D10216. Un ex-voto japonais
Les Japonais donnent volontiers `a leurs ex-voto (Sangaku) des formes g´eom´e- triques `a base de cercles. Par exemple, on trace une droiteDo`u sont marqu´es des points A1, A2, . . . (dans cet ordre) tels que les cercles inscrits dans les trianglesOAiAi+1 ont mˆeme rayon (O´etant un point donn´e ext´erieur `aD) quel que soiti.
Montrer que le rayon du cercle inscrit dans le triangleOAiAi+m d´epend de m mais non dei.
Solution
Les triangles OAiAi+1 ont en commun le rayon r du cercle inscrit et la hauteur h abaiss´ee de O sur la droite D.
Or dans un triangleABC inscrit dans un cercle de rayonR, les expressions classiques der ethAdonnent
2r hA
= 8Rsin(A/2) sin(B/2) sin(C/2) 2RsinBsinC =
= cos(B+C)/2
cos(B/2) cos(C/2) = 1−tanB 2 tanC
2, d’o`u cotC
2 = hA
hA−2rtanB 2.
Il en r´esulte que les quantit´es ti = tan(OAiAi+1/2) sont en progression g´eom´etrique, avec pour raison
λ=h/(h−2r), puisque
ti+1= tanOAi+1Ai+2
2 = cotOAi+1Ai
2 =
= h
h−2rtanOAiAi+1
2 = h
h−2rti.
Quand on prend dans la suiteti un terme surm, on obtient une progression g´eom´etrique de raisonλm, et on en tire le rayon du cercle inscrit au triangle OAiAi+m
rm = (1−λ−m)h/2,
ind´ependant de icomme annonc´e.
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