A154 L’étrange propriété d’un nombre astronomique [* à la main]

A154 L’étrange propriété d’un nombre astronomique [* à la main]

Solution

La longueur L=46 du nombre N=1063829787234042553191489361702127659574468085 doit mettre la puce à l’oreille de Théophile. En effet L+1 = 47 est un nombre premier et il est bien connu que si un nombre premier p a une représentation décimale de 1/p qui comporte un nombre périodique A de longueur égale à p-1, alors la représentation décimale de a/p (a entier quelconque distinct de p) comporte elle aussi un nombre périodique B qui est une permutation circulaire de A. Les nombres premiers qui ont cette propriété sont respectivement 7, 17, 19, 23, 29, 47, etc…

Or on vérifie aisément que :

1/ 47 = 0,02127659574468085106382978723404255319148936170212765957446808….

comporte la séquence de 46 chiffres surlignés en jaune qui est une permutation circulaire de N et 5 / 47 = 0,NNNNN…

Dès lors en multipliant N par les entiers a compris entre 2 et 9 on obtient 8 nombres à 46 chiffres qui sont des permutations circulaires de N. Quand le multiplicateur a est compris entre 10 et 46, on obtient des nombres de 47 chiffres dont les 45 chiffres médians se retrouvent dans l’une des permutations circulaires P de N et la somme des deux chiffres extrêmes est égale au 46

terme de la permutation P.

Tous ces résultats peuvent être vérifiés dans le tableau ci-après et les chiffres communs de a*N et de N apparaissent sur fond vert clair.

a = 47 est alors le premier nombre qui donne un résultat tout à fait nouveau car il vaut

49999999999……….99999995, qui n’a plus rien de commun bien évidemment avec N.

N= 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 Correspondance

a -1er chiffre du

cycle 1 10 6 13 36 31 28 45 27 35 21 22 32 38 4 40 24 5 3 30 18 39 14 46 37 41 34 11 16 19 2 20 12 26 25 15 9 43 7 23 42 44 17 29 8 33 Produit a*N==>

pour a=

2 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 3 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 4 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 6 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 7 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 8 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 9 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 10 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 0 11 1 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 5 12 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 0 13 1 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 5 14 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 0 15 1 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 5 16 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 0 17 1 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 5 18 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 0 19 2 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 5 20 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 0 21 2 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 5 22 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 0 23 2 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 5 24 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 0 25 2 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 5 26 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 0 27 2 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 5 28 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 0 29 3 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 5 30 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 0 31 3 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 5 32 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 0 33 3 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 5 34 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 0 35 3 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 5 36 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 0 37 3 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 5 38 3 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 0 39 4 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 5 40 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 0 41 4 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 5 42 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 0 43 4 5 7 4 4 6 8 0 8 5 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 44 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 0 45 4 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 5 46 4 8 9 3 6 1 7 0 2 1 2 7 6 5 9 5 7 4 4 6 8 0 8 5 1 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2 3 4 0 4 2 5 5 3 1 9 1 4 47 4 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 5