Les pavages de
Mac Mahon
Présenté par les collèges Louis Armand à Moulins-lès-
Metz
et Les Hauts de Blémont à Metz
1
Qui était Mac Mahon?
Mac Mahon (1854-1929), major d'artillerie dans l'Armée des Indes, était un mathématicien britannique spécialisé dans la théorie des nombres.
C'est dans les années 1920 qu’il créa ce jeu.
Description du jeu :
Les carrés de Mac-Mahon sont des carrés identiques, partagés en quatre zones égales selon leurs diagonales.
Chaque zone est colorée et il n'y a que trois couleurs possibles.
Nous avons choisi jaune, rouge et marron.
Deux ou plusieurs zones d'un même carré peuvent être d'une même couleur.
ex :
3
Les pavages de Mac-Mahon sont des pavages faits à partir des carrés de Mac Mahon tels que deux côtés adjacents sont de même couleur.
Règle du jeu
Quel est le nombre de carrés différents contenus dans le jeu ?
Nous avons pensé à les dénombrer en fonction des couleurs.
Des carrés avec une seule couleur, d’autres avec deux couleurs et enfin avec trois couleurs.
5
Les différentes possibilités de couleur
• Une seule couleur.
Il y a 3
possibilités
donc 3 pièces du jeu.• Deux
couleurs.
Il y a 12 pièces du jeu
7
• Trois couleurs.
Il y a 9 pièces du jeu
Ce qui fait en tout :
3 + 12 + 9 = 24 pièces dans le jeu
Lors de notre premier séminaire, nous avons remarqué qu’à chaque fois le nombre de pièces était un multiple de 3 car il y a 3 couleurs.
1×3 couleurs 1×3 couleurs
1×3 couleurs
2×3 couleurs
2×3 couleurs
1×3 couleurs
9
Peut-on construire des figures avec ces carrés en faisant en sorte que les cotés qui se touchent soient de la même couleur ?
Nous avons remarqué que 24 est un multiple de 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 et 24 d’où on a :
24 = 1 X 24 24 = 2 X 12 24 = 3 X 8 24 = 4 X 6
On peut donc essayer de faire des rectangles de
ces dimensions.
Un rectangle de 1 × 24
C’est possible
11
Un rectangle de 2 × 12
C’est possible
Un rectangle de 3 × 8 C’est possible
13
Un rectangle de 4 × 6
C’est possible
Pour chacun de ces rectangles, nous avons trouvé plusieurs solutions mais nous n’avons pas su trouver le nombre exact de solutions différentes possibles.
15
Peut-on construire, avec toutes les pièces du jeu, un rectangle avec les
triangles des bords de la même couleur ?
…
…
…
Un rectangle de 1 × 24
Si on choisit comme couleur le marron, il y a 6 pièces qui n’ont pas de triangle marron.
Il est donc impossible de construire un
rectangle de largeur 1 et de longueur 24, c’est- à-dire en utilisant toutes les pièces du jeu.
17
Le rectangle de 2 × 12
Si on garde comme couleur le marron, il y a toujours les 6 pièces qui n’ont pas de triangle marron.
Il est donc impossible de construire un rectangle de largeur 2 et de longueur 12, c’est-à-dire en
utilisant toutes les pièces du jeu.
Le rectangle de 3 × 8
19
Changeons de couleur, prenons le jaune
il y a comme précédemment
6 pièces qui n’ont pas de triangle jaune.
Ces 6 pièces qui n’ont pas de triangle jaune devront être situées « à l’intérieur » du rectangle .
Mais on ne pourra pas placer les carrés avec deux
triangles jaunes opposés (en forme de sablier) au bord, il faudrait un carré avec un triangle jaune au centre et les 6 pièces au centre n’ont pas de triangle jaune.
Le rectangle de 4 × 6
21
Ce ne sont pas tout à fait les mêmes (aux couleurs près) mais il y a des choses qu’on retrouve dans les deux
constructions.
On retrouve à chaque essai réussi :
• Un triangle rectangle isocèle de la même couleur que les bords.
• Les 3 « sabliers » de la couleur du bord alignés
Des axes de symétrie
Observons chacune des pièces pour voir si elle possède un ou des axes de symétrie.
23
• Pas d’axe de symétrie
Il y a 6 pièces qui ont 3 couleurs.
• Un axe de symétrie
L’axe de symétrie est soit :
• une diagonale du carré
• une médiane du carré
Il y a 12 pièces qui possèdent un seul
axe de symétrie
25
• Deux axes de symétrie
Ce sont les deux médianes (ou médiatrices) des carrés que nous avons appelés « double sabliers ».
Il y a 3 pièces qui ont 2 axes de symétrie perpendiculaires donc un centre de symétrie
• Quatre axes de symétrie
Ce sont les diagonales et les médianes des carrés d’une seule couleur.
Il y a trois pièces qui ont 4 axes de symétrie … et un centre de symétrie
On remarque aussi qu’il y a des pièces qui sont symétriques deux à deux.
27
Ce sont les pièces qui ne possèdent pas d’axe de symétrie elles-mêmes.
Nous avons essayé de construire des rectangles avec un axe de symétrie.
• Rectangle de largeur 1
Il y a 15 pièces possédant au moins 1 axe de symétrie qui est une médiane du carré.
On peut faire un rectangle 1×15 avec un axe de symétrie horizontal (une médiane).
On a remarqué qu’on pouvait mettre la première pièce en dernier et même recommencer.
29
Rectangle de largeur 1
mais avec un axe de symétrie vertical (une médiane)
au centre, on met une pièce ayant au moins 1 axe de symétrie « vertical »
et de chaque côté des pièces n’ayant pas d’axe de symétrie mais
symétriques par 2.
Un axe de symétrie "vertical"
(médiane)
On a utilisé les pièces symétriques 2 à 2 et une pièce avec un axe de symétrie vertical.
Rectangle de largeur 1 avec un axe de symétrie vertical
31
Nous n’avons pas trouvé de rectangle de largeur 2 autre que 2×3
Un axe de symétrie horizontal :
La 1ère et la 2ème ligne sont symétriques
Un axe de symétrie vertical :
La 1ère et la 2ème colonne sont symétriques et celle du
milieu comporte des pièces ayant chacune un axe de
symétrie vertical.
Des carrés avec un axe de symétrie
Nous n’avons trouvé que 2 carrés avec un axe de symétrie (médiane) mais nous n’avons pas réussi à démontrer qu’il
n’y en avait que deux … ou bien d’autres.
Nous avons ensuite cherché à obtenir la moitié de la construction d’une même couleur(jaune).
33
1×4=4 2×3=6
4×2=8 3×2=6
2×1=2
2×1=2
4×1=4
Il y a en tout : 4+6+8+6+2+4+2
=
32 triangles jaunes pour 18
carrés
Il y a autant de triangles rouges et autant de marrons
car
32+32+32=96
soit 24 carrés×4triangles
Des rectangles :
• de largeur 1, avec la moitié des triangles jaunes.
Nous avons réussi à aligner au maximum 14 pièces avec 28 triangles jaunes (14×4/2 = 56/2 = 28).
Nous avons aussi essayé de faire des rectangles de largeur 2, 3 et 4 avec la moitié des triangles jaunes.
Voici ce que nous avons fait pour des rectangles de largeur 4 :
• Rectangle 4 × 6 = 24 pièces = 24 × 4 triangles = 96 triangles.
Il faudrait 96/2 = 48 triangles jaunes mais il n’y en a que 32 donc c’est impossible.
35
• Rectangle 4 × 5 = 20 pièces = 20 × 4 triangles = 80 triangles.
Il faudrait 80/2 = 40 triangles jaunes mais il n’y en
a que 32 donc c’est impossible.
• carré 4 × 4 = 16 pièces = 16 × 4 triangles = 64 triangles.
Il faudrait 64/2 = 32 triangles jaunes et il y en a 32 donc ce serait possible… MAIS il y a 18 pièces avec des triangles jaunes et il n’en faut que 16 donc c’est impossible !
• Rectangle 4 × 3 = 12 pièces = 12 × 4 triangles = 48 triangles.
Il faudrait 48/2 = 24 triangles jaunes donc c’est possible.
Il y a bien 24 triangles jaunes et 24 triangles d’autres
couleurs
37
• Rectangle 4 × 2 = 8 pièces = 8 × 4 triangles = 32 triangles.
Il faudrait 32/2 = 16 triangles jaunes donc c’est possible.
• Rectangle 4 × 1 = 4 pièces = 4 × 4 triangles = 16 triangles.
Il faudrait 16/2 = 8 triangles marron donc c’est possible.
Il y a bien 16 triangles jaunes et 16 triangles d’autres
couleurs
Il y a 8 triangles marron et 8 triangles d’autres couleurs
Une mosaïque
On dispose des carreaux de mosaïque pour obtenir des "carrés". Voici trois exemples.
Peut-on savoir à l’avance combien de carreaux de
mosaïque il faudrait pour fabriquer n’importe quel carré ?
39
Plusieurs méthodes nous ont donné le même résultat.
Pour faire un carré de n carreaux sur chaque côté, il faudra 4n – 4 carreaux.
n carreaux sur chaque côté soit 4n carreaux
– 4 carreaux en coin
=
4n – 4 carreaux
En prenant les carrés de Mac Mahon, nous avons cherché le nombre de pièces dans un côté pour former un tel "carré" en les utilisant toutes.
Pour cela, nous avons résolu l’équation 4 n – 4 = 24.
Il faut 7 pièces sur chaque côté du carré.
Mais est-ce faisable en
respectant les règles du jeu ? 4 n – 4 = 24
4 n = 20
n = 28/4 = 7
OUI
41
