D234 1,2,3,…Pythagore [*** à la main]

D234 1,2,3,…Pythagore [*** à la main]

Solution

Soient I,J,K,L les projections de M sur les côtés AB,BC,CD et DA du carré. Une rotation de centre B et d’angle

2

 amène le point A en C et M en un point N tel que BN = BM et 4

MN²  . Les triangles ABM et CBN étant égaux, CN = 1 et comme

2 2

2 8 9 1 MC NC

MN      ,d’après Pythagore, le triangle MNC est rectangle en N.

Comme

4 BNM π BMN 

 , on a AMB

4 BNC3π 

 et AMN = AMB+

BMN=π . Les points A,M et N sont alignés. Soit H la projection de B sur AN. D’où AB = 2

) 2 (1 BH

AH² ²   ² = 52 2 .L’aire du triangle AMB est égale à AB*MI/2 = AM*BH/2 =

2 2 . D’où MI =

17 2 4 10 2

2 5

2 

  , MK = AB – MI = 52 2 -

2 2 5

2

 =

17 2 4 95

, ML = AM²MI² =

17 2 4 1 10

 =

17 2 4 7

et MJ =

2

2 MJ

BM  =

17 2 4 4 10

 =

17 2 4 58

.

Comme au coefficient 17 près , 954 2  584 2  104 2  74 2 = MK – MJ + MI – MJ = 0, la valeur de l’expression E est nulle.