A490. Des restes à (con)sommer
Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)^3 par k^3 est égale à 999 949, que vaut, pour k variant toujours de 2 à n,
Q1 la somme des restes des divisions de (k + 1)^2 par k^2 ? Q2 la somme des restes des divisions de (k + 1)^4 par k^4 ?
Nota: les solutions manuelles sont préférées à celles qui font appel à un tableur ou à un automate.
Question 1 :
(k+1)^3/k^3 = 1 + 3k^2/k^3 + 3k/k^3 + 1/k^3
Donc la somme des restes de la division est égale à la somme des parties du numérateur inférieure à k^3.
Σ[(k+1)^3/k^3 mod(1)] x k^3 = Σ(3k^2+ 3k + 1)
On peut faire ces trois sommes séparément en traitant à part les cas (k=1), (k=2) et (k=3) pour lesquels 3/k + 3/k^2 + 1/k^3 >1.
pour k = 1 : 8/1 => il faudra retirer 8 au final.
Pour k = 2 : 19/8 => il faudra retirer 16 au final pour k = 3 : 37/27 => il faudra retirer 27 au final Σ(3k^2) = 3 k (k+1) (2k+1) /6
Σ(3k) = 3 k (k+1) /2 Σ(1) = k
La somme des restes est donc : k + 3 k (k+1) /2 + 3 k (k+1) (2k+1) /6 -51 Soit, en simplifiant : Σ(restes) = (k+1)^3 – 51
Il reste à résoudre (k+1)^3 = 1000000 ce qui donne k = 99
On peut traiter les deux autres cas en ajoutant Σ(k^3) = [ k (k+1) /2 ]^2 Ce qui donne :
Question 2 :
Σrestes [(k+1) ^2/k^2] = (k+1)^2 - 8
Σ restes [(k+1) ^2/k^2] = 9992 Question 3 :
Σrestes [(k+1) ^4/k^4] = 'k+1)^4 – 1123
Σ restes [(k+1) ^4/k^4] = 99998877
D'une manière générale :
