il existe un élément d’ordre n.) Exercice 2

École polytechnique 2011-2012 Théorie de Galois

Feuille d’exercices 4

On notepun nombre premier,Fp le corps finiZ/pZetΩune clôture algébrique deFp. Enfin, on désignera par Frob_p: Ω→Ωl’élévation à la puissance p (morphisme de Frobenius).

Exercice 1. Montrer que tout sous-groupe finiGdu groupe multiplicatifK^×des inversibles d’un corpsK est cyclique. (Indication : utilisant la commutativité de G, on pourra montrer que si n est son exposant — c’est-à-dire leppcm des ordres de ses éléments —, il existe un élément d’ordre n.) Exercice 2. (i) Rappeler pourquoi F_p ={x∈Ω, x^p =x}.

(ii) (p impair) Montrer qu’il existe ζ ∈Ω tel que ζ² =−1. En déduire que −1 est un carré dansF_p si et seulement sip≡1 mod 4.

(iii) (pimpair) Montrer qu’il existeζ∈Ωtel queζ⁴ =−1. En considérant l’élémentζ+ζ⁻¹, montrer que2est un carré dans Fp si et seulement si p≡ ±1 mod 8.

Exercice 3. SoitP ∈F_p[X]un polynôme de degré d.

(i) Montrer queP est irréductible dansF_p[X]si et seulement siP n’a pas de racine dansF_p^r pour toutr ≤ ^d₂.

(ii) (Application) Montrer queF₄ ={0,1, j, j²}avecj² = 1+j. En déduire que les polynômes 1 +X²+X⁵,1 +X³+X⁵,1 +X+X²+X³+X⁵,1 +X+X²+X⁴+X⁵,1 +X+X³+X⁴+X⁵ et1 +X²+X³+X⁴+X⁵ sont les polynômes irréductibles de degré5 de F2[X].

(iii) (Une variante) Supposons d≤5. Montrer que P est irréductible dansFp[X]si et seule- ment si(P, X^p2−X) = 1.

Exercice 4. Montrer que pour tout entierd≥1, il existe un polynôme irréductible de degréddansFp[X].

(Indication : on pourra utiliser l’exercice 1.)

Exercice 5. On notePl’ensembles des polynômes irréductibles unitaires deFp[X]etPdceux de degréd.

(i) Soitq=pⁿ une puissance dep. Montrer que X^q−X= Y

d|n P∈Pd

P.

En particulier,pⁿ=P

d|nd|Pd|(?). D’après la formule d’inversion de Möbius, on a donc n|Pn|=X

d|n

µ(n d)p^d,

où µest est la fonction de Möbius, valant 1 (resp. −1) en les entiers produit d’un nombre pair (resp. impair) de nombres premiers distincts et0 sinon.

(iii) En déduire une seconde démonstration du résultat de l’exercice précédent.

(iv) Soit A=F_p[X]. Montrer que la « fonction zêta » deA ζA(s) := X

f∈A unitaire

1

|f|^s,

1

où |f| = p^deg(f), est égale au produit eulérien Y

P∈P

1

1− |P|^−s. (Dans cet exercice, on pourra ignorer les problèmes de convergence ens.¹)

(v) Montrer queζ_A(s) = _1−p·p¹ −s. En déduire une seconde démonstration de la formule de(?).

(Indication : on pourra poserT =p^−set considérer la dérivée logarithmique de _1−pT¹ par rapport àT.)

Exercice 6. (i) Vérifier les factorisations dans C[X]

X⁴+ 1 = (X²+i)(X²−i) = (X²−√

2X+ 1)(X²+

√

2X+ 1) = (X²+i

√

2X−1)(X²−i√ 2−1).

(ii) En déduire que X⁴+ 1est irréductible dans Q[X].

(iii) On suppose p impair. Montrer que l’ensemble des carrés de F^×_p est un sous-groupe d’indice2. En déduire que sia, b∈F_p, alors a,bou abest un carré dans F_p.

(iv) Montrer que X⁴+ 1est réductible dans F_p[X]pour tout nombre premier p.

Exercice 7. Soit x∈Ω^× et soit dx= [Fp(x) :Fp]son degré sur Fp. (On rappelle que c’est aussi le degré de son polynôme minimalΠFp,xsur Fp.)

(i) Montrer d_x est le plus petit entierd≥1 tel queFrob^d(x) =x.

(ii) Montrer que l’ordreN dex dansΩ^× est premier à p.

(iii) Montrer quedx est l’ordre de pdans(Z/NZ)^×.

(iv) Montrer que lesF_p-conjugués dexdansΩsont exactement lesFrobⁿ(x)avec0≤n < d_x. Exercice 8. (Polynôme d’Artin-Schreier) Montrer que si p est premier et a∈ F^×_p, alors X^p−X+a est

irréductible dansFp[X]. (On pourra utiliser l’exercice précédent.)

Exercice 9. (i) Montrer que Φ_p(X) = X^p−1 +· · ·+X+ 1 est irréductible dans Q[X]. (Indication : on pourra appliquer le critère d’Eisenstein au polynômeΦp(X+ 1).)

La suite de cet exercice est consacrée à l’étude de la réduction de Φ_p modulo un nombre premier`6=p.

(ii) Montrer que la réduction modulo`deΦp est de la formeP1. . . Pg où tous lesPi sont des irréductibles unitaires distincts de même degré, égal à l’ordre de`dansF^×_p. (On pourra utiliser l’exercice 7.)

(iii) En déduire queΦ_p est irréductible surF<sub>`</sub> si et seulement si `engendre F^×_p. (iv) Montrer que Φp admet une racine dans F<sub>`</sub> si et seulement si`≡1 modp.

(v) Déduire du (iv) qu’il existe une infinité de nombres premiers ` tels que ` ≡ 1 modp.

(Indication : on pourra s’inspirer de la preuve d’Euclide de l’infinité des nombres premiers.)

1. C’est un fait général que ces fonctions zêta sont analytiques pour<(s)0.

2