Département Mathématique ING1 - Année scolaire Remise à niveau. Algèbre linéaire & Analyse

Département Mathématique ING1 - Année scolaire 2009 - 2010

Remise à niveau

Algèbre linéaire & Analyse

Professeur : Muriel Duloué Heures d’enseignement : 35 heures

Septembre - Octobre 2009

Résumé

L’objectif de cette remise à niveau est de présenter les résultats de base dédiés à l’algèbre linéaire et à l’analyse. Ces prérequis sont indis- pensables pour la compréhension des matières en mathématique de la 1^ere année du cycle ingénieur. Tout investissement dans cette remise à niveau portera très rapidement ses fruits. A bon entendeur, salut.

Attitude à bannir

Table des matières

I ALGEBRE LINEAIRE 5

1 Quelques exercices de révision sur les nombres complexes 5 1.1 Forme algébrique, forme trigonométrique et forme exponentielle

d’un nombre complexe . . . 5

1.2 Formule de Moivre et formule d’Euler . . . 11

1.3 Racines n-ièmes . . . 14

1.4 Résolution dans Cd’une équation du second degré . . . 15

2 Fractions rationnelles : décomposition en éléments simples 17 2.1 Exercice . . . 17

3 Espaces vectoriels 23 3.1 Résumé de cours . . . 23

3.2 Série d’exercices . . . 26

3.2.1 Espaces vectoriels : dé…nition, sous-espace . . . 26

3.2.2 Systèmes de vecteurs . . . 28

3.2.3 Dimension et somme directe . . . 29

4 Applications linéaires 30 4.1 Résumé de cours . . . 30

4.2 Série d’exercices . . . 31

4.2.1 Applications linéaires : dé…nition . . . 31

4.2.2 Applications linéaires : image et noyau . . . 31

4.2.3 Applications linéaires : injectivité et surjectivité . . . 32

4.2.4 Applications linéaires : matrices . . . 32

5 Réduction d’endomorphismes : diagonalisation et trigonalisa- tion 33 5.1 Résumé de cours . . . 33

5.1.1 Diagonalisation . . . 34

5.1.2 Trigonalisation . . . 35

5.2 Série d’exercices . . . 44

5.2.1 Valeurs et vecteurs propres : dé…nition . . . 44

5.2.2 Réduction d’endomorphismes : diagonalisation . . . 44

5.2.3 Réduction d’endomorphismes : trigonalisation . . . 45

6 Applications de la réduction d’endomorphismes 46 6.1 Calcul de puissances de matrices . . . 46

6.2 Résolution de systèmes di¤érentiels . . . 46

6.3 Suites récurrentes linéaires . . . 46

6.4 Résolution de systèmes de suites récurrentes linéaires . . . 46

7 Formes bilinéaires et quadratiques - formes hermitiennes 47 7.1 Résumé de cours . . . 47

7.1.1 Forme bilinéaire . . . 47

7.1.2 Produit scalaire . . . 50

7.1.3 Forme quadratique . . . 50

7.1.4 Forme hermitienne . . . 52

7.2 Série d’exercices . . . 54

7.2.1 Produit scalaire . . . 54

7.2.2 Forme quadratique . . . 55

7.2.3 Exemple de forme hermitienne en dimension in…nie . . . . 56

II ANALYSE 57

9 Calcul intégral 75 9.1 Calcul intégral en 1D . . . 75 9.1.1 Calcul de primitives . . . 75 9.1.2 Calcul d’intégrales . . . 77

Partie I

ALGEBRE LINEAIRE

1 Quelques exercices de révision sur les nombres complexes

1.1 Forme algébrique, forme trigonométrique et forme ex- ponentielle d’un nombre complexe

Exercice 1 : Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe 2 + 5i

1 i +2 5i 1 +i :

Réponse : Il s’agit ici seulement de mener du calcul : 2 + 5i

1 i +2 5i

1 +i = (2 + 5i) (1 +i) + (2 5i) (1 i) (1 +i) (1 i) ;

= 2 + 2i+ 5i 5 + 2 2i 5i 5

1 i² ;

= 2 5 + 2 5

2 = 6

2 = 3:

Le nombre complexe2 + 5i

1 i +2 5i

1 +i a comme partie réelle 3et0comme partie imaginaire. Il s’agit donc du nombre réel 3:

Exercice 2 : On notez₁= 2p

6 (1 +i)et z₂=p

2 1 +ip 3 :

1. Déterminer les formes trigonométrique et exponentielle des deux nombres complexesz₁et z₂:

2. Déterminer la forme algébrique dez= z₁ z2

:

3. Déterminer les formes trigonométrique et exponentielle dez:

4. En déduire la valeur decos

12 etsin 12: Réponse :

1.

jz1j= 2p 6p

1²+ 1²= 2p 6p

2 = 2p

12 = 4p 3 et

jz2j=p 2

r

1²+ p 3

2

= 2p 2:

Par conséquent, il s’ensuit les expressions trigonométriques suivantes des deux nombres complexesz1 etz2 d’une part puis les expressions exponentielles :

z1 = 4p 3 cos

4 +isin 4 ; z₂ = 2p

2 cos

3 +isin 3 car

z₁= 4p 3 2p

6 (1 +i) 4p

3

!

= 4p 3

p2 (1 +i) 2

!

et

z₂= 2p 2

p2 1 +ip 3 2p

2

!

= 2p

2 1 +ip 3 2

!

et donc

z1= 4p

3eⁱ4 et z2= 2p 2eⁱ3. 2. On a successivement :

z = z1

z₂ = 2p

6 (1 +i) p2 1 +ip

3 =

p12 (1 +i) 1 +ip

3 = 2p

3 (1 +i) 1 ip 3 1 +ip

3 1 ip 3 ;

= 2p

3(1 +i) 1 ip 3

1 + 3 =

p3

2 (1 +i) 1 ip 3 ;

= p3

2 1 ip

3 +i+p 3 =

p3

2 1 +p

3 +i 1 p 3 et donc

z= p3

2 1 +p 3 +i

p3

2 1 p

3 . 3. Ainsi,

z=4p 3eⁱ4 2p

2eⁱ3

=p

6eⁱ 4 3 =p

6eⁱ 12

puis

z=p 6 cos

12 +isin

12 =p 6 cos

12 isin 12 . 4. On a simultanément

z= p3

2 1 +p

3 +i 1 p 3

et

z=p 6 cos

12 isin 12 :

Identi…ons les parties réelle et imaginaire de ce nombre complexe p6 cos

12 = p3

2 1 +p 3 p6 sin

12 = p3

2 1 p

3 soit

cos12 = p3 2p

6 1 +p

3 = 1 2p

2 1 +p 3 =

p2 4 1 +p

3 ;

sin12 = p3 2p

6 1 p

3 = 1

2p

2 1 p 3 =

p2

4 1 p

3 .

Exercice 3 : Soitz un nombre complexe di¤érent de 1 et de module 1.

1. Démontrer queZ =i1 +z

1 z est réel.

2. DéterminerZen fonction de la valeur de l’argument dezcomprise entre 0et 2 :

Réponse :

1. Pour démontrer queZ est un nombre réel, on va véri…er queZ est égal à son conjugué. Dans les faits, on a puisquez est di¤érent de 1 :

Z=i1 +z

1 z =i1 +z

1 z = ( i) 1 +z

1 + ( z) = ( i)1 +z

1 z = ( i)z(1 +z) z(1 z) Z = ( i)z+zz

z zz = ( i)z+jzj²

z jzj² = ( i)z+ 1

z 1 =i1 +z 1 z =Z;

ce qui est le résultat escompté.

2. z étant de module 1 et di¤érent de 1, est di¤érent de0 et de 2 soit 2]0;2 [. On écrit :

z=eⁱ et ainsi

Z =i1 +eⁱ 1 eⁱ =i

eⁱ2 0

@e ⁱ2 +eⁱ2 1 A

eⁱ2 0

@e ⁱ2 eⁱ2 1 A

=ie ⁱ2 +eⁱ2 e ⁱ2 eⁱ2

;

Z = e ⁱ2 +eⁱ2 2

2i e ⁱ2 eⁱ2

;

= e ⁱ2 +eⁱ2 2

0 BB

@

2i eⁱ2 e ⁱ2

1 CC A= cos

2 0 B@ 1

sin2 1 CA:

En conclusion,

Z = cotan 2:

Exercice 4 : Soientz etz⁰ deux nombres complexes.

1. Montrer que

Re (z) =jzj si et seulement sizest réel positif ou nul.

2. A quelle condition a-t-on :

jz+z⁰j=jzj+jz⁰j?

Réponse :

1. On utilise ici la forme algébrique du nombre complexez z=x+iy

avec(x; y)2R²:Alors

Re (z) = jzj ()x=p

x²+y²()

( x 0 x²= p

x²+y^{2 2}

() x 0

x²=x²+y² () x 0

0 =y² () x 0 y= 0 Ceci peut se traduire par la propriété suivante :

Re (z) =jzj ()z2R+.

2. jz+z⁰jet jzj+jz⁰j étant deux nombres réels positifs, on a l’équivalence suivante :

jz+z⁰j=jzj+jz⁰j () jz+z⁰j²= (jzj+jz⁰j)²:

Le point de départ maintenant est l’égalité jz+z⁰j² = (jzj+jz⁰j)². On écrit successivement les équivalences suivantes :

jz+z⁰j²= (jzj+jz⁰j)²()(z+z⁰) z+z⁰ =jzj²+jz⁰j²+ 2jzj jz⁰j; () (z+z⁰) z+z⁰ =jzj²+jz⁰j²+ 2jzj jz⁰j;

() zz+zz⁰+z⁰z+z⁰z⁰=jzj²+jz⁰j²+ 2jzj jz⁰j; () jzj²+jz⁰j²+zz⁰+z⁰z=jzj²+jz⁰j²+ 2jzj jz⁰j; () zz⁰+z⁰z= 2jzj jz⁰j;

() zz⁰+zz⁰= 2jzj z⁰ ; () zz⁰+zz⁰= 2 zz⁰ :

On pose maintenantZ =zz⁰2Cet par conséquent

jz+z⁰j²= (jzj+jz⁰j)²()Z+Z = 2jZj () 2 Re (Z) = 2jZj ()Re (Z) =jZj () Z 2R+:

En résumé,

jz+z⁰j=jzj+jz⁰j ()zz⁰ 2R+:

Regardons maintenant ce qu’induit la propriétézz⁰ 2R+. On peut a¢ rmer si z= 0ouz⁰ = 0alorszz⁰ 2R+. Plaçons-nous à présent dans le cas oùz6= 0 et z⁰ 6= 0:On dispose alors des équivalences suivantes :

zz⁰2R+()arg zz⁰ = 0()arg (z) arg (z⁰) = 0()arg (z) = arg (z⁰): En conclusion …nale,

jz+z⁰j=jzj+jz⁰j ()z= 0 ouz⁰= 0ouarg (z) = arg (z⁰).

Exercice 5 : Soientaetbdeux nombres réels donnés. Déterminer l’ensemble des nombres complexesz tels que :

1. jzj+z=a+ib:

2. jzj z=a+ib Réponse :

1. On a :

jzj+z=a+ib() jzj+ Re (z) +iIm (z) =a+ib() jzj+ Re (z) =a;

Im (z) =b :

De plus, on sait que :

jzj jRe (z)j et donc

jzj+ Re (z) Re (z) +jRe (z)j soit

jzj+ Re (z) 0:

Ainsi, sia <0 alorsS=?. De plus, sia= 0alors jzj+z=a+ib() jzj= Re (z);

Im (z) =b () Re (z) est réel négatif, Im (z) =b:

De ce fait, toujours sous la conditiona= 0, il vient que sib6= 0alorsS =?et sib= 0alorsz2R :Il reste maintenant à étudier le dernier casa >0. Posons à cette …nx= Re (z)ety= Im (z)et écrivons tout à tour

jzj+z=a+ib()

px²+y²=a x;

y=b ()

8<

:

x²+y²= (a x)²; a x 0;

y=b

() 8<

:

x²+y²=x²+a² 2ax;

a x 0;

y=b ()

8<

:

y²=a² 2ax;

a x 0;

y=b

() 8>

<

>:

x= a² y² 2a ; a x 0;

y=b

() 8<

:

x=a² y² 2a ; y=b car

a x=a a² y²

2a =2a² a²+y²

2a = a²+y²

2a = a²+b² 2a >0:

En conclusion,

sia <0 ou (a= 0etb6= 0) alorsS=?; sia= 0 etb= 0alorsz2R ;

sia >0 alorsS = a² b² 2a +ib :

2. E¤ectuons tout d’abord une opération qui puisse nous permettre d’exploiter directement la question précédente. En posantz⁰= z

jzj z=a+ib() jz⁰j+z⁰=a+ib:

Il s’ensuit immédiatement que :

sia <0 ou (a= 0etb6= 0) alorsS=?; sia= 0 etb= 0alorsz2R+;

sia >0 alorsS = a² b²

2a ib :

1.2 Formule de Moivre et formule d’Euler

Exercice 1 : Linéariser cos⁵xet sin⁵xoùxdésigne un nombre réel.

Réponse :

On utilise ici la formule d’Euler et les propriétés de l’exponentielle complexe.

Plus précisément, on a : cos⁵x = e^ix+e ^ix

2

5

= 1

32 e^ix+e ^{ix 5};

= 1

32 e^ix+e ^{ix 2} e^ix+e ^{ix 2} e^ix+e ^ix ;

= 1

32 e^i2x+e ^i2x+ 2 e^i2x+e ^i2x+ 2 e^ix+e ^ix : Le développement du calcul conduit à :

cos⁵x = 1 32

e^i4x+ 1 + 2e^i2x+ 1 +e ^i4x

+2e ^i2x+ 2e^i2x+ 2e ^i2x+ 4 e^ix+e ^ix ;

= 1

32 e^i4x+ 6 + 4e^i2x+e ^i4x+ 4e ^i2x e^ix+e ^ix ;

= 1

32

e^i5x+e^i3x+ 6e^ix+ 6e ^ix+ 4e^i3x

+4e^ix+e ^i3x+e ^i5x+ 4e ^ix+ 4e ^i3x ;

= 1

32 e^i5x+ 10e^ix+ 10e ^ix+ 5e^i3x+e ^i5x+ 5e ^i3x ;

= 1

16

e^i5x+e ^i5x

2 + 10 e^ix+e ^ix

2 + 5 e^i3x+e ^i3x 2 et donc

cos⁵x= 1

16(cos (5x) + 5 cos (3x) + 10 cosx).

On peut linéariser de la même manièresin⁵xen utilisant la formule sinx=e^ix e ^ix

2i :

On peut également pour faciliter les calculs utiliser le fait suivant : sin⁵x= cos⁵

2 x :

Il su¢ t donc maintenant d’exploiter la formule établie précédemment. Il s’ensuit que :

sin⁵x = 1

16 cos 5

2 x + 5 cos 3

2 x + 10 cos

2 x ;

= 1

16 cos 5

2 5x + 5 cos 3

2 3x + 10 cos

2 x ;

= 1

16 cos 2 +

2 5x + 5 cos 2

2 3x + 10 cos

2 x ;

= 1

16 cos

2 5x + 5 cos

2 3x + 10 cos

2 x ;

= 1

16 sin ( 5x) + 5 cos

2 + 3x 10 sin ( x) : D’où

sin⁵x= 1

16(sin (5x) 5 sin (3x) + 10 sin (x)).

Exercice 2 :nest un élément …xé deN :

1. Déterminer les formes trigonométrique et exponentielle de(1 +i)ⁿ: 2. Pour quelles valeurs de l’entiern,(1 +i)ⁿ est-il réel?

3. On note S_n la somme des ( 1)^k{^2kn avec 0 2k n et T_n la somme des ( 1)^k{^2k+1n avec 0 2k+ 1 n. Calculer S_n et T_n en fonction de n.

Indication : on pourra exprimer(1 +i)ⁿ en fonction deS_n et T_n:

Réponse :

1. Déterminons le module et l’argument du nombre complexe1 +i. On a : j1 +ij=p

1²+ 1²=p 2 de sorte que :

1 +i=p

2 1 +i p2 =p

2 p2

2 + p2

2 i

!

=p 2 cos

4 +isin

4 =p 2eⁱ4: On déduit alors directement de la formule de Moivre l’égalité suivante :

(1 +i)ⁿ= p

2 ⁿ cos n

4 +isin n

4 = p

2 ⁿeⁱ n

4 . (1)

2. Il en découle l’information que(1 +i)ⁿ est un réel si et seulement si n4 =k

aveck2Zsoit

n= 4k, kdécrivant l’ensembleZ.

3. On exploite ici la formule du binôme à savoir (1 +i)ⁿ=

Xn k=0

{^kni^k1^{n k} = Xn k=0

{^kni^k:

Regardons maintenant d’un peu plus près les puissances successives dei: i⁰ = 1;

i¹ = i;

i² = 1;

i³ = i;

i⁴ = 1;

i⁵ = i;

i⁶ = i²= 1 :::

et par conséquent on peut déduire les di¤érents cas suivants :

i^k= 8>

><

>>

:

1sik= 4k⁰ aveck⁰ 2Z; isik= 1 + 4k⁰⁰aveck⁰⁰2Z;

1 sik= 2 + 4k⁰⁰⁰ aveck⁰⁰⁰2Z; i sik= 3 + 4k⁰⁰⁰⁰aveck⁰⁰⁰⁰2Z:

On peut alors véri…er que l’égalité suivante est tout à fait correcte : (1 +i)ⁿ=S_n+iT_n

et en utilisant(1)une identi…cation des parties réelle et imaginaire conduit à : Sn= p

2 ⁿcos n 4 puis

T_n = p

2 ⁿsin n 4 .

1.3 Racines n-ièmes

Exercice 1 : Résoudre dansCl’équation z⁴= 1

p2( 1 +i):

Réponse : On écrit le nombre complexe 1

p2( 1 +i)sous sa forme exponen- tielle

p1

2( 1 +i) = p2

2 + p2

2 i= cos 3

4 +isin 3

4 =eⁱ 3

4 : Ensuite, on posez= eⁱ et il vient :

z⁴= 1

p2( 1 +i), ⁴eⁱ⁴ =eⁱ 3

4 ,

( 4= 1;

4 = 3

4 + 2k aveck2Z ,

( = 1 car 0;

= 3 16+k

2 aveck2Z: Faisons décrire àkl’ensembleZ

3 16 3 16 +

2 = 11 16 3

16 + 2 2 = 19

16 3

16 + 3 2 = 27

16 3

16 + 4 2 = 3

16 + 2 :::

D’où le résultat …nal suivant : S= 3

16;11 16 ;19

16 ;27 16 .

1.4 Résolution dans C d’une équation du second degré

Exercice 1 : Résoudre dansCl’équation

z² (3 + 4i)z 1 + 5i= 0:

Réponse :

On a à résoudre ici une équation du second degré dans C. Appliquons la théorie dédiée à ce cas de …gure. On dé…nit le discriminant

= ( (3 + 4i))² 4 1 ( 1 + 5i);

= 9 16 + 24i+ 4 20i= 3 + 4i:

L’étape suivante consiste à déterminer un nombre complexe z⁰ tel que z⁰² = . A cette …n, on détermine la forme exponentielle du nombre complexe . Précisément,

j j= q

( 3)²+ 4²=p

9 + 16 = 5 de sorte que

= 5 3 + 4i

5 = 5 (cos +isin ) = 5eⁱ avec 2i 2; h

: On pose ensuitez⁰= e^i' et l’on écrit :

z⁰²= ,z⁰ = e^i' et ²e^i2'= 5eⁱ , 8<

:

z⁰= e^i'

2= 5;

2'= + 2k aveck2Z; soit

z⁰²= , 8>

<

>:

z⁰= e^i'

=p 5;

'=

2 +k aveck2Z: On choisit de prendre z⁰ = p

5eⁱ2: Par conséquent, l’équation admet deux racines complexes conjuguées

z₁=(3 + 4i) +z⁰

2 =

(3 + 4i) +p 5 cos

2 +isin 2 2

et

z2=(3 + 4i) z⁰

2 =

(3 + 4i) p 5 cos

2+isin 2

2 :

On peut maintenant expliciter les valeurs decos

2 etsin

2:En e¤et, 8>

>>

<

>>

>:

sin = 2 sin 2cos

2; cos = 1 2 sin²

2

soit 8

>>

><

>>

>: 4

5 = 2 sin 2cos

2;

3

5 = 1 2 sin² 2: On déduit que :

sin2 = 2p 5 5 ce qui induit

sin2 = 2p 5 car 5

2i 2; h et donc

cos2 = p5

5 :

On rejecte ces deux informations dans les expressions des deux nombres com- plexesz1 etz2 pour obtenir au …nal :

z1 =

(3 + 4i) +p 5

p5 5 +i2p

5 5

!

2 ;

= (3 + 4i) + 1 + 2i

2 = 2 + 3i

et

z2 =

(3 + 4i) p 5

p5 5 +i2p

5 5

!

2 ;

= (3 + 4i) (1 + 2i)

2 = 1 +i:

En conclusion,

S=f1 +i;2 + 3ig.

2 Fractions rationnelles : décomposition en élé- ments simples

2.1 Exercice

Exercice : Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : X³ 3X²+X 4

X 1 surR,

2X³+X² X+ 1 X² 3X+ 2 surR, (3 2i)X 5 + 3i

X²+iX+ 2 sur C, X+i

X²+i surC, X

(X+i)² surC, X

(X²+ 1) (X²+ 4) surRet sur C.

Réponse :

Puisque le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, on déduit que la partie entière est ici non nulle. Déterminons la explicitement maintenant :

X³ 3X²+X 4 = (X 1) X² 2X 1 5 et donc

X³ 3X²+X 4

X 1 = (X 1) X² 2X 1 5

X 1 =X² 2X 1 5

X 1: Autrement dit, la partie entière est le polynômeX 7!X² 2X 1et la décom- position en éléments simples est alors terminée.

Même point de départ que précédemment. On écrit :

2X³+X² X+ 1 = X² 3X+ 2 (2X+ 7) + 16X 13

de sorte que :

2X³+X² X+ 1

X² 3X+ 2 = X² 3X+ 2 (2X+ 7) + 16X 13

X² 3X+ 2 ;

= 2X+ 7 + 16X 13 X² 3X+ 2;

= 2X+ 7 + 16X 13 (X 1) (X 2):

La partie entière est donc non nulle et vaut le polynômeX7!2X+ 7. Décom- posons maintenant en éléments simples la fraction rationnelle

16X 13 (X 1) (X 2): On sait que :

16X 13

(X 1) (X 2) = a

X 1 + b

X 2

et il reste à expliciter les coe¢ cients aet b. On applique la méthode suivante pour explicitera

(X 1) 16X 13

(X 1) (X 2) =a+b(X 1)

X 2

soit 16X 13

X 2 =a+b(X 1)

X 2

et on prendX = 1. Ainsi,a= 3:Sur le même principe, 16X 13

X 1 = a(X 2) X 1 +b et on opte pourX = 2, ce qui conduit àb= +19:Au …nal,

2X³+X² X+ 1

X² 3X+ 2 = 2X+ 7 3

X 1 + 19 X 2:

Le polynôme du numérateur étant de degré strictement inférieur à celui du dénominateur, la partie entière est nulle. Tâchons de factoriser le dénominateur.

Dans les faits, le polynômeX 7!X²+iX+ 2admet comme discriminant :

=i² 4 2 = 9 = (3i)²: Il admet donc les deux racines complexes suivantes :

i+ 3i

2 =i et i 3i 2 = 2i:

Par conséquent,

(3 2i)X 5 + 3i

X²+iX+ 2 =(3 2i)X 5 + 3i (X i) (X+ 2i) : Regardons ensuite siiet 2i sont deux racines du numérateur :

(3 2i)i 5 + 3i= 3i+ 2 5 + 3i= 6i 36= 0;

(3 2i) ( 2i) 5 + 3i= 6i 4 5 + 3i= 3i 96= 0 et donc

(3 2i)X 5 + 3i (X i) (X+ 2i) = a

X i+ b

X+ 2i: On multiplie parX iet on prendX =ipour obtenir :

(3 2i)X 5 + 3i

X+ 2i =a+b(X i) X+ 2i soit

a= (3 2i)i 5 + 3i

i+ 2i =6i 3

3i =2i 1

i = 2i² i = ( 2 i) = 2 +i:

Concernantb,

(X+ 2i)(3 2i)X 5 + 3i

(X i) (X+ 2i) = (X+ 2i) a X i+b puis pourX= 2i

b = (3 2i) ( 2i) 5 + 3i

2i i = 6i 4 5 + 3i

3i = 3i 9

3i ;

= i+ 3

i = ( 1 + 3i) = 1 3i:

En résumé,

(3 2i)X 5 + 3i

(X i) (X+ 2i) = 2 +i

X i+ 1 3i X+ 2i:

La partie entière est nulle ici. E¤ectuons la factorisation du polynôme X7!X²+i:On poseX = eⁱ et il vient successivement :

X²+i = 0,X²= i,X²=eⁱ 3

2 , ²eⁱ² =eⁱ 3

2 ; ,

( ₂

= 1;

2 =3

2 + 2k aveck2Z ,

( = 1 car 0;

= 3

4 +k aveck2Z:

D’où la factorisation suivante : X²+i =

0

@X eⁱ 3

4 1 A

0

@X eⁱ 7

4 1 A;

= X+

p2

2 i

p2 2

! X

p2 2 +i

p2 2

! : Il s’ensuit immédiatement que :

X+i

X²+i = X+i

X+ p2

2 i

p2 2

! X

p2 2 +i

p2 2

!;

= a

X+ p2

2 i

p2 2

+ b

X p2

2 +i p2

2 :

On écrit :

X+ p2

2 i

p2 2

! X+i X²+i =a+

b X+ p2

2 i

p2 2

!

X p2

2 +i p2

2 et donc

a =

p2 2 +i

p2 2 +i p2

2 +i p2

2 p2

2 +i p2

2

= p2

2 +i p2

2 + 1

! p2 +ip

2 ;

=

p2 2 +i

p2 2 + 1

!! p

2 ip 2 p2 +ip

2 p

2 ip

2 ;

=

1 +i p 2

p2 2 + 1

! i+p

2 p2

2 + 1

!

2 + 2i 2i+ 2 ;

= 1 +i i p

2i+ 1 +p 2

2 + 2i 2i+ 2 = 2 +p

2 p

2i 4 puis

X p2

2 +i p2

2

!

(X+i) X+

p2

2 i

p2 2

! X

p2 2 +i

p2 2

! =b+ a X

p2 2 +i

p2 2

!

X+ p2

2 i

p2 2

:

Le choixX= p2

2 i

p2

2 conduit à :

b =

p2

2 i

p2 2 +i p2

2 i

p2 2 +

p2

2 i

p2 2

= p2

2 +i 1 p2

2

! p2 ip

2 ;

= p2

2

p2 +ip

2 +i 1 p2

2

! p 2 +ip

2 p2 ip

2 p 2 +ip

2 =1 +i+i p

2 +ip

2 1 i

2 ( 2) ;

= 1 +i+ip

2 p

2 i+ 1

4 ;

= 2 +ip

2 p

2

4 = 2 p

2 +p 2i

4 :

En conclusion,

X+i X²+i =

2 +p

2 p

2i 4 X+

p2

2 i

p2 2

+

2 p

2 +p 2i 4

X

p2 2 ⁺ⁱ

p2 2

.

La partie entière est nulle. Cette fraction rationnelle se décompose en éléments simples sous la forme suivante :

X

(X+i)² = a

X+i+ b (X+i)²: On multiplie cette égalité par(X+i)²

X = (X+i)a+b et on prendX = ipour obtenir

b= i:

On multiplie ensuite parX+i X

X+i =a+ b X+i: et on choisitX = 0

0 =a+ i

i i.e. a= 1:

Au …nal,

X

(X+i)² = 1 X+i

i (X+i)².

Commençons par la factorisation surC[X]. La partie entière est nulle de sorte que :

X

(X²+ 1) (X²+ 4) = a

X+i+ b

X i + c

X+ 2i+ d X 2i: Donc 4 coe¢ cients doivent être ici déterminer. Il vient successivement :

X(X+i)

(X²+ 1) (X²+ 4) =a+b(X+i)

X i +c(X+i)

X+ 2i +d(X+i) X 2i ;

soit X

(X i) (X²+ 4) =a+b(X+i)

X i +c(X+i)

X+ 2i +d(X+i) X 2i : Le choixX= idonne

a= i

( i i) ( i)²+ 4

= i

3 ( 2i) =1 6: On continue. Concernantb;

X(X i)

(X²+ 1) (X²+ 4) =a(X i)

X+i +b+c(X i)

X+ 2i +d(X i) X 2i ;

soit X

(X+i) (X²+ 4) = a(X i)

X+i +b+c(X i)

X+ 2i +d(X i) X 2i : On opte pourX =i

b= i

(i+i) (i²+ 4) =1 6: Puis, on multiplie parX+ 2i

X(X+ 2i)

(X²+ 1) (X²+ 4) = a(X+ 2i)

X+i +b(X+ 2i)

X i +c+d(X+ 2i) X 2i ; ce qui conduit à :

X

(X²+ 1) (X 2i) =a(X+ 2i)

X+i +b(X+ 2i)

X i +c+d(X+ 2i) X 2i : On …xeX à 2i

2i

( 2i)²+ 1 ( 2i 2i)

=c soit

c= 2i

( 4i) ( 3) = 1 6:

En…n, on multiplie parX 2i X(X 2i)

(X²+ 1) (X²+ 4) = a(X 2i)

X+i +b(X 2i)

X i +c(X 2i) X+ 2i +d de sorte que :

X

(X²+ 1) (X+ 2i) =a(X 2i)

X+i +b(X 2i)

X i +c(X 2i) X+ 2i +d:

SiX = 2i

d= 2i

(2i)²+ 1 (2i+ 2i)

= 2i

( 3) (4i)= 1 6: En conclusion, la décomposition en éléments simples surC[X]est :

X

(X²+ 1) (X²+ 4) = 1

6 (X+i)+ 1 6 (X i)

1 6 (X+ 2i)

1 6 (X 2i): On déduit de cette décomposition en éléments simples surC[X]la décomposi- tion en éléments simples surR[X]suivante :

X

(X²+ 1) (X²+ 4) = X 3 (X²+ 1)

X 3 (X²+ 4):

3 Espaces vectoriels

3.1 Résumé de cours

Dé…nition : Soit K uncorps commutatif. On appelle espace vectoriel surKun ensembleE sur lequel on a dé…nideux lois de composition:

1. Uneloi interne(i.e. une application E E!E), diteaddition, notée qui véri…e :

(x y) z=x (y z) 8x; y; z2E; Distributivité x y=y x 8x; y2E; Commutativité

il existe un élément deE noté 0E, ditélément neutre, tel que : 8x2E x 0_E=x;

pour toutx2E, il existe un élément deE noté ( x), ditopposé dex, tel que8x2E x ( x) = 0_E

2. Uneloi externede domaineK(i.e. une applicationK E!E) notée ou:qui véri…e :

( x) = ( ) x 8 ; 2K; 8x2E;

( + ) x= ( x) ( x) 8 ; 2K; 8x2E;

(x y) = ( x) ( y) 8 2K; 8x; y2E;

1 x=x 8x2E

(1étant l’élément neutre de lamultiplication dansK). Les éléments deKsont ditsscalaires et ceux deE vecteurs.

Exemples :

E=Rⁿ muni des lois suivantes est un espace vectoriel surR: interne (x₁; :::; x_n) + (y₁; :::; y_n) := (x₁+y₁; :::; x_n+y_n);

externe (x1; :::; xn) := ( x1; :::; xn):

Ici, 0_Rⁿ = (0; :::;0) et l’opposé( x) dex= (x1; :::; xn)est ( x1; :::; xn): De même, Cⁿ est muni d’une structure d’espace vectoriel sur C et, plus générale- ment,Kⁿ d’une structure d’espace vectoriel sur Kavec les lois dé…nies par les formules ci-dessus.

E =Rn[X], ensemble des fonctions polynômes à coe¢ cients dansR de degré n,i.e. :

Rn[X] =fP:R!R P(x) =a0+a1x+:::+anxⁿ;ai 2Rg est un espace vectoriel surRmuni des lois :

loi interne

(a₀+a₁x+:::+a_nxⁿ) + (b₀+b₁x+:::+b_nxⁿ) := (a₀+b₀) + (a₁+b₁)x+:::+ (a_n+b_n)xⁿ;

loi externe (a₀+a₁x+:::+a_nxⁿ) := ( a₀+ a₁x+:::+ a_nxⁿ): M2(K) = fmatrices carrées d’ordre 2 à coe¢ cients dansKg. On dé…nit pourM2(K)une structure d’espace vectoriel surKen posant :

loi interne a b

c d + a⁰ b⁰

c⁰ d⁰ := a+a⁰ b+b⁰ c+c⁰ d+d⁰ ;

loi externe a b

c d := a b

c d :

L’élément neutre est évidemment la matrice nulle 0 0

0 0 et l’opposé de a b

c d est a b

c d :

Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels sur le même corpsK. On dé…nit une structure d’espace vectoriel surE1 E2 par :

loi interne (x1; x2) + (y1; y2) := (x1+y1; x2+y2); loi externe (x₁; x₂) := ( x₁; x₂):

D’une manière analogue, on dé…nit une structure d’espace vectoriel pour le produitE1 ::: En siE1; :::; En sont des espaces vectoriels sur le même corps K.

Dé…nition : Soit E un espace vectoriel et F une partie non vide de E. On dit queF est unsous-espace vectoriel deE si la restriction des lois de E à F fait deF un espace vectoriel.

En principe, pour montrer que F est un sous-espace vectoriel, il faudrait véri…er les huit axiomes de la dé…nition précédente. En fait, il su¢ t de véri…er la "stabilité" des lois de composition comme l’a¢ rme la proposition qui vient.

Proposition : Soit E un espace vectoriel et F E. Alors F est un sous- espace vectoriel deE si et seulement si :

1. F 6=?;

2. x; y2F )x+y2F 3. x2F; 2K) x2F:

La proposition suivante est laissée en exercice :

Proposition :F est unsous-espace vectoriel deE si et seulement si : 1. F 6=?;

2. x; y2F; ; 2K) x+ y2F:

Remarque : Si F est un sous-espace vectoriel alorsF contient nécessaire- ment le vecteur nul.

3.2 Série d’exercices

3.2.1 Espaces vectoriels : dé…nition, sous-espace

Exercice 1 : On dé…nit surR²des lois internes et des lois externes . Dans chacun des cas, R²; ; est-il unR-espace vectoriel?

1: (x; y) (x⁰; y⁰) = (x+x⁰; y+y⁰) et (x; y) = ( x; y): 2: (x; y) (x⁰; y⁰) = (x+x⁰; y+y⁰+ 2) et (x; y) = ( x; y): 3: (x; y) (x⁰; y⁰) = (x+x⁰; y+y⁰) et (x; y) = ( y; x): 4: (x; y) (x⁰; y⁰) = (x+x⁰; y+y⁰) et (x; y) = ( x;0): 5: (x; y) (x⁰; y⁰) = (xx⁰; yy⁰) et (x; y) = ( x; y):

6: (x; y) (x⁰; y⁰) = (x+x⁰; y+y⁰) et (x; y) = ²x; ²y : Réponse :

1. Concernant la loi interne, on démontre successivement les propriétés qui viennent. Tout d’abord,8((x; y);(x⁰; y;⁰);(x⁰⁰; y⁰⁰))2 R^{2 3}

((x; y) (x⁰; y⁰)) (x⁰⁰; y⁰⁰) = (x+x⁰; y+y⁰) (x⁰⁰; y⁰⁰);

= (x+x⁰+x⁰⁰; y+y⁰+y⁰⁰)

= (x; y) ((x⁰; y⁰) (x⁰⁰; y⁰⁰)): De plus,8((x; y);(x⁰; y;⁰))2 R^{2 2}

(x; y) (x⁰; y⁰) = (x+x⁰; y+y⁰) = (x⁰+x; y⁰+y) = (x⁰; y⁰) (x; y): Le couple (0;0)2R²est l’élément neutre puisque

8(x; y)2R² (x; y) (0;0) = (x; y); 8(x; y)2R² (0;0) (x; y) = (x; y):

En…n pour tout élément(x; y)2R², on peut dé…nir l’opposé de(x; y) comme étant le couple( x; y)et véri…ant :

(x; y) ( x; y) = (0;0); ( x; y) (x; y) = (0;0):

Il reste maintenant à s’assurer des propriétés satisfaites par la loi externe. Il vient successivement que8( ; )2R²et 8(x; y)2R²

( (x; y)) = (( x; y)) = ( x; y) = ( ) (x; y) et

( + ) (x; y) = (( + )x; y) = ( x+ x; y):

Or

( (x; y)) ( (x; y)) = ( x; y) ( x; y) = ( x+ x; y+y) de sorte que l’égalité

( + ) (x; y)6= ( (x; y)) ( (x; y))

ne soit pas réalisée8( ; )2R²et8(x; y)2R². Par conséquent, R²; ; ne dé…nit pas unR-espace vectoriel.

2. Concernant la loi interne, on établit les propriétés qui viennent. Tout d’abord,8((x; y);(x⁰; y;⁰);(x⁰⁰; y⁰⁰))2 R^{2 3}

((x; y) (x⁰; y⁰)) (x⁰⁰; y⁰⁰) = (x+x⁰; y+y⁰+ 2) (x⁰⁰; y⁰⁰);

= (x+x⁰+x⁰⁰; y+y⁰+ 2 +y⁰⁰+ 2);

= (x+x⁰+x⁰⁰; y+y⁰+y⁰⁰+ 4): Parallèlement, il vient :

(x; y) ((x⁰; y⁰) (x⁰⁰; y⁰⁰)) = (x; y) (x⁰+x⁰⁰; y⁰+y⁰⁰+ 2);

= (x+x⁰+x⁰⁰; y+y⁰+y⁰⁰+ 2 + 2);

= (x+x⁰+x⁰⁰; y+y⁰+y⁰⁰+ 4) de sorte que l’égalité

((x; y) (x⁰; y⁰)) (x⁰⁰; y⁰⁰) = (x; y) ((x⁰; y⁰) (x⁰⁰; y⁰⁰)) soit satisfaite.

De plus,8((x; y);(x⁰; y;⁰))2 R^{2 2}

(x; y) (x⁰; y⁰) = (x+x⁰; y+y⁰+ 2) = (x⁰+x; y⁰+y+ 2) = (x⁰; y⁰) (x; y): Le couple (0; 2)2R² est l’élément neutre puisque

8(x; y)2R² (x; y) (0; 2) = (x; y); 8(x; y)2R² (0; 2) (x; y) = (x; y):

En…n pour tout élément(x; y)2R², on peut dé…nir l’opposé de(x; y) comme étant le couple( x; 4 y)et véri…ant :

(x; y) ( x; 4 y) = (0; 2):

Il reste maintenant à s’assurer des propriétés satisfaites par la loi externe. Il vient successivement que8( ; )2R²et 8(x; y)2R²

( (x; y)) = (( x; y)) = ( x; y) = ( ) (x; y) et

( + ) (x; y) = (( + )x;( + )y) = ( x+ x; y+ y):

Or

( (x; y)) ( (x; y)) = ( x; y) ( x; y) = ( x+ x; y+ y+ 2) de sorte que l’égalité

( + ) (x; y) = ( (x; y)) ( (x; y))

ne soit pas réalisée8( ; )2R²et8(x; y)2R². Par conséquent, R²; ; ne dé…nit pas unR-espace vectoriel.

Exercice 2 : Déterminer lesquels des ensembles E1; E2; E3 et E4 sont des sous-espaces vectoriels deR³ et préciser leur dimension :

E1= (x; y; z)2R³ x+y z=x+y+z= 0 ; E2= (x; y; z)2R³ x² z²= 0 ;

E3= (x; y; z)2R³ e^xe^y = 0 ; E₄= (x; y; z)2R³ z x²+y² = 0 :

Exercice 3 : Parmi les ensembles suivants, reconnaître ceux qui sont des sous-espaces vectoriels :

E₁= (x; y; z)2R³ x+y+a= 0 et x+ 3az= 0 ; E₂=ff 2F(R;R) f(1) = 0g;

E₃=ff 2F(R;R) f(0) = 1g; E₄=fP2Rn[X] P⁰= 3g;

E₅= (x; y)2R² x+ y+ 1 0 : 3.2.2 Systèmes de vecteurs

Exercice 4 : Les familles suivantes sont-elles libres?

!v1(1;0;1);!v2(0;2;2) et !v3(3;7;1) dansR³;

!v1(1;0;0);!v2(0;1;1) et !v3(1;1;1) dansR³;

!v1(1;2;1;2;1);!v2(2;1;2;1;2); !v3(1;0;1;1;0) et!v4(0;1;0;0;1) dansR⁵;

!v1(2;4;3; 1; 2;1);!v2(1;1;2;1;3;1) et!v3(0; 1;0;3;6;2) dansR⁶;

!v1(2;1;3; 1;4; 1);!v2( 1;1; 2;2; 3;3) et!v3(1;5;0;4; 1;7) dansR⁶:

Exercice 5 : SoientE etF les sous-espaces vectoriels deR³suivants engen- drés respectivement par les vecteurs

8<

: 0

@ 2 3 1

1 A;

0

@ 1 1 2

1 A

9=

;

et 8

<

: 0

@ 3 7 0

1 A;

0

@ 5 0 7

1 A

9=

;: Montrer queE etF sont égaux.

3.2.3 Dimension et somme directe

Exercice 6 : Soient!e1(0;1; 2;1);!e2(1;0;2; 1);!e3(3;2;2; 1);!e4(0;0;1;0) et !e5(0;0;0;1) des vecteurs de R⁴: Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justi…ez votre réponse.

1. V ectf!e₁;!e₂;!e₃g=V ectf(1;1;0;0);( 1;1; 4;2)g; 2. (1;1;0;0)2V ectf!e₁;!e₂g \V ectf!e₂;!e₃;!e₄g; 3. dim (V ectf!e₁;!e₂g \V ectf!e₂;!e₃;!e₄g) = 1;

4. V ectf!e₁;!e₂g+V ectf!e₂;!e₃;!e₄g=R⁴;

5. V ectf!e₄;!e₅g est un s.e.v. de supplémentaireV ectf!e₁;!e₂;!e₃g dansR⁴:

Exercice 7 : Déterminer pour quelles valeurs det2Rles vecteurs 0

@ 1 0 t

1 A,

0

@ 1 1 t

1 Aet

0

@ t 0 1

1 A

forment une base deR³: Exercice 8 : Soit(P

)le système d’équations linéaires : 8<

:

x+ 3y+ 2z= 0;

x+y+z+t= 0;

x t= 0:

Montrer que l’ensemble des solutions de(P

)forme un sous-espace vectoriel F deR⁴. Déterminer la dimension et une base de F.

Exercice 9 : On considère dansR⁴les vecteurs

e1= 0 BB

@ 1 2 3 4

1 CC A; e2=

0 BB

@ 1 1 1 3

1 CC A; e3=

0 BB

@ 2 1 1 1

1 CC A; e4=

0 BB

@ 1 0

1 2

1 CC

Aete5= 0 BB

@ 2 3 0 1

1 CC A.

SoientE l’espace vectoriel engendré pare1; e2 et e3 et F celui engendré pare4

ete5:Calculer les dimensions respectives deE; F; E\F etE+F.

4 Applications linéaires

4.1 Résumé de cours

La notion d’espace vectoriel ne devient vraiment intéressante que si l’on introduit la notion d’application linéaire. Il s’agit des applications entre espaces vectoriels qui, dans un sens que nous allons préciser, conservent la structure d’espace vectoriel.

Dé…nition : Soient E et E⁰ deux espaces vectoriels sur le même corps Ket f une application deE dansE⁰. On dit quef est linéaire si :

1. f(v+w) =f(v) +f(w) 8v; w2E;

2. f( v) = f(v) 8v2E;8 2K.

L’ensemble des applications linéaires deE dansE⁰ est notéL_K(E; E⁰)ou, plus simplement,L(E; E⁰).

Remarque : Sif est linéaire, on a : f(0) = 0.

Dé…nition : On appelleendomorphisme deEune application linéaire deE dansE(même espace de départ et d’arrivée). L’ensemble des endomorphismes de E est noté End_K(E) ou plus simplement End(E). On appelle isomor- phisme deE sur E⁰ une application linéaire bijective de E dansE⁰. Soit E un espace vectoriel surK. On appelle forme linéaire surE une application linéairef :E!K.

Proposition : Soitf :E !E⁰ une application linéaire etF un sous-espace vectoriel deE: Alors f(F) est un sous-espace vectoriel deE⁰: En particulier, f(E) est un sous-espace vectoriel deE⁰ appelé image de f et noté Imf: Sa dimension est appelée rang def et est notéergdef:

rgf := dim (Imf).

Proposition : Soitf 2L(E; E⁰). Alorsf est injective si et seulement si kerf =f0g.

Théorème de la dimension : Soient E et E⁰ deux espaces vectoriels de di- mension …nie etf :E!E⁰ une application linéaire. On a alors :

dimE=rgf+ dim (kerf).

Corollaire : Soitf 2L(E; E⁰),EetE⁰étant deux espaces vectoriels de même dimension …nie (en particulier par exemple f 2 EndE avec E de dimension

…nie). Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : a)f est injective,

b)f est surjective, c)f est bijective.

4.2 Série d’exercices

4.2.1 Applications linéaires : dé…nition

Exercice 1 : Déterminer si les applicationsfi suivantes sont linéaires : 1. f1: (x; y)2R²7!(2x+y; x y)2R²;

2. f2: (x; y; z)2R³7!(xy; x; y)2R³;

3. f₃: (x; y; z)2R³7!(2x+y+z; y z; x+y)2R³; 4. f₄:P 2R[X]7!P⁰ 2R[X];

5. f₅:P 2R3[X]7!P⁰2R3[X];

6. f₆:P 2R3[X]7!(P( 1); P(0); P(1))2R³; 7. f₇:P 2R[X]7!P (X 2)P⁰2R[X]:

4.2.2 Applications linéaires : image et noyau

Exercice 2 : Soit f : R⁴!R³;

(x; y; z; t)7!(x y+z+t; x+ 2z t; x+y+ 3z 3t): Déterminer une base dekerf et une base deImf.

4.2.3 Applications linéaires : injectivité et surjectivité

Exercice 3 : Soit(!e1;!e2;!e3)une base deR³et un nombre réel. Démontrer que la donnée de :

8<

:

(!e1) =!e1+!e2; (!e₂) =!e₁ !e₂; (!e₃) =!e₁+ !e₃

dé…nit une application linéaire deR³dansR³. Ecrire l’image du vecteur

!v =a1!e1+a2!e2+a3!e3. Comment choisir pour que soit injective? surjective?

4.2.4 Applications linéaires : matrices

Exercice 4 : Soit

A= 0

@ 0 0 0

2 1 1

2 0 2

1 A.

1. CalculerA³ 3A²+ 2A:

2. Quel est le reste de la division euclidienne deXⁿ parX³ 3X²+ 2X? 3. CalculerAⁿ pourn2N.

4. A est-elle inversible?

Exercice 5 : Calculer l’inverse de 0

@ 1 2 1

1 2 1

2 2 1

1 A.

Exercice 6 : Calculer le déterminant de la matrice suivante : 0

BB

@

m 0 1 2m

1 m 0 0

0 2m+ 2 m 1

m 0 0 m

1 CC A.

Calculer alors suivant la valeur du paramètremle rang de cette matrice.

5 Réduction d’endomorphismes : diagonalisa- tion et trigonalisation

5.1 Résumé de cours

Dans toute la suite,Edésigne un espace vectoriel de dimension …nien. La clé de la diagonalisation et de la trigonalisation est la notion de vecteur propre (dont la dé…nition reste valable en dimension in…nie).

Dé…nition : Soitf 2End_K(E): Un vecteurv2E est ditvecteur propre def si :

1. v6=0,

2. 9 2K f(v) = v:

Le scalaire est ditvaleur proprecorrespondante à v.

Théorème : f 2End_K(E)est diagonalisable si et seulement s’il existe une base deE formée de vecteurs propres.

Proposition : Soit f 2End_K(E)oùE est un espace vectoriel de dimension

…nien. Les valeurs propres def sont les racines du polynôme : Pf( ) := det (f Id).

Pf est un polynôme de degrén, appelépolynôme caractéristique def.

Remarque : On notera indi¤éremmentPf ou _f.

Proposition : Soit 2K. On note :

E :=fv2E f(v) = vg.

E est un sous-espace vectoriel de Editespace propre correspondant à .

Remarque : Si n’est pas valeur propre alors E = f0g et si est valeur propre alors

E =fvecteurs propres associés à g [ f0g et dimE 1:

Proposition : Soit f 2 End_K(E) et une valeur propre de multiplicité (i.e. est racine d’ordre deP_f). Alors :

1 dimE .

5.1.1 Diagonalisation

Dé…nition :

1) Soit f 2 L(E): On dit que f est diagonalisable si et seulement s’il existe une baseBdeE telle queM at_B(f)soit diagonale.

2) Soit A2 Mn(K). On dit que Aest diagonalisablesi et seulement s’il existe une matrice diagonaleD deMn(K)semblable àA:

Si A 2 Mn(K) est diagonalisable, on appelle diagonalisation de A la donnée deP, Det P ¹telles que :

P2GLn(K)et A=P DP ¹.

Clairement, diagonaliserA, c’est déterminer les trois matricesP,DetP ¹:Au lieu de diagonalisable, on dit aussiréductible à la forme diagonale.

Remarque :

1) Soient f 2 L(E), B⁰ une base de E et A = M at_B(f). Alors f est diagonalisable si et seulement siAest diagonalisable.

2) Toute matrice diagonale est diagonalisable.

Dé…nition : f est diagonalisable si et seulement si E est somme directe d’espaces propres,i.e.,en notant ₁; :::; _p les valeurs propres deux à deux dis- tinctes def, f est diagonalisable si et seulement si :

E=E ₁ ::: E _p, ce qui est équivalent à :

dimE= dimE ₁+:::+ dimE _p.

Théorème : Soitf 2End_K(E). f est diagonalisable si et seulement si : 1. P_f est scindé dansK, ce qui veut dire que

P_f(X) = ( 1)ⁿ(X ₁) ¹:::(X _p) ^p avec ₁; :::; _p2Ket ₁+:::+ _p=n;

2. pour chaque valeur propre _i de multiplicité on a : dimE _i = _i.

Corollaire : Sif admetnvaleurs propres deux à deux distinctes alorsf est diagonalisable.

Remarque : Soitf 2End_K(E):Alorsf peut ou ne pas être diagonalisable surKet, de plus, en pratique,f peut être diagonalisable surCet ne pas l’être sur R. Il faudra donc préciser de façon systématique le corps sur lequel on envisage la diagonalisation.

Tout ceci nous amène donc à la trigonalisation ou triangularisation.

5.1.2 Trigonalisation

Dé…nition :

1) Soitf 2 L(E):On dit quef esttrigonalisablesi et seulement s’il existe une baseBdeE telle queM at_B(f)soit triangulaire.

2) SoitA 2 Mn(K). On dit queA est trigonalisablesi et seulement s’il existe une matrice triangulaireT deMn(K)semblable àA:

SiA2 Mn(K)est trigonalisable, on appelletrigonalisation deAla don- née deP,T etP ¹ telles que :

P2GLn(K),T 2Tn;s(K)ouTn;i(K)et A=P T P ¹. Clairement,trigonaliserA,c’est déterminer les trois matrices

P; T et P ¹:

Au lieu de trigonalisable, on dit aussi triangulable ou triangularisable ou réductible à la forme triangulaire.

Remarque :

1) Soient f 2 L(E), B⁰ une base de E et A = M at_B(f). Alors f est trigonalisable si et seulement siAest trigonalisable.

2) Toute matrice triangulaire est trigonalisable.

Théorème :

1) Soit A 2 Mn(K). On démontre que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

A est trigonalisable surK;

Aest scindé sur K:

2) Soitf 2 L(E). Les deux propriétés suivantes sont équivalentes : f est trigonalisable surK;

f est scindé surK: Corollaire :

1) SoitE unC evnde dimension …nienavecn 1:Tout endomorphisme deEest trigonalisable.

2) Toute matrice carrée deMⁿ(C) (n 1)est trigonalisable.

Exemple : SoitA= 2

4 4 0 2

0 1 0

5 1 3

3

5. On a clairement

A(X) = (X 1)²(X+ 2): Le polynôme caractéristique est scindé dansR:De plus,

ker (A+ 2I3) =V ectf( 1;0;1)gsi bien quedim (ker (A+ 2I3)) = 16=mul- tiplicité de la valeur propre 2;

ker (A I₃) =V ectf(2;0; 5)g etdim (ker (A I₃)) = 1 =multiplicité de la valeur propre1:

Donc A n’est pas diagonalisable sur R ni sur C: En revanche, puisque le polynôme caractéristique est scindé dansR; Aest trigonalisable dansR:En re- gardantAcomme la matrice d’un endomorphismef deR³ dans la base canon- ique, on sait qu’il existe une baseB=fv₁; v₂; v₃gdeR³ telle que :

M at_B(f) = 0

@ 1 a b 0 1 c

0 0 2

1 A:

Ceci signi…e que :

f(v1) =v1; f(v2) =av1+v2; f(v3) =bv1+cv2 2v3:

calcul dev1:l’équation(f Id) (v1) = 0donne : 5x 2z= 0;

5x+y+ 2z= 0 et l’on peut prendrev₁= (2;0; 5):

calcul dev₂:l’équation(f Id) (v₂) =av₁donne : 5x 2z= 2a;

5x+y+ 2z= 5a d’où par exemple en prenanta= 1 v2= ( 2; 3;4):

calcul de v3 : on sait qu’il existe un vecteur propre v correspondant à la valeur propre 2,i.e. tel quef(v) = 2v:On peut prendre donc

v₃=v etb=c= 0:

En résolvant(f+ 2Id)v₃= 0, on trouve : 2x 2z= 0;

3y= 0

soitv3= (1;0; 1):Ainsi,Aest semblable à la matrice 2

4 1 1 0 0 1 0

0 0 2

3 5 et la matrice de passage est

2

4 2 2 1

0 3 0

5 4 1

3 5:N

Exemple : Trigonaliser la matriceA= 2

4 2 1 2

15 6 11 14 6 11

3 5:

Les calculs indiquent que _A( ) = ( 1)³. Par conséquent, _A est scindé sur R et admet une racine réelle 1 de multiplicité 3. On a de plus la carac- térisation ker (A I₃) = V ectf(1;1;2)g de sorte que f(1;1;2)g soit une base de ker (A I3) d’une part et dim (ker (A I3)) = 1 d’autre part. Puisque dim (ker (A I3))6=multiplicité de la valeur propre 1, on conclut que A n’est pas diagonalisable surR. En tenant un raisonnement analogue sur le corpsC; on arrive bien sûr à la conclusion queAn’est pas diagonalisable surC. Ce point précisé, on sait en revanche que A est trigonalisable sur R (ou surC) comme conséquence du caractère scindé surR(ou surC)du polynôme caractéristique.

E¤ectuons la trigonalisation sur Rde cette matrice. A cette …n, on introduit l’endomorphismef dont la matrice représentative dans la base canonique deR³

est A et la base B = fv1; v2; v3g avec v1 = (1;1;2) telle que f soit sur cette nouvelle base représenté par la matrice triangulaire suivante :

2

4 1 a b 0 1 c 0 0 1

3 5

où les coe¢ cients a; b et c à déterminer sont des réels. On a clairement les égalités suivantes :

f(v₁) =v₁; f(v₂) =av₁+v₂; f(v₃) =bv₁+cv₂+v₃: Calculons les vecteursv₂ etv₃: Tout d’abord,

(f Id) (v₂) = av₁, 2

4 3 1 2

15 7 11 14 6 10

3 5 2 4 x

y z

3 5=

2 4 a

a 2a

3 5; , x= ; y= 3a+ etz= 2a+ 2 ; 2R:

Avec le choix suivanta = 1, il s’ensuit que x = ; y = 3 + et z = 2 + 2 et on opte pour le vecteur v2 = (0;3;2): Tenons le même raisonnement pour déterminer le vecteurv3partant du fait que :

(f Id) (v3) = bv1+cv2, 2

4 3 1 2

15 7 11 14 6 10

3 5 2 4 x

y z

3 5=

2 4 b

b+ 3c 2b+ 2c

3 5; , x= ; y= 3b 2c+ etz= 2b c+ 2 ; 2R: Avec le choix suivantb= 2et c= 3, on trouve quex= ; y= et z= 1 + 2 et on opte pour le vecteurv3= (0;0;1):Au …nal, on véri…e :

1 0 0 1 3 0 2 2 1

= 36= 0

si bien que la familleB=fv₁; v₂; v₃gconstitue bien une base deR³ telle que : 2

4 1 1 2 0 1 3 0 0 1

3

5=P ¹AP = 2

4 1 0 0

1 3

1

3 0

4 3

2 3 1

3 5 2

4 2 1 2

15 6 11 14 6 11

3 5 2

4 1 0 0 1 3 0 2 2 1

3 5:N

Nous allons maintenant nous attarder sur la réduction de Jordan qui est une méthode de triangularisation très e¢ cace et facile à mettre en place. A cette

…n, il est indispensable de dé…nir les polynômes annulateurs en général et plus particulièrement le polynôme minimal.

Polynômes annulateurs Théorème de Cayley-Hamilton : 1. 8f 2 L(E) _f(f) = 0;

2. 8A2 Mn(K) _A(A) = 0:

Remarque : Le polynôme caractéristique _f de f (resp. A) annulef (resp.

A).

Polynôme minimal Dé…nition : Soit f 2 L(E): On dit que f admet un polynôme minimal si et seulement si :

fP 2K[X] P(f) = 0g 6=f0g.

Si f admet un polynôme minimal, il existeun polynôme unitaire unique, noté f oumf, tel que :

fP 2K[X] P(f) = 0g= _fK[X]

et f est appelé le polynôme minimal def.

Dé…nition : Soit f 2 L(E): On appelle polynôme minimal de f le polynôme normalisé annulateur def de degré le plus petit.

Remarque : La terminologie unitaire ou normalisé signi…e que le coe¢ cient du terme de plus haut degré vaut1:

Proposition :

1) SoitA2M_n(K):Il existe un polynôme unitaire unique, noté _Aoum_A, tel que

fP 2K[X] P(A) = 0g= AK[X]

et _A est appelé le polynôme minimal deA:

2) Soient E un K ev de dimension …nie, f 2 L(E): Alors f admet un polynôme minimal.

Proposition : Soit f 2 L(E): P 2 K[X] est un polynôme annulateur def si et seulement s’il est un multiple de _f,i.e. _f diviseP:

Proposition : Soient E unK ev de dimension …nie 1 et f 2 L(E):On démontre que f et _f ont les mêmes diviseurs irréductibles.

Corollaire :

1) SoientEunK ev de dimension …nie 1 etf 2 L(E):On a :

1

f (f0g) =Sp_K(f).

2) SoitA2Mn(K): On a :

1

A (f0g) =Sp_K(A).

Proposition : Détermination du polynôme minimal. Soit f 2 L(E): Les racines de f sont exactement les racines de _f, i.e. les valeurs propres mais avec une multiplicité en général di¤érente. Plus précisément, si on considère _f sous la forme suivante :

f(X) = ( 1)ⁿ(X 1) ¹(X 2) ²...(X p) ^p avec

i6= j dés quei6=j;

1+:::+ p=n on a :

f(X) = (X ₁) ¹(X ₂) ²:::(X _p) ^p avec1 _{i i}.

Exemple : 1)A=

0

@ 0 1 2 1 0 2 1 2 0

1

A. Il vient _A(X) = (X+ 1) (X+ 2) (X 3)et donc

A(X) = (X+ 1) (X+ 2) (X 3): 2)A=

0

@ 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

A. On trouve _A(X) = (X 1) (X+ 2)²et l’on a ainsi deux possibilités pour le polynôme minimal :

A(X) = (X+ 1) (X+ 2); ou _A(X) = (X+ 1) (X+ 2)²: