scind´ee de groupes ayant la propri´et´e de Haagerup n’a pas cette propri´et´e en g´en´eral, et d’autre part on ne sait rien en toute g´en´eralit´e dans le cas de la plongea- bilit´e uniforme. Un des points de d´epart de mon travail sur ces propri´et´es est la recherche d’une condition suffisante, portant sur les automorphismes, garantissant la stabilit´e de la propri´et´e de Haagerup par passage au produit semi-direct, et plus particuli`erement dans le cas de produits semi-directs de groupes libres. Dans le cadre de cette approche, il est n´ecessaire d’obtenir une nouvelle preuve, plus ad´equate, de la stabilit´e par extension de la propri´et´e A, `a savoir une preuve faisant intervenir des noyaux de type positif appel´es noyaux d’Ozawa. Dans un deuxi`eme temps, les groupes libres ayant `a la fois la pro- pri´et´e de Haagerup et la propri´et´e A, il est raisonnable d’utiliser des formules explicites pour les noyaux d’Ozawa de produits semi-directs de tels groupes afin d’en extraire dans certains cas une approximation (uniforme sur les com- pacts) de l’unit´e par des fonctions de type positif nulles `a l’infini, l’existence d’une telle approximation ´etant l’une des nombreuses d´efinitions ´equivalentes de la propri´et´e de Haagerup.

C’est par ce biais que j’obtiens une nouvelle preuve de la stabilit´e par exten- sions de la propri´et´e A (voir Annexe C.3). Cette d´emonstration est plus rapide

xi

et surtout mieux adapt´ee au contexte dans lequel se situent mes recherches (celle qui existait d´ej`a se pla¸cait dans le cadre des C<sup>∗</sup>-alg`ebres). De plus, cette preuve met en ´evidence une fa¸con d’extraire syst´ematiquement des formules explicites pour les noyaux d’Ozawa d’une extension de groupes donn´ee connais- sant les noyaux d’Ozawa de chacun des groupes. L’obtention de ces noyaux repr´esente alors peut-ˆetre un premier pas vers une condition suffisante garan- tissant la propri´et´e de Haagerup pour certains produits semi-directs de groupes libres. Je cherche alors aussi des expressions explicites de noyaux d’Ozawa pour les groupes de Baumslag-Solitar qui ont eux aussi simultan´ement les propri´et´es A et de Haagerup. Ces groupes ´etant “`a un relateur”, et de tels groupes s’ob- tenant toujours comme sous-groupes de limites directes, d’extensions et de produits amalgam´es de groupes cycliques, le probl`eme principal est de com- prendre le comportement des noyaux d’Ozawa pour des produits amalgam´es, et plus g´en´eralement pour des groupes agissant sur des espaces m´etriques ayant la propri´et´e A. Faute de crit`ere fournissant des exemples non banals d’extensions de groupes ayant la propri´et´e de Haagerup, je parviens n´eanmoins `a expliciter les noyaux d’Ozawa de mani`ere pr´ecise et syst´ematique dans beaucoup de si- tuations g´en´erales. Entres autres, j’obtiens des expressions de noyaux d’Ozawa pour les extensions de groupes (voir Annexe C.3), les groupes ayant une dimen- sion asymptotique finie (voir Annexe C.6), les groupes ayant une compression Hilbertienne>1/2 (voir Annexe C.7), les groupes agissant “convenablement”

sur des espaces m´etriques ayant la propri´et´e A de Yu (voir Annexe C.8), et en cons´equence j’obtiens des expressions de noyaux pour les groupes hyper- boliques, pour les groupes CAT(0) cubiques, ainsi que pour les groupes de Baumslag-Solitar (voir Annexe C.9).

Enfin, mon travail sur les noyaux me conduit `a l’´etude de la notion de roton- dit´e g´en´eralis´ee, plus particuli`erement `a l’´etude de son lien avec les in´egalit´es de type n´egatif et donc `a l’´etude des noyaux sous-jacents. Plus pr´ecis´ement, pour un espace m´etrique, la rotondit´e g´en´eralis´ee d´ecrit la structure g´eom´etrique de ses polygones, et compare leur “finesse” avec ceux des espaces L^p, qui sont des espaces dans lesquels la puissance p-i`eme de la m´etrique est un noyau de type n´egatif. Par ailleurs, la notion de rotondit´e entretient un lien fort avec la notion de compression Hilbertienne ´equivariante, notamment pour certains groupes agissant convenablement sur des complexes cubiques CAT(0). En ce qui concerne cette propri´et´e, je remarque que si un groupeGagit par isom´etries sur un espace m´etrique discret (X, d), la compression Hilbertienne ´equivariante de X est toujours sup´erieure ou ´egale `a la moiti´e de la rotondit´e g´en´eralis´ee de X (voir Annexe D.2). Je montre ´egalement que la rotondit´e g´en´eralis´ee du 0-squelette d’un complexe cubique CAT(0) de dimension finie (muni de la m´etrique induite par son 1-squelette) est toujours sup´erieure ou ´egale `a 1. Ces r´esultats me premettent d’obtenir un des principaux r´esultats de ma th`ese,

`a savoir que la rotondit´e g´en´eralis´ee des groupes libres et ab´eliens libres de rang sup´erieur ou ´egal `a 2 est toujours ´egale `a 1 (voir Annexe D.3). `A ma connaissance ce sont les premiers exemples de groupes (hormis les groupes de Kazhdan) dont on connaˆıt la valeur exacte de la rotondit´e g´en´eralis´ee. En

Introduction xiii

effet, bien que la rotondit´e g´en´eralis´ee des groupes de Kazhdan (infinis) soit connue pour ˆetre toujours nulle, la rotondit´e g´en´eralis´ee d’un groupe en g´en´eral demeure une quantit´e tr`es difficile `a calculer.

0.2 Structure du texte

Toutes les d´efinitions et bases th´eoriques se trouvent dans les chapitres 1, 2 et 3. Le chapitre 1 pr´esente quelques d´efinitions et propri´et´es fondamentales des types de noyaux consid´er´es tout au long de ce texte. Le chapitre 2 traite des noyaux invariants et permet de d´efinir la notion de moyennabilit´e ainsi que la propri´et´e de Haagerup et la propri´et´e (T) de Kazhdan du point de vue des noyaux invariants sur les groupes. Le chapitre 3 concerne la propri´et´e A, la plongeabilit´e uniforme dans un espace de Hilbert ainsi que les notions de compresssion Hilbertienne et de rotondit´e g´en´eralis´ee.

Le chapitre 4 contient quelques questions ouvertes et quelques perspectives li´ees au travail expos´e dans cette th`ese.

Les r´esultats principaux de cette th`ese sont regroup´es dans le chapitre 5.

En ce qui concerne les annexes, l’annexe A regroupe des notes personnelles concernant la propri´et´e (T) pour les paires. Ces notes r´ecapitulent les diverses caract´erisations ´equivalentes de la propri´et´e (T) relative. Bien que non exhaus- tives, elles rassemblent n´eanmoins de nombreux r´esultats et exemples connus.

L’annexe B est une pr´epublication qui contient les preuves d´etaill´ees de deux caract´erisations de la propri´et´e (T) relative qui ´etaient admises mais restaient sans preuves ´ecrites dans la litt´erature. L’annexe C traite de la propri´et´e A du point de vue des noyaux d’Ozawa qui y sont explicit´es en d´etails. C’est une version ´etendue de mon article publi´e dans Journal of Functional Analysis.

Enfin, l’annexe D concerne la rotondit´e g´en´eralis´ee et son lien avec la com- pression Hilbertienne ´equivariante. Cette annexe est la version finale de mon article publi´e dans Geometriae Dedicata.

Chapitre 1

G´ en´ eralit´ es sur les noyaux

Ce chapitre regroupe quelques d´efinitions et r´esultats fondamentaux concer- nant les noyaux, leurs “types”, ainsi que les liens ´etroits qu’ils entretiennent avec les espaces de Hilbert. Tous les groupes seront suppos´es discrets d´enom- brables.

1.1 Types de noyaux

D´efinition 1.1.1. Soit X un ensemble. Une fonction ψ : X ×X → R est appel´ee noyau sur X.

(i) On dit que ψ est un noyau de type positif siψ(x, y) = ψ(y, x) pour tout x, y ∈X, et si pour tout entier n ≥1, pour tout x₁, . . . , x_n ∈X et pour tout λ1, . . . , λn ∈R, l’in´egalit´e suivante a lieu :

X

1≤i,j≤n

λ_iλ_jψ(x_i, x_j)≥0.

(ii) On dit que ψ est un noyau (conditionnellement) de type n´egatif si ψ(x, x) = 0 pour tout x ∈ X, si ψ(x, y) = ψ(y, x) pour tout x, y ∈ X, et si pour tout entier n ≥ 1, pour tout x₁, . . . , x_n ∈ X et pour tout λ₁, . . . , λ_n ∈R satisfaisant P_n

i=1λ_i = 0, l’in´egalit´e suivante a lieu : X

1≤i,j≤n

λ_iλ_jψ(x_i, x_j)≤0.

Exemples 1.1.2. Soit X un ensemble, soit H un espace de Hilbert (r´eel), et soit f :X 7→ H une application.

(i) Le noyau ψ :X×X →R d´efini par

ψ(x, y) =hf(x), f(y)i est un noyau de type positif sur X.

1

(ii) Le noyau ψ :X×X →R d´efini par

ψ(x, y) = kf(x)−f(y)k² est un noyau de type n´egatif sur X.

Remarque 1.1.3. Les “constructions GNS” montrent que les exemples pr´ec´e- dents sont en fait compl`etement universels (voir les th´eor`emes 1.2.1 et 1.2.2).

Le th´eor`eme suivant, dˆu `a Schoenberg (voir [Schoen38]), ´etablit un lien entre les deux types de noyaux :

Th´eor`eme 1.1.4. Soit X un ensemble, et soit ψ un noyau sur X tel que ψ(x, x) = 0 et ψ(x, y) =ψ(y, x) pour tout x, y ∈X.

Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) ψ est de type positif ;

(ii) exp(−tψ) est de type n´egatif pour tout t≥0.

D´efinition 1.1.5. Soit Gun groupe agissant sur un ensemble X. Un noyauψ sur X est dit G-invariant si ψ(gx, gy) =ψ(x, y) pour tout g ∈ G et pour tout x, y ∈X.

Remarque 1.1.6. QuandX =Gest un groupe agissant sur lui-mˆeme par trans- lation (`a gauche), toute fonction φ : G 7→ R d´efinit naturellement un noyau G-invariant :

ψ :G×G→R , (g₁, g₂)7→φ(g₁⁻¹g₂)

Inversement, tout noyauG-invariantψsurGpeut s’´ecrireψ(g₁, g₂) =φ(g⁻¹₁ g₂), o`u φ:G→R, g 7→ψ(eG, g).

Exemples 1.1.7. Soit G un groupe et soit H un espace de Hilbert (r´eel).

(i) Si π:G→ O(H) est une repr´esentation orthogonale de G dans H, et si ξ ∈ H, alors le noyau invariant ψ :G×G→R d´efini par

ψ(g₁, g₂) = hπ(g₁⁻¹g₂)ξ, ξi est un noyau de type positif sur G.

(ii) Si α:G→Isom(H) est une action affine isom´etrique de G sur H, et si ξ ∈ H, alors le noyau invariant ψ :G×G→R d´efini par

ψ(g₁, g₂) = kα(g₁⁻¹g₂)ξ−ξk² est un noyau de type n´egatif sur G.

Remarque 1.1.8. Les versions invariantes des constructions GNS montrent que les exemples pr´ec´edents sont aussi universels (voir les th´eor`emes 1.2.4 et 1.2.5).

Chapitre 1 – Noyaux invariants 3

1.2 Constructions GNS

Les constructions suivantes appel´ees GNS pour Gelfand, Naimark et Segal,

´etablissent un lien fort entre les noyaux et les espaces de Hilbert (voir [BHV08]

pour plus de d´etails) :

Th´eor`eme 1.2.1. Si ψ est un noyau de type positif sur un ensembleX, alors il existe un espace de Hilbert (r´eel) H, et une applicationf :X → H telle que ψ(x, y) = hf(x), f(y)i pour tout x, y ∈X.

Th´eor`eme 1.2.2. Si ψ est un noyau de type n´egatif sur un ensemble X, alors il existe un espace de Hilbert (r´eel) H, et une applicationf :X → H telle que ψ(x, y) = kf(x)−f(y)k² pour tout x, y ∈X.

Remarque 1.2.3. Si l’on munit l’ensembleX d’une topologie (elle sera toujours discr`ete dans ce qui suit), l’applicationf peut ˆetre choisie continue, et l’espace H est unique `a isomorphisme isom´etrique pr`es.

Dans le cas des noyaux invariants sur les groupes, les constructions de type GNS se g´en´eralisent pour permettre de faire le lien entre les noyaux invariants, les repr´esentations orthogonales ainsi que les actions affines isom´etriques. Voici donc deux reformulations des th´eor`emes pr´ec´edents pour des noyaux inva- riants :

Th´eor`eme 1.2.4. Si ψ est un noyau invariant de type positif sur un groupe G, alors il existe un espace de Hilbert (r´eel) H, une repr´esentation orthogonale π_ψ :G→ O(H), et un ξ ∈ H, tels que

ψ(g1, g2) =hπψ(g₁⁻¹g2)ξ, ξi=hπψ(g1)ξ, πψ(g2)ξi pour tout g₁, g₂ ∈G.

Th´eor`eme 1.2.5. Si ψ est un noyau invariant de type n´egatif sur un groupe G, alors il existe un espace de Hilbert (r´eel) Het une action affine isom´etrique α :G→Isom(H) de G sur H, tels que

ψ(g₁, g₂) =kα(g⁻¹₁ g₂)(0)k² pour tout g₁, g₂ ∈G.

Si b d´esigne le cocycle associ´e `a α, i.e. si α(g)ξ=π(g)ξ+b(g) et si b(gh) = b(g) +π(g)b(h) , ∀g ∈ G ,∀h ∈ G , ∀ξ ∈ H (π d´esignant la partie lin´eaire de α), on a :

ψ(g₁, g₂) = kb(g₁)−b(g₂)k² pour tout g1, g2 ∈G.

Chapitre 2

Noyaux invariants sur les groupes

Nous avons remarqu´e plus haut que les noyaux invariants sur les groupes sont ´etroitement li´es aux repr´esentations orthogonales ainsi qu’aux actions affines isom´etriques sur des espaces de Hilbert. Ces derniers liens s’av`erent ˆetre `a la base de diverses caract´erisations ´equivalentes de la moyennabilit´e ainsi que des propri´et´es de Haagerup et de Kazhdan que nous pr´esentons ici.

Pour plus d’informations concernant ces propri´et´es, voir l’annexe A ainsi que [BHV08] et [CCJJV01]. Sauf pr´ecision du contraire, dans tout ce qui suit, tout groupeGsera suppos´e discret d´enombrable, souvent de type fini et muni d’une m´etrique propre invariante `a gauche not´ee d.

2.1 Moyennabilit´ e

Une pr´esentation bien plus exhaustive de la moyennabilit´e et de ses diverses caract´erisations se trouve dans [BHV08]. Nous ne retenons ici que quelques- unes d’entre elles qui nous permettent de faire le lien avec toutes les autres propri´et´es consid´er´ees dans ce texte.

La d´efinition suivante, bien que n’´etant pas la d´efinition originelle de la moyennabilit´e, est n´eanmoins probablement la plus usit´ee dans le domaine de la g´eom´etrie des groupes. Cette caract´erisation (due `a E. Folner) est `a rapprocher avec celle de la propri´et´e A de G. Yu (voir la D´efinition 3.1.1) et permet de montrer facilement que tout groupe moyennable a la propri´et´e A (voir C.2.9).

D´efinition 2.1.1. Un groupe G est moyennable si pour tout ε > 0 il existe un sous-ensemble fini F ⊂ G tel que |gF4F| < ε|F| pour tout g ∈ G (|F| d´esignant le cardinal de F).

La moyennabilit´e admet aussi une caract´erisation en termes de repr´esenta- tions orthogonales. Nous aurons besoin tout d’abord de la d´efnition suivante qui est `a la base de cette caract´erisation :

5

D´efinition 2.1.2. Soit G un groupe.

(i) λG d´esigne la repr´esentation r´eguli`ere (`a gauche) de G d´efinie par λ_G :G→ O(l²(G)), g 7→λ_G(g), avec

λG(g)ξ(x) :=ξ(g⁻¹x) pour tout g ∈G et pour tout ξ ∈l²(G).

(ii) On dit que λG contient faiblement la repr´esentation triviale, et on note 1_G ≺λ_G, si pour tout ε >0et tout F ⊂Gfini, il existe un vecteur unit´e ξ ∈l²(G) tel que sup_g∈F kλ_G(g)ξ−ξk ≤ε

La caract´erisation suivante de la moyennabilit´e, dite de “Hulanicki-Reiter”

(voir [BHV08]), est `a rapprocher avec la d´efinition 2.2.1. Elle permet en par- ticulier de montrer que tout groupe moyennable a la propri´et´e de Haagerup (voir [BCV95]).

Th´eor`eme 2.1.3. Un groupeGest moyennable si et seulement si sa repr´esen- tation r´eguli`ere (`a gauche) contient faiblement la repr´esentation triviale. En r´esum´e, les propositions suivantes sont ´equivalentes :

(i) G est moyennable ; (ii) 1G ≺λG.

La construction GNS pour les noyaux invariants (voir th´eor`eme 1.2.4), la remarque 1.2.3 ainsi que l’exemple 1.1.7 appliqu´e au cas π = λ_G, permettent d’obtenir une caract´erisation de la moyennabilit´e en termes de noyaux inva- riants de type positif :

Th´eor`eme 2.1.4. Un groupe G est moyennable si et seulement si pour tout R >0 et pour tout ε >0 il existe un noyau invariant de type positif

ψ :G×G→R et une constante S ≥R tels que :

(1) |1−ψ(g1, g2)|< ε pour tout g1, g2 ∈X tels que d(g1, g2)≤R; (2) ψ(g₁, g₂) = 0 pout tout g₁, g₂ ∈X tels que d(g₁, g₂)> S.

2.2 Propri´ et´ e de Haagerup

La propri´et´e de Haagerup est une g´en´eralisation de la moyennabilit´e. Nous ne pr´esentons ici que quelques ´el´ements th´eoriques concernant cette propri´et´e.

Pour plus d’informations concernant la propri´et´e de Haagerup, nous renvoyons le lecteur `a [CCJJV01].

D´efinition 2.2.1. Un groupe G a la propri´et´e de Haagerup (ou est a-(T)- moyennable, par opposition avec la propri´et´e (T) de Kazhdan, voir section suivante) s’il existe un espace de Hilbert (r´eel) H, et une repr´esentation or- thogonale π:G→ O(H) de G dans H, contenant faiblement la repr´esentaion triviale et dont les coefficients s’annulent `a l’infini sur G, c’est-`a-dire :

Chapitre 2 – Noyaux invariants 7

(i) Pour tout ε > 0 et tout F ⊂G fini, il existe un vecteur unit´e ξ ∈ H tel que sup_g∈F kπ(g)ξ−ξk ≤ε (ce qui se note 1_G≺π) ;

(ii) lim_g→∞hπ(g)ξ, ηi= 0, pour tout ξ, η∈ H.

Exemples 2.2.2. Tout groupe moyennable a la propri´et´e de Haagerup. Les groupes libres ont la propri´et´e de Haagerup. Et parmi les groupes ayant cette propri´et´e il y a aussi tous les groupes agissant proprement isom´etriquement sur un complexe cubique CAT(0). Pour d’autres exemples voir [CCJJV01].

Le th´eor`eme 1.2.4 avec la remarque 1.1.6 permettent d’obtenir une ca- ract´erisation de la propri´et´e de Haagerup en termes de noyaux invariants de type positif (voir [CCJJV01]) :

Th´eor`eme 2.2.3. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) G a la propri´et´e de Haagerup ;

(ii) Pour toutR >0et toutε >0, il existe un noyau invariant de type positif ψ sur G tel que :

(1) |1−ψ(g₁, g₂)|< ε pour tout g₁, g₂ ∈X tels que d(g₁, g₂)≤R; (2) lim_S→∞sup{|ψ(g₁, g₂)|, d(g₁, g₂)≥S}= 0.

D’autre part, le th´eor`eme 1.1.4 ainsi que le th´eor`eme 1.2.5 permettent aussi d’obtenir une caract´erisation de la propri´et´e de Haagerup en termes de noyaux invariants de type n´egatif (voir [CCJJV01]) :

Th´eor`eme 2.2.4. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i) G a la propri´et´e de Haagerup ;

(ii) Il existe un noyau invariant de type n´egatif ψ sur G qui est propre, i.e.

tel que lim_S→∞inf{|ψ(g₁, g₂)|, d(g₁, g₂)≥S}=∞.

2.3 Propri´ et´ e (T) de Kazhdan relative

La propri´et´e (T) de Kazhdan, de mˆeme que sa g´en´eralisation au cas des paires de groupes, repr´esente une obstruction forte `a la propri´et´e de Haagerup (voir Remarque 2.3.5). Pour plus d’informations concernant la propri´et´e (T), nous renvoyons le lecteur `a l’annexe A et `a [BHV08].

D´efinition 2.3.1. Soient G un groupe, H un sous-groupe, H un espace de Hilbert (r´eel), et π : G → O(H) une repr´esentation orthogonale de G dans H. On dit que la paire (G, H) a la propri´et´e (T) (ou que G a la propri´et´e (T) relativement `a H) si toute repr´esentation orthogonale π de G contenant des vecteurs presque invariants contient des vecteurs invariants par H, c’est-

`a-dire :

1_G≺π ⇒1_H ≤π|_H

Exemple 2.3.2. La paire(SL₂(Z)nZ²,Z²)a la propri´et´e (T) (voir [BHV08]).

Le th´eor`eme 1.2.4 avec la remarque 1.1.6 permettent d’obtenir une ca- ract´erisation de la propri´et´e (T) relative en termes de noyaux invariants de type positif (voir [J05]) :

Th´eor`eme 2.3.3. Soient G un groupe, et H un sous-groupe. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

(i) La paire (G, H) a la propri´et´e (T) ;

(ii) Toute suite (ψ_j)_j∈J de noyaux invariants, de type positif convergeant uni- form´ement vers 1 sur les bandes {(g₁, g₂) ∈ G×G / g₁⁻¹g₂ ∈ K} pour tout K ⊂G fini, converge uniform´ement sur la bande

{(g₁, g₂)∈G×G / g₁⁻¹g₂ ∈H}.

Par ailleurs, le th´eor`eme 1.1.4 ainsi que le th´eor`eme 1.2.5 permettent d’ob- tenir une caract´erisation de la propri´et´e (T) relative en termes de noyaux invariants de type n´egatif (voir [J05]) :

Th´eor`eme 2.3.4. Soient G un groupe, et H un sous-groupe. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :

(i) La paire (G, H) a la propri´et´e (T) ;

(ii) Tout noyau invariant de type n´egatif sur G est uniform´ement born´e sur la bande {(g₁, g₂) ∈ G×G , g⁻¹₁ g₂ ∈ H}, i.e. il existe C > 0 tel que ψ(g1, g2)≤C pour tout (g1, g2) tel que g₁⁻¹g2 ∈H.

Remarque 2.3.5. Ces deux derni`eres caract´erisations de la propri´et´e (T) rela- tive, en comparaison aux caract´erisations correspondantes pour la propri´et´e de Haagerup (Th´eor`emes 2.2.3 et 2.2.4) montrent clairement le caract`ere “op- pos´e” de ces deux propri´et´es, notamment en ce qui concerne le comportement des noyaux de type n´egatif. En effet, siGa `a la fois la propri´et´e de Haagerup et la propri´et´e (T) relativement `a un sous-groupe H, il devrait exister un noyau de type n´egatif sur Gqui est propre tout en ´etant uniform´ement born´e sur H, ce qui impose la finitude du sous-groupe H et rend donc triviale la propri´et´e (T) de la paire (G, H).

Chapitre 3

G´ eom´ etrie grossi` ere ` a travers les noyaux

Sauf pr´ecision du contraire, dans tout ce qui suit les groupes G seront suppos´es discrets d´enombrables, souvent de type fini et munis d’une m´etrique propre invariante `a gauche not´ee d.

3.1 Propri´ et´ e A de Yu et plongeabilit´ e uni- forme

La propri´et´e A, ainsi que la plongeabilit´e uniforme dans un espace de Hil- bert, sont aussi, au mˆeme titre que la propri´et´e de Haagerup, des formes faibles de moyennabilit´e. Ces propri´et´es sont respectivement les analogues non-

´equivariants de la moyennabilit´e et de la propri´et´e de Haagerup. La propri´et´e A fut introduite par G. Yu (voir [Yu00]), et ce dernier montra que les groupes de type fini ayant la propri´et´e A sont uniform´ement plongeables dans un es- pace de Hilbert, et il montra surtout que de tels groupes satisfont la conjecture de Baum-Connes grossi`ere ainsi que la conjecture de Novikov (invariance par homotopie des hautes signatures).

La propri´et´e A et la plongeabilit´e uniforme admettent de nombreuses d´efini- tions ´equivalentes. Ici nous nous concentrerons sur les caract´erisations faisant intervenir des noyaux. Commen¸cons tout d’abord par la d´efinition originelle, due `a G. Yu, de la propri´et´e A :

D´efinition 3.1.1. Un espace m´etrique discret (X, d) a la propri´et´e A si pour tout R >0 etε >0il existe une famille d’ensemble finis {A_x}_x∈X dansX×N satisfaisant :

(1) ∀x, y ∈X tels qued(x, y)≤R, on a|A_x4A_y|< ε|A_x∩A_y|(|A|d´esignant le cardinal de A) ;

(2) ∃S > 0 tel que d(x, y)≤S si (x, m)∈A_y.

9

Voici la d´efinition d’une “autre” propri´et´e qui fut introduite par N. Ozawa dans [Oz00], et qui s’av`erera ˆetre ´equivalente `a la pr´ec´edente :

D´efinition 3.1.2. Un espace m´etrique discretX satisfait la propri´et´e d’Ozawa si pour tout R > 0 et pour tout ε > 0 il existe un noyau de type positif ψ :X×X →R et une constante S ≥R tels que :

(1) |1−ψ(x, y)|< ε pour tout x, y ∈X tels que d(x, y)≤R; (2) ψ(x, y) = 0 pout toutx, y ∈X tels que d(x, y)> S.

De tels noyaux ψ sont appel´es noyaux d’Ozawa (ou, plus pr´ecis´ement, (R, ²)- noyaux d’Ozawa).

Remarque 3.1.3. Dans le cas o`u X = G est un groupe discret d´enombrable, cette derni`ere d´efinition n’est autre que la version non-invariante de la ca- ract´erisation de la moyennabilit´e en termes de noyaux (voir 2.1.4).

Pour les espaces discrets `a g´eom´etrie born´ee, et donc en particulier pour tous les groupes discrets d´enombrables, les propri´et´es A de Yu et d’Ozawa sont

´equivalentes (voir [Tu01]), plus pr´ecis´ement :

Th´eor`eme 3.1.4. Soit X un espace m´etrique discret `a g´eom´etrie born´ee. La propri´et´e A et la propri´et´e d’Ozawa sont ´equivalentes. De plus, si X a la pro- pri´et´e A, soient ε > 0, R > 0, S > 0, et {Ax}x∈X comme dans la d´efinition ci-dessus, alors

ψ_X(x, y) := X

z∈X

µP

n∈N

χ

|Ax|

¶_1/2ÃP

n∈N

χ

|Ay|

!_1/2

est un (R,2ε)-noyau d’Ozawa, et son support est contenu dans

{(x, y) ∈ X × X | d(x, y) ≤ 2S} (

χ

Exemples 3.1.5. La classe des groupes discrets satisfaisant la propri´et´e A contient, par exemple, les groupes moyennables, les groupes hyperboliques, les groupes `a un relateur, les groupes de Coxeter, tout sous groupe d’un groupe de Lie connexe, tout groupe agissant proprement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. De plus, la propri´et´e A est stable par extensions, limites directes, produits libres amalgam´es et extensions HNN (voir [Tu01], [CN04], [DG03], [Gu01], [GHW05] et [HR00]). En fait, les seuls exemples de groupes ne satisfaisant pas cette propri´et´e sont dus `a M. Gromov et sont des groupes n’´etant pas non plus uniform´ement plongeables dans un espace de Hilbert. Ces exemples sont bas´es sur la propri´et´e (T) et la notion de graphes extenseurs (voir [Gr03] et [AD08]).

D´efinition 3.1.6. Soient (X, d) un espace m´etrique discret, et soit H un es- pace de Hilbert. Une application f : X → H est un plongement uniforme de X dans H s’il existe des fonctions croissantes ρ_±(f) :R₊ →R₊ telles que :

Chapitre 3 – G´eom´etrie `a travers les noyaux 11

1. ρ₋(f)(d(x, y))≤ kf(x)−f(y)k_H ≤ρ₊(f)(d(x, y)), pour tout x, y ∈X; 2. lim_r→+∞ρ_±(f)(r) = +∞.

On dit queX est uniform´ement plongeable dans un espace de Hilbert s’il existe un tel plongement.

G. Yu a d´emontr´e le r´esultat suivant :

Th´eor`eme 3.1.7. Soit X un espace m´etrique discret ayant la propri´et´e A, alors X est uniform´ement plongeable dans un espace de Hilbert.

Remarque 3.1.8. La r´eciproque du th´eor`eme pr´ec´edent est fausse pour les es- paces m´etriques en g´en´eral, c’est-`a-dire qu’il existe des espaces m´etriques uni- form´ement plongeables n’ayant pas la propri´et´e A (voir [N07]).

Grˆace (de nouveau) `a une construction de type GNS, on peut d´emontrer une caract´erisation de l’uniforme plongeabilit´e en termes de noyaux, et cette derni`ere rend la preuve du r´esultat pr´ec´edent imm´ediate (voir [DG03]) : Th´eor`eme 3.1.9. Soit X un espace m´etrique discret. X est uniform´ement plongeable dans un espace de Hilbert si et seulement si pour tout R > 0 et ε >0, il existe un noyau de type positif ψ tel que :

(i) |1−ψ(x, y)|< ε pour tout x, y ∈X tels que d(x, y)≤R; (ii) lim_S→∞sup{|ψ(x, y)|, d(x, y)≥S}= 0.

Remarque 3.1.10. On peut remarquer que dans le cas o`uX =Gest un groupe discret d´enombrable, cette derni`ere caract´erisation n’est autre que la version non-invariante de la caract´erisation de la propri´et´e de Haagerup en termes de noyaux (voir 2.2.3).

3.2 Compression hilbertienne et rotondit´ e

La notion de compression Hilbertienne fut introduite par Guentner et Ka- minker dans [GK04] et repr´esente un invariant g´eom´etrique important.

D´efinition 3.2.1. Soit X un espace m´etrique discret, la compression Hilber- tienne de X, not´ee R(X), est d´efinie par le sup des 0 ≤ β ≤ 1 pour lesquels il existe un plongement uniforme f de X dans un espace de Hilbert H, tel que ρ₊(f) soit affine, et tel que ρ₋(f)(r) = r^β (pour r assez grand). Quand un groupe G agit par isom´etries sur X et par isom´etries affines sur H, on d´efinit aussi la compression Hilbertienne ´equivariante, not´ee RG(X), qui est d´efinie de la mˆeme fa¸con en consid´erant seulement les plongements uniformes

´equivariants.

Parmi les r´esultats importants concernant la compression Hilbertienne ainsi que sa version ´equivariante, voici les suivants qui montrent que cette compres- sion permet de capter certaines propri´et´es (voir [GK04]) :

Th´eor`eme 3.2.2. Soit G un groupe discret :

(i) Si R(G)>0, alors G est uniform´ement plongeable.

(ii) Si R(G)> ¹₂, alors G a la propri´et´e A.

(iii) Si R_G(G)>0, alors G a la propri´et´e de Haagerup.

(iv) Si R_G(G)> ¹₂, alors G est moyennable.

Remarques 3.2.3. La positivit´e de la compression Hilbertienne et l’uniforme plongeabilit´e ne sont pas des propri´et´es ´equivalentes. Il existe mˆeme des groupes ayant une compression nulle tout en ayant la propri´et´e A (voir [ADS09]).

Ceci montre que les r´eciproques des implications (i) et (ii) du th´eor`eme ci- dessus sont fausses en g´en´eral. Les r´eciproques de (iii) et (iv) sont ´egalement fausses. En effet, la compression Hilbertienne du groupe moyennableZo(ZoZ) est ≤ <sup>1</sup><sub>2</sub> (voir [AGS06]), et plus r´ecemment, T. Austin a d´emontr´e l’exis- tence d’un groupe moyennable de type fini ayant une compression hilbertienne (´equivariante) ´egale `a 0 (voir [A09]).

Exemples 3.2.4. (i) R(Zⁿ) = 1, et l’inclusion de Zⁿ dans Rⁿ ´etant Zⁿ-

´equivariante, on a donc aussi R_Zⁿ(Zⁿ) = 1 (voir [GK04]).

(ii) Plus g´en´eralement, il a ´et´e not´e par M. Gromov que pour tout groupe moyennable, la compression Hilbertienne ´equivariante est ´egale `a la com- pression Hilbertienne (voir [CTV07]).

(iii) R(ZoZ) = ²₃ (voir [ANP07]).

(iv) R(F_n) = 1 (voir [GK04]). Plus r´ecemment, N. Brodskiy et D. Sonkin ont d´emontr´e que la compression Hilbertienne d’un groupe hyperbolique non-´el´ementaire est toujours ´egale `a 1 (voir [BS08]).

(v) En consid´erant l’action de F_n sur l²(E) (E d´esignant l’ensemble des arˆetes du graphe de Cayley de Fn), on a RFn(Fn) = ¹₂ (voir [GK04]) ; (vi) Pour le groupe de Thompson F, on a R(F) = ¹₂ (voir [AGS06]).

(vii) De nombreux autres exemples de groupes, dˆus `a R. Tessera, ont une compression Hilbertienne ´egale `a 1 (voir [T07]).

Via la th´eorie des in´egalit´es de type positif (et n´egatif) (noyaux et construc- tions de type GNS), la notion de compression est li´ee `a une notion plus an- cienne, celle de rotondit´e. Cette notion fut `a l’origine introduite par Enflo dans le but d’´etudier la structure uniforme des espaces m´etriques. Cette notion fut plus r´ecemment ´etudi´ee dans le cadre des groupes discrets de type fini.

D´efinition 3.2.5. La rotondit´e g´en´eralis´ee de (X, d) est le sup de tous les nombres positifs p≥0 tels que pour tout n ≥2 et pour toute collection de 2n points {a₁. . . , a_n, b₁, . . . , b_n} dans X, l’in´egalit´e suivante a lieu :

X

1≤i<j≤n

(d(a_i, a_j)^p+d(b_i, b_j)^p)≤ X

1≤i,j≤n

d(a_i, b_j)^p. On note gr(X) la rotondit´e g´en´eralis´ee de (X, d).

Chapitre 3 – Perspectives et questions ouvertes 13

Pour sch´ematiser, un espace m´etrique (X, d) satisfait gr(X, d) = p si les 2n-gones (pour tout n ≥ 2) sont plus fins que ceux des espaces L^p. Cette observation est justifi´ee par le r´esultat suivant (voir [LTW97]) :

Proposition 3.2.6. Pour tout1≤p≤2, et pour tout espace mesur´e(X,B, µ), on a gr(L^p(X,B, µ)) = p.

Il existe un lien fort entre la rotondit´e g´en´eralis´ee et les noyaux de type n´egatifs qui peut s’´enoncer ainsi (voir [LTW97]) :

Th´eor`eme 3.2.7. gr(X, d) ≥ p si et seulement si d^p est un noyau de type n´egatif.

En utilisant la construction GNS ´equivariante, on obtient le r´esultat quan- titatif suivant (voir Annexe D) :

Proposition 3.2.8. Soit(X, d)un espace m´etrique discret, et soitGun groupe discret agissant par isom´etries sur X. Alors : R_G(X)≥ ^gr(X)₂ .

Il y a tr`es peu d’exemples d’espaces m´etriques (et encore moins de groupes) pour lesquels la valeur exacte de la rotondit´e g´en´eralis´ee est connue, mais en voici n´eanmoins quelques-uns (les exemples (i) et (ii) se trouvent dans [LP06], et les exemples (iii) et (iv) sont des r´esultats se trouvant en Annexe D) : Exemples 3.2.9. Les groupes ci-dessous sont munis d’une m´etrique des mots associ´ee `a un syst`eme de g´en´erateur fix´e (qui doit ˆetre libre dans le cas des groupes Zⁿ et F_n) :

(i) Si G est un groupe de Kazhdan infini, alors : gr(G) = 0; (ii) gr(Z) = 2 (car Z se plonge isom´etriquement dans R) ; (iii) ∀n ≥2, gr(Zⁿ) = 1;

(iv) ∀n ≥2, gr(F_n) = 1;

Chapitre 4

Probl` emes ouverts et perspectives

Cette partie est constitu´ee de quelques questions ouvertes directement li´ees ou adh´erantes `a mon travail de recherche.

A propos de stabilit´` e par extensions

Un des probl`emes centraux qui a motiv´e mon travail sur les noyaux ´etait de mieux comprendre les extensions de groupes ayant la propri´et´e de Haa- gerup et surtout de d´eterminer celles qui pr´eservent cette propri´et´e. Tout d’abord, il est bien connu qu’une extension (mˆeme scind´ee) de groupes ayant la propri´et´e de Haagerup n’a pas cette propri´et´e en g´en´eral (par exemple SL<sub>2</sub>(Z)n Z<sup>2</sup>). N´eanmoins, il existe un r´esultat de stabilit´e (voir [CCJJV01]) qui peut s’´enoncer comme suit dans le cas scind´e : Soient G et H des groupes discrets d´enombrables ayant la propri´et´e de Haagerup, et soit α :G→Aut(H) une action de G sur H. Si α(G) est moyennable, alors Gn<sub>α</sub>H a la propri´et´e de Haagerup. On en arrive donc `a se demander :

Question 4.1. Que se passe-t-il si α(G) n’est pas moyennable ?

Une voie `a explorer dans le cas des groupes ayant aussi la propri´et´e A (ce qui est le cas de presque tous les exemples connus ayant Haagerup), cette derni`ere ´etant stable par extensions, serait peut-ˆetre d’utiliser des expressions de noyaux d’Ozawa pour les extensions et de tenter de les rendre invariantes afin d’obtenir la propri´et´e de Haagerup. Aucun r´esultat n’est encore connu dans ce sens. Par ailleurs, par des m´ethodes totalement diff´erentes, quelques nouveaux exemples de produits semi-directs (en l’occurence des produits en couronne) pr´eservant Haagerup ont ´et´e r´ecemment trouv´es par Y. Cornulier, Y. Stalder et A. Valette dans [CSV09].

Dans la suite logique de la question pr´ec´edente, une autre question fonda- mentale est :

Question 4.2. Est-ce que la plongeabilit´e uniforme dans un espace de Hilbert est stable par extensions ?

15

Cette question est l’analogue non-´equivariant de la question pr´ec´edente, `a la diff´erence pr`es qu’il n’existe aucun contre-exemple. Toutefois, on peut aussi montrer un r´esultat similaire `a celui concernant la propri´et´e de Haagerup, plus pr´ecis´ement : Soient Get H des groupes discrets d´enombrables ´etant uni- form´ement plongeables dans un espace de Hilbert, et soit α:G→Aut(H) une action de G sur H. Si α(G) a la propri´et´e A, alors Gn_αH est uniform´ement plongeable dans un espace de Hilbert. Quelques nouveaux exemples de pro- duits en couronne pr´eservant la plongeabilit´e uniforme ont aussi ´et´e r´ecemment trouv´es par Y. Cornulier, Y. Stalder et A. Valette dans [CSV09]. Enfin, dans la continuit´e de cette question, on peut aussi se demander ce qu’il se passerait si on rempla¸cait plongeabilit´e uniforme par la propri´et´e (strictement plus forte) d’avoir une compression Hilbertienne strictement positive. Plus pr´ecis´ement : Question 4.3. Si Γest l’extension (scind´ee) de deux groupes G et H tels que R(G)>0 et R(H)>0, est-ce que l’on a n´ecessairement R(Γ)>0?

Dans cette voie, il existe des r´esultats r´ecents dus d’une part `a A. Naor et Y. Peres, et d’autre part `a S. Li sur certains produits en couronne (voir [NP09]

et [Li09]).

A propos de rotondit´` e et de compression Hilbertienne ´equivariante D’apr`es le r´esultat D.3.1, on sait que la rotondit´e g´en´eralis´ee du 0-squelette d’un complexe cubique CAT(0) (muni de la m´etrique combinatoire induite par son 1-squelette) de dimension finie est toujours sup´erieure ou ´egale `a 1.

Questions 4.4. Tout d’abord, la question suivante semble naturelle :

(1) Est-ce que ce r´esultat persiste si le complexe cubique CAT(0) est de di- mension infinie ?

Par ailleurs, on peut se demander :

(2) Quel est le lien entre la rotondit´e g´en´eralis´ee d’un espace m´etrique et la rotondit´e g´en´eralis´ee d’un groupe agissant proprement par isom´etries sur ce dernier. Les rotondit´es sont-elles toujours ´egales ?

Enfin, on peut mˆeme aussi se demander si ce r´esultat persiste (du moins grossi`erement) pour les espaces CAT(0) en g´en´eral. Plus pr´ecis´ement : (3) Est-ce que tout espace m´etrique CAT(0) est grossi`erement ´equivalent `a

un espace m´etrique ayant une rotondit´e g´en´eralis´ee >0?

Des r´eponses positives aux questions (1) et (2) montreraient que tous les groupes (non moyennables) agissant proprement sur des complexes cubiques CAT(0), et donc en particulier tous les groupes de diagramme (dont le groupe de Thompson, voir [AGS06]) ont une rotondit´e g´en´eralis´ee ´egale `a 1. La ques- tion (3), quant `a elle, a un int´erˆet tout particulier car une r´eponse positive permettrait de montrer, grˆace `a l’in´egalit´e D.2.8, que tout groupe agissant proprement par isom´etries sur un espace m´etrique CAT(0) est uniform´ement plongeable dans un espace de Hilbert et satisfait donc par l`a mˆeme la conjec- ture de Novikov.

Chapitre 4 – Perspectives et questions ouvertes 17

La rotondit´e g´en´eralis´ee, de mˆeme que la compression Hilbertienne sont des quantit´es difficiles `a calculer. Rares sont les exemples de groupes pour lesquels ces quantit´es sont connues. En ce qui concerne la compression Hilbertienne, on sait d’apr`es [ADS09] que pour tout α ∈ [0,1] il existe un groupe de type fini G tel que R(G) = α. Il apparaˆıt d`es lors naturel de se demander si un analogue de ce r´esultat existe pour la compression ´equivariante ainsi que pour la rotondit´e g´en´eralis´ee. En r´esum´e :

Questions 4.5. (1) Est-ce que pour tout β ∈ [0,1] il existe un groupe (de type fini) G tel que RG(G) =β?

(2) Est-ce que pour tout γ ∈[0,2] il existe un groupe (de type fini) G tel que gr(G) = γ?

Concernant la premi`ere question, en fait on ne connaˆıt mˆeme aucun exemple de groupe ayant une compression ´equivariante exactement dans ]0,<sup>1</sup><sub>2</sub>[. Cepen- dant, un r´esultat tr`es r´ecent, dˆu `a S. Li (voir [Li09]) atteste que la compression Hilbertienne (´equivariante) du groupe Z o(Z oZ) est ≥ <sup>1</sup><sub>6</sub>, et on savait d´ej`a que cette derni`ere est ≤ <sup>1</sup><sub>2</sub> (voir [AGS06]). Par ailleurs, en ce qui concerne la deuxi`eme question, les seuls exemples de groupes Gpour lesquels la rotondit´e g´en´eralis´ee est connue de fa¸con exacte satisfont gr(G)∈ {0,1,2}.

A propos du lien entre la compression Hilbertienne et son analogue ´equi-` variant, voici deux questions :

Questions 4.6. D’apr`es une remarque de M. Gromov, on sait que la compres- sion Hilbertienne ´equivariante est ´egale `a la compression Hilbertienne pour tout groupe moyennable. Qu’en est-il de la r´eciproque ? C’est-`a-dire :

(1) Existe-t-il un groupe G non moyennable tel que R_G(G) =R(G)>0? On sait, d’apr`es N. Brodskiy et D. Sonkin (voir [BS08]), que la compres- sion Hilbertienne de tout groupe hyperbolique (non ´el´ementaire) est ´egale

`a 1. Par ailleurs, d’apr`es 3.2.2(iv), nous savons que la compression Hil- bertienne ´equivariante d’un groupe hyperbolique non ´el´ementaire doit ˆetre

≤ ¹₂. Parmi les groupes hyperboliques, nous savons ´egalement que tous les groupes ayant la propri´et´e(T) ont une compression ´equivariante ´egale `a 0, et d’autre part, on sait que la compression ´equivariante des groupes libres est ´egale `a ¹₂ (voir [GK04]). Ces derniers ayant la propri´et´e de Haagerup, tout cela conduit `a la question suivante :

(2) Dans la classe des groupes hyperboliques (non ´el´ementaires), tous les groupes G ayant la propri´et´e de Haagerup satisfont-ils RG(G) = ¹₂?

R´ecemment, certaines g´en´eralisations des propri´et´es consid´er´ees dans cette th`ese ont ´et´e ´etudi´ees de fa¸con assez intensive. L’id´ee est bien naturelle, pour- quoi se limiter aux espaces de Hilbert (i.e. L²) et ne pas essayer de voir ce qu’il se passe en rempla¸cant cet espace par un espace de Banach du type L^p

pour p ≥ 1 ? Plus particuli`erement, la g´en´eralisation Banachique de la no- tion de compression Hilbertienne (´equivariante) porte d´ej`a ses fruits (voir par exemple [ADS09], [NP09] et [Li09]). Dans ce nouveau contexte d’innombrables questions viennent alors `a l’esprit. Une d’entre elles, qui est directement li´ee `a mon travail sur la rotondit´e g´en´eralis´ee, est la suivante :

Question 4.7. Que devient l’in´egalit´e D.2.8 si l’on remplace H par L^p pour p≥1?

A propos de la propri´` et´e A

Dans la d´efinition de la propri´et´e A de G. Yu pour un groupeG(voir C.2.1), les ensembles Ag sont des sous-ensembles de G × N. Ce facteur N semble avoir ´et´e introduit originellement dans le but de s’assurer que la propri´et´e soit invariante par ´equivalence grossi`ere. De plus, certaines des preuves des diverses caract´erisations ´equivalentes de la propri´et´e A ne fonctionneraient plus en l’´etat sans ce facteur, notamment celle due `a Higson et Roe concernant la moyennabilit´e de l’action du groupe G sur sa compactification de Stone- Cech (voir C.2.2). Cependant, pour tous les exemples connus de groupes ayantˇ la propri´et´e A, le facteur Nest en r´ealit´e r´eduit `a{1}. Une question technique qui me semble ˆetre int´eressante est donc la suivante :

Question 4.8. Le facteur N dans la d´efinition de la propri´et´e A de Yu est-il vraiment indispensable, et si oui, quelle rˆole joue-t-il r´eellement ?

Une question sous-jacente `a de nombreuses autres questions cit´ees ici est la suivante :

Question 4.9. Est-ce que tout groupe ayant la propri´et´e de Haagerup a la propri´et´e A ?.

Chapitre 4 – Perspectives et questions ouvertes 19

A propos d’autres formes faibles de moyennabilit´` e

Parmi les autres formes faibles de moyennabilit´e ayant ´et´e ´etudi´ees, il y en a au moins deux autres qui n’apparaissent pas dans ce texte mais qui n´eanmoins m´eritent d’ˆetre cit´ees ici. Dans ce qui suit, les groupes seront de type fini.

On peut tout d’abord s’int´eresser `a une notion de “constante de Folner uniforme” comme cela est fait par exemple dans [ABLRSV05] qui se d´efinit comme suit :

Fol(G) := inf

S inf

A

|∂_SA|

|A|

o`u A parcourt tous les sous-ensembles finis de G, S parcourt l’ensemble de tous les syst`emes de g´en´erateurs finis de G, et ∂SA d´esignant le bord de A relativement `a S, i.e.{a∈A | ∃s∈S, as /∈A}. D’apr`es la D´efinition 2.1.1, il est clair qu’un groupe G est moyennable si et seulement si inf_A^|∂_|A|^SA| = 0 pour un (et donc pour tout) S fix´e.

Cette derni`ere remarque justifie alors la d´efinition suivante :On dit que G est faiblement moyennable au sens de Folner si Fol(G) = 0.

Par ailleurs, en consid´erant cette fois la caract´erisation de la moyennabilit´e en termes de repr´esentation r´eguli`ere (voir D´efinition 2.1.3), on est tent´e de d´efinir (comme cela est fait dans [Os02]), de fa¸con similaire `a la pr´ec´edente, une autre forme faible de moyennabilit´e faisant intervenir une constante de Kazhdan partielle destin´ee `a d´eterminer si la repr´esentation r´eguli`ere est (ou non) uniform´ement s´epar´ee de la repr´esentation triviale. On d´efinit alors

κ(G, λG) := inf

S inf

ξ∈l²(G)^∗max

s∈S

kλG(s)ξ−ξk kξk et on dit que G est faiblement moyennable si κ(G, λ_G) = 0.

Concernant le lien entre ces deux quantit´es, on a l’in´egalit´e suivante (voir [ABLRSV05]) :

Fol(G)≥ 1

2κ(G, λ_G)²

Cette in´egalit´e a pour cons´equence que tout groupe faiblement moyen- nable au sens de Folner est faiblement moyennable. Et la question qui vient imm´ediatement `a l’esprit est de savoir si ces deux propri´et´es sont ´equivalentes ou non. En d’autres termes :

Question 4.10. A-t-on l’´equivalence : Fol(G) = 0 ⇔κ(G, λ_G) = 0?

Enfin, entre autres questions que l’on pourrait se poser quant `a ces quan- tit´es, il me semble qu’une question int´eressante est de savoir si la moyenna- bilit´e faible et/ou la moyennabilit´e faible au sens de Folner ont des liens avec les propri´et´es A, de Haagerup ainsi que la plongeabilit´e uniforme. On pourrait s’interroger de la fa¸con suivante :

Question 4.11. (1) Est-ce que tous les groupes faiblement moyennables ont la propri´et´e A, ou sont uniform´ement plongeables ?

(2) Est-ce que tous les groupes faiblement moyennables au sens de Folner ont la propri´et´e A, ou sont uniform´ement plongeables ?

(3) Est-ce que tous les groupes faiblement moyennables ont la propri´et´e de Haagerup ?

(4) Est-ce que tous les groupes faiblement moyennables au sens de Folner ont la propri´et´e de Haagerup ?

A ma connaissance, il n’existe aucune r´eponse `a ces questions...`

Chapitre 5

Principaux r´ esultats

Propri´et´e (T) et ergodicit´e forte

La propri´et´e (T) intervient dans beaucoup de domaines diff´erents des math´e- matiques, et admet de nombreuses caract´erisations ´equivalentes. La majeure partie de ces caract´erisations se trouve dans l’annexe A. Nous ne retenons ici que deux caract´erisations dynamiques de la propri´et´e (T) relative. Les deux r´esultats suivants n’ont pas ´et´e soumis, et nous renvoyons le lecteur aux An- nexes B.1 et B.2 pour plus de d´etails.

Th´eor`eme 5.0.10. Soit G un groupe d´enombrable, et soit H un sous-groupe de G. Les assertions suivantes sont ´equivalentes :

1. La paire (G, H) a la propri´et´e (T) de Kazhdan ;

2. Toute G-action H-ergodique pr´eservant la mesure sur un espace de pro- babilit´e standard et non-atomique (X,B, µ) est fortement ergodique.

Etant donn´ee une action pr´eservant la mesure d’un groupe´ Gsur un espace de probabilit´e (X,B, µ), il y a toujours au moins une moyenne invariante, la question est donc de savoir quand cette moyenne est la seule. L’unicit´e de cette moyenne invariante est bas´ee sur la notion de suite de Folner qui est elle mˆeme tr`es li´ee `a la notion des suites asymptotiquement invariantes apparaissant dans la d´efinition de l’ergodicit´e forte (voir Annexe B.2).

Th´eor`eme 5.0.11. Soit G un groupe d´enombrable et soit H un sous-groupe de G. Les propositions suivantes sont ´equivalentes :

1. La paire (G, H) a la propri´et´e (T) de Kazhdan ;

2. Pour toute action H-ergodique pr´eservant la mesure de G sur un es- pace de probabilit´e standard et non-atomique (X,B, µ), il y a une unique moyenne G-invariante sur L^∞(X,B, µ).

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