Logique des propositions
Damien Nouvel
Fondements de la logique
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales 3. Dérivations logiques 4. Problème / exercice
Fondements de la logique
Notions élémentaires
§ Lemonde de la logique formelle classique
‚ Valeurs devérité: vrai, faux
‚ Mondeouvert(nonclos)
‚ Manipulation depropositions ñ Pas d’ambigüités (tiers exclu) ñ Monde discret (logique non floue)
§ Validité d’une proposition
‚ Syntaxique: est-elle bien formée ?
‚ Sémantique : a-t-elle du sens ?
§ Validité d’un raisonnement
‚ Prémisses: propositions en condition (antécédent)
‚ Conclusion: proposition en conséquence
ñ Est-ce que les prémisses sontsuffisantes (et nécessaires) ?
Fondements de la logique
Notions élémentaires
§ Lemonde de la logique formelle classique
‚ Valeurs devérité: vrai, faux
‚ Mondeouvert(nonclos)
‚ Manipulation depropositions
ñ Pas d’ambigüités (tiers exclu) ñ Monde discret (logique non floue)
§ Validité d’une proposition
‚ Syntaxique: est-elle bien formée ?
‚ Sémantique : a-t-elle du sens ?
§ Validité d’un raisonnement
‚ Prémisses: propositions en condition (antécédent)
‚ Conclusion: proposition en conséquence
ñ Est-ce que les prémisses sontsuffisantes (et nécessaires) ?
Fondements de la logique
Notions élémentaires
§ Lemonde de la logique formelle classique
‚ Valeurs devérité: vrai, faux
‚ Mondeouvert(nonclos)
‚ Manipulation depropositions ñ Pas d’ambigüités (tiers exclu) ñ Monde discret (logique non floue)
§ Validité d’une proposition
‚ Syntaxique: est-elle bien formée ?
‚ Sémantique : a-t-elle du sens ?
§ Validité d’un raisonnement
‚ Prémisses: propositions en condition (antécédent)
‚ Conclusion: proposition en conséquence
ñ Est-ce que les prémisses sontsuffisantes (et nécessaires) ?
Fondements de la logique
Notions élémentaires
§ Lemonde de la logique formelle classique
‚ Valeurs devérité: vrai, faux
‚ Mondeouvert(nonclos)
‚ Manipulation depropositions ñ Pas d’ambigüités (tiers exclu) ñ Monde discret (logique non floue)
§ Validité d’une proposition
‚ Syntaxique: est-elle bien formée ?
‚ Sémantique: a-t-elle du sens ?
§ Validité d’un raisonnement
‚ Prémisses: propositions en condition (antécédent)
‚ Conclusion: proposition en conséquence
ñ Est-ce que les prémisses sontsuffisantes (et nécessaires) ?
Fondements de la logique
Notions élémentaires
§ Lemonde de la logique formelle classique
‚ Valeurs devérité: vrai, faux
‚ Mondeouvert(nonclos)
‚ Manipulation depropositions ñ Pas d’ambigüités (tiers exclu) ñ Monde discret (logique non floue)
§ Validité d’une proposition
‚ Syntaxique: est-elle bien formée ?
‚ Sémantique: a-t-elle du sens ?
§ Validité d’un raisonnement
‚ Prémisses: propositions en condition (antécédent)
‚ Conclusion: proposition en conséquence
ñ Est-ce que les prémisses sontsuffisantes (et nécessaires) ?
Fondements de la logique
Quelques exemples
§ Raisonnements non valides à divers niveaux
‚ Syntaxe
‚ Aristote mortel est ñ Syntaxe de laprédication ñ Contrainte liée au langage
‚ Sémantique
‚ Tout Socrates est mortel ñ Sémantique de laquantification ñ Contrainte liée au sens des symboles
‚ Raisonnement
‚ Tout chat est mortel
‚ OrSocrates est mortel
‚ DoncSocrates est un chat ?! ñ Règles d’inférence (déduction)
Fondements de la logique
Quelques exemples
§ Raisonnements non valides à divers niveaux
‚ Syntaxe
‚ Aristote mortel est ñ Syntaxe de laprédication ñ Contrainte liée au langage
‚ Sémantique
‚ Tout Socrates est mortel ñ Sémantique de laquantification ñ Contrainte liée au sens des symboles
‚ Raisonnement
‚ Tout chat est mortel
‚ OrSocrates est mortel
‚ DoncSocrates est un chat ?! ñ Règles d’inférence (déduction)
Fondements de la logique
Quelques exemples
§ Raisonnements non valides à divers niveaux
‚ Syntaxe
‚ Aristote mortel est ñ Syntaxe de laprédication ñ Contrainte liée au langage
‚ Sémantique
‚ Tout Socrates est mortel ñ Sémantique de laquantification ñ Contrainte liée au sens des symboles
‚ Raisonnement
‚ Tout chat est mortel
‚ OrSocrates est mortel
‚ DoncSocrates est un chat ?! ñ Règles d’inférence (déduction)
Fondements de la logique
Quelques exemples
§ Raisonnements non valides à divers niveaux
‚ Syntaxe
‚ Aristote mortel est ñ Syntaxe de laprédication ñ Contrainte liée au langage
‚ Sémantique
‚ Tout Socrates est mortel ñ Sémantique de laquantification ñ Contrainte liée au sens des symboles
‚ Raisonnement
‚ Tout chat est mortel
‚ OrSocrates est mortel
‚ DoncSocrates est un chat ?!
ñ Règles d’inférence (déduction)
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) : ␣(ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence: Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) : ␣(ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence: Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) : ␣(ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence: Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) :␣ (ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence: Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) :␣ (ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence: Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) :␣ (ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence: Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
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Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) :␣ (ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence: Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
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‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) :␣ (ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence: Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) :␣ (ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence:Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) :␣ (ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence:Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) :␣ (ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence:Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées
ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langageformel
‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …
‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)
‚ Négation(op. unaire) :␣ (ou!,„,_ )
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et :^(ou., &)
‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)
‚ Implication:Ñ
‚ Équivalence:Ø
‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø
‚ Formules bien formées(définition récursive)
‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi
‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi
‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Fondements de la logique
Arbre d’expression
§ Décompositiond’une formule sous forme d’arbre
‚ Éléments :nœuds (ronds) et arcs(traits)
‚ Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)
‚ Position des nœuds :racine(haut) etfeuilles(bas)
ñ Description de lastructure de l’expression
‚ Nœuds internes :opérateurs
‚ Feuilles :atomes
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Équivalente (priorité) à :␣(p)_((q)^(r)) _
␣ p
^
q r
Fondements de la logique
Arbre d’expression
§ Décompositiond’une formule sous forme d’arbre
‚ Éléments :nœuds (ronds) et arcs(traits)
‚ Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)
‚ Position des nœuds :racine(haut) etfeuilles(bas) ñ Description de lastructure de l’expression
‚ Nœuds internes :opérateurs
‚ Feuilles :atomes
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Équivalente (priorité) à :␣(p)_((q)^(r)) _
␣ p
^
q r
Fondements de la logique
Arbre d’expression
§ Décompositiond’une formule sous forme d’arbre
‚ Éléments :nœuds (ronds) et arcs(traits)
‚ Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)
‚ Position des nœuds :racine(haut) etfeuilles(bas) ñ Description de lastructure de l’expression
‚ Nœuds internes :opérateurs
‚ Feuilles :atomes
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Équivalente (priorité) à :␣(p)_((q)^(r)) _
␣ p
^
q r
Fondements de la logique
Arbre d’expression
§ Décompositiond’une formule sous forme d’arbre
‚ Éléments :nœuds (ronds) et arcs(traits)
‚ Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)
‚ Position des nœuds :racine(haut) etfeuilles(bas) ñ Description de lastructure de l’expression
‚ Nœuds internes :opérateurs
‚ Feuilles :atomes
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Équivalente (priorité) à :␣(p)_((q)^(r))
_
␣ p
^
q r
Fondements de la logique
Arbre d’expression
§ Décompositiond’une formule sous forme d’arbre
‚ Éléments :nœuds (ronds) et arcs(traits)
‚ Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)
‚ Position des nœuds :racine(haut) etfeuilles(bas) ñ Description de lastructure de l’expression
‚ Nœuds internes :opérateurs
‚ Feuilles :atomes
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Équivalente (priorité) à :␣(p)_((q)^(r)) _
␣ p
^
q r
Fondements de la logique
Assignations
§ Association de valeursà des variables atomiques
‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas
‚ Valeurs de véritéV,F(ou1,0,J,K) ñ Permet lecalculdes formules
‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique
‚ Connecteurs logiques qui les séparent
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Assignation : p=V,q=V etr=V
‚ Calcul : ␣V_V^V=F_V^V=F_V=V
‚ Assignation : p=V,q=Fetr=V
‚ Calcul : ␣V_F^V=F_F^V=F_F=F
‚ Assignation : p=F,q=Fetr=F
‚ Calcul : ␣F_F^F=V_F^F=V_F=V ñ Pour nvariables, 2n assignations possibles
Fondements de la logique
Assignations
§ Association de valeursà des variables atomiques
‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas
‚ Valeurs de véritéV,F(ou1,0,J,K) ñ Permet lecalculdes formules
‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique
‚ Connecteurs logiques qui les séparent
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Assignation : p=V,q=V etr=V
‚ Calcul : ␣V_V^V=F_V^V=F_V=V
‚ Assignation : p=V,q=Fetr=V
‚ Calcul : ␣V_F^V=F_F^V=F_F=F
‚ Assignation : p=F,q=Fetr=F
‚ Calcul : ␣F_F^F=V_F^F=V_F=V ñ Pour nvariables, 2n assignations possibles
Fondements de la logique
Assignations
§ Association de valeursà des variables atomiques
‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas
‚ Valeurs de véritéV,F(ou1,0,J,K) ñ Permet lecalculdes formules
‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique
‚ Connecteurs logiques qui les séparent
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Assignation : p=V,q=V etr=V
‚ Calcul : ␣V_V^V=F_V^V=F_V=V
‚ Assignation : p=V,q=Fetr=V
‚ Calcul : ␣V_F^V=F_F^V=F_F=F
‚ Assignation : p=F,q=Fetr=F
‚ Calcul : ␣F_F^F=V_F^F=V_F=V ñ Pour nvariables, 2n assignations possibles
Fondements de la logique
Assignations
§ Association de valeursà des variables atomiques
‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas
‚ Valeurs de véritéV,F(ou1,0,J,K) ñ Permet lecalculdes formules
‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique
‚ Connecteurs logiques qui les séparent
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Assignation : p=V,q=V etr=V
‚ Calcul : ␣V_V^V=F_V^V=F_V=V
‚ Assignation : p=V,q=Fetr=V
‚ Calcul : ␣V_F^V=F_F^V=F_F=F
‚ Assignation : p=F,q=Fetr=F
‚ Calcul : ␣F_F^F=V_F^F=V_F=V ñ Pour nvariables, 2n assignations possibles
Fondements de la logique
Assignations
§ Association de valeursà des variables atomiques
‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas
‚ Valeurs de véritéV,F(ou1,0,J,K) ñ Permet lecalculdes formules
‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique
‚ Connecteurs logiques qui les séparent
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Assignation :p=V,q=V etr=V
‚ Calcul : ␣V_V^V=F_V^V=F_V=V
‚ Assignation : p=V,q=Fetr=V
‚ Calcul : ␣V_F^V=F_F^V=F_F=F
‚ Assignation : p=F,q=Fetr=F
‚ Calcul : ␣F_F^F=V_F^F=V_F=V ñ Pour nvariables, 2n assignations possibles
Fondements de la logique
Assignations
§ Association de valeursà des variables atomiques
‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas
‚ Valeurs de véritéV,F(ou1,0,J,K) ñ Permet lecalculdes formules
‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique
‚ Connecteurs logiques qui les séparent
§ Exemple
‚ Formule :␣p_q^r
‚ Assignation :p=V,q=V etr=V
‚ Calcul : ␣V_V^V=F_V^V=F_V=V
‚ Assignation :p=V,q=Fetr=V
‚ Calcul : ␣V_F^V=F_F^V=F_F=F
‚ Assignation :p=F,q=Fetr=F
‚ Calcul : ␣F_F^F=V_F^F=V_F=V ñ Pourn variables, 2n assignations possibles
Fondements de la logique
Tables de vérité (assignations)
Négation p ␣p
V F
F V
Conjonction p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjonction p q p_q
V V V
V F V
F V V
F F F
Implication p q pÑq
V V V
V F F
F V V
F F V
Équivalence p q pØq
V V V
V F F
F V F
F F V
Fondements de la logique
Exercice
§ Ajouter les parenthèses, déterminer l’arbre d’expression et la table de vérité pour
‚ p^ ␣q
‚ ␣(p_q)
‚ p^ ␣q_ ␣p^q
‚ ␣(p^q)_(␣p^r)_(p^ ␣r)
‚ pÑq^r
‚ ␣pÑq
‚ (pÑq)^(qÑp)
Fondements de la logique
Problème
§ Exprimez les relations entre les éléments suivants
‚ Transports :
tbus,metro,tram,rer,voiture,taxi,velo,moto,pied,autolibu
‚ Motorisation :tmoteur,pedale,2roues,4rouesu
‚ Caractéristiques :
tvehicule,elec,public,proprio,location,payant,gratuitu
Fondements de la logique
Problème
§ Exprimez les relations entre les éléments suivants
‚ Aliments :tsalade,carotte,herbe,steak,oeuf,lait, biscuit,compote,eau,jus,the,cafeu
‚ Mode d’alimentation :
tcarnivore,herbivore,omnivore,vegetarien,veganu
‚ Moments d’alimentation :
trepas,petitdej,dejeuner,diner,gouter,encasu
‚ Restauration :
tmenu,cafegourmant,entree,plat,dessert,boissonu
Formes normales
Plan
1. Fondements de la logique 2. Formes normales
3. Dérivations logiques 4. Problème / exercice
Formes normales
Comparaison de formules
ñ Quelles formules sont équivalentes ?
‚ Identiques
p^qÑretp^qÑr
‚ Identiquesaux parenthèses près p^qÑret(p^q)Ñr
‚ Identiquesà une commutation près p^qÑretq^pÑr
‚ Et autrespropriétés(associativité, distributivité, etc.)
‚ Pour toute assignation, les formules ontmême valeur p^qÑret␣(p^q)_r
‚ …
ñ Notation avec”
ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ? ñ Mettre les expressions sous formenormale
Formes normales
Comparaison de formules
ñ Quelles formules sont équivalentes ?
‚ Identiques
p^qÑretp^qÑr
‚ Identiquesaux parenthèses près p^qÑret(p^q)Ñr
‚ Identiquesà une commutation près p^qÑretq^pÑr
‚ Et autrespropriétés(associativité, distributivité, etc.)
‚ Pour toute assignation, les formules ontmême valeur p^qÑret␣(p^q)_r
‚ …
ñ Notation avec”
ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ? ñ Mettre les expressions sous formenormale
Formes normales
Comparaison de formules
ñ Quelles formules sont équivalentes ?
‚ Identiques
p^qÑretp^qÑr
‚ Identiquesaux parenthèses près p^qÑret(p^q)Ñr
‚ Identiquesà une commutation près p^qÑretq^pÑr
‚ Et autrespropriétés(associativité, distributivité, etc.)
‚ Pour toute assignation, les formules ontmême valeur p^qÑret␣(p^q)_r
‚ …
ñ Notation avec”
ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ? ñ Mettre les expressions sous formenormale
Formes normales
Comparaison de formules
ñ Quelles formules sont équivalentes ?
‚ Identiques
p^qÑretp^qÑr
‚ Identiquesaux parenthèses près p^qÑret(p^q)Ñr
‚ Identiquesà une commutation près p^qÑretq^pÑr
‚ Et autrespropriétés(associativité, distributivité, etc.)
‚ Pourtoute assignation, les formules ontmême valeur p^qÑret␣(p^q)_r
‚ …
ñ Notation avec”
ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ? ñ Mettre les expressions sous formenormale
Formes normales
Comparaison de formules
ñ Quelles formules sont équivalentes ?
‚ Identiques
p^qÑretp^qÑr
‚ Identiquesaux parenthèses près p^qÑret(p^q)Ñr
‚ Identiquesà une commutation près p^qÑretq^pÑr
‚ Et autrespropriétés(associativité, distributivité, etc.)
‚ Pourtoute assignation, les formules ontmême valeur p^qÑret␣(p^q)_r
‚ …
ñ Notation avec”
ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ?
ñ Mettre les expressions sous formenormale
Formes normales
Comparaison de formules
ñ Quelles formules sont équivalentes ?
‚ Identiques
p^qÑretp^qÑr
‚ Identiquesaux parenthèses près p^qÑret(p^q)Ñr
‚ Identiquesà une commutation près p^qÑretq^pÑr
‚ Et autrespropriétés(associativité, distributivité, etc.)
‚ Pourtoute assignation, les formules ontmême valeur p^qÑret␣(p^q)_r
‚ …
ñ Notation avec”
ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ? ñ Mettre les expressions sous formenormale
Formes normales
Équivalence de formules logiques
Faux p^F”F
p_F”p
Vrai p^V”p
p_V”V Contradiction p^ ␣p”F Tiers-exclus p_ ␣p”V Double négation ␣␣p”p Implication pÑq” ␣p_q
Équivalence pØq”(pÑq)^(qÑp)”(p^q)_(␣p^ ␣q) Lois de De Morgan ␣(p_q)” ␣p^ ␣q
␣(p^q)” ␣p_ ␣q
Formes normales
Équivalence de formules logiques
Idempotence p^p”p_p”p Commutativité p^q”q^p
p_q”q_p
Associativité (p^q)^r”p^(q^r)”p^q^r (p_q)_r”p_(q_r)”p_q_r Distributivité p_(q^r)”(p_q)^(p_r)
p^(q_r)”(p^q)_(p^r) Absorption p_(p^q)”p
p^(p_q)”p
Formes normales
Formes normales
§ Système suffisant de connecteurs :␣, ^, _
‚ Littéral: variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)
‚ Formes normales
‚ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux (p_q)^(p_ ␣r)
‚ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux (p^q)_(p^ ␣r)
‚ Mise sous forme normale
‚ Suppression des connecteursÑ,Ø
‚ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)
‚ Distributivité, commutativité, absorption
§ Exemple (FNC)
‚ ␣pÑ(q^r)
” ␣␣p_(q^r)
” p_(q^r)
” (p_q)^(p_r)
Formes normales
Formes normales
§ Système suffisant de connecteurs :␣, ^, _
‚ Littéral: variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)
‚ Formes normales
‚ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux (p_q)^(p_ ␣r)
‚ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux (p^q)_(p^ ␣r)
‚ Mise sous forme normale
‚ Suppression des connecteursÑ,Ø
‚ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)
‚ Distributivité, commutativité, absorption
§ Exemple (FNC)
‚ ␣pÑ(q^r)
” ␣␣p_(q^r)
” p_(q^r)
” (p_q)^(p_r)
Formes normales
Formes normales
§ Système suffisant de connecteurs :␣, ^, _
‚ Littéral: variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)
‚ Formes normales
‚ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux (p_q)^(p_ ␣r)
‚ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux (p^q)_(p^ ␣r)
‚ Mise sous forme normale
‚ Suppression des connecteursÑ,Ø
‚ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)
‚ Distributivité, commutativité, absorption
§ Exemple (FNC)
‚ ␣pÑ(q^r)
” ␣␣p_(q^r)
” p_(q^r)
” (p_q)^(p_r)
Formes normales
Formes normales
§ Système suffisant de connecteurs :␣, ^, _
‚ Littéral: variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)
‚ Formes normales
‚ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux (p_q)^(p_ ␣r)
‚ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux (p^q)_(p^ ␣r)
‚ Mise sous forme normale
‚ Suppression des connecteursÑ,Ø
‚ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)
‚ Distributivité, commutativité, absorption
§ Exemple (FNC)
‚ ␣pÑ(q^r)
” ␣␣p_(q^r)
” p_(q^r)
” (p_q)^(p_r)
Formes normales
Formes normales
§ Système suffisant de connecteurs :␣, ^, _
‚ Littéral: variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)
‚ Formes normales
‚ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux (p_q)^(p_ ␣r)
‚ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux (p^q)_(p^ ␣r)
‚ Mise sous forme normale
‚ Suppression des connecteursÑ,Ø
‚ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)
‚ Distributivité, commutativité, absorption
§ Exemple (FNC)
‚ ␣pÑ(q^r)
” ␣␣p_(q^r)
” p_(q^r)
” (p_q)^(p_r)
Formes normales
Exercice
§ Mettre sous FNC les formules
‚ ␣(p^q)
‚ p_q^r
‚ (pÑq)^(pÑr)
‚ p_ ␣(q^r)
‚ qÑ ␣p^ ␣q_r
‚ (pÑq)^ ␣(qÑp)
‚ (␣p^q)_r
‚ pØq
‚ ␣(p_q)_(p^r)
‚ (p_q)Ñr
‚ (␣pÑq)Ñr
Formes normales
Exercice
§ Mettre sous FND les formules
‚ ␣(pÑq)
‚ p^ ␣(q^r)
‚ p^(pÑq)
§ Dire si les équivalences suivantes sont justes
‚ p^q_r” ␣(pÑ ␣q)_r
‚ ␣(p_q^ ␣r)” ␣p^ ␣q_r
Formes normales
Problème
§ Mettre sous forme logique puis en FNC les propositions
‚ Un objet qui n’est ni solide ni gazeux est liquide
‚ Il est faux de dire qu’on peut être grand et petit
‚ Il n’existe pas de planète qui ne soit ronde
‚ Chacun est humain et homme ou humain et femme
‚ Si on est riche ou beau alors on ne peut être malheureux
‚ Si être riche rend bête, et être bête rend heureux, alors être riche rend heureux
‚ On ne peut être bête et malheureux si on est riche
Formes normales
Méthode des mintermes / maxtermes
§ Trouver une formule à partir de sa table de vérité
‚ Calcul des (min/max)termes pour les formes normales
‚ FND
‚ Minterme: pour V, conjonction des littéraux
‚ Formule comme disjonction des mintermes
‚ FNC
‚ Maxterme: pour F, disjonction des négations de littéraux
‚ Formule comme conjonction des maxtermes
‚ Exemple
p q formule min/max terme
V V V min p^q
V F F max ␣p_q
F V V min ␣p^q
F F F max p_q
ñ FND :(p^q)_(␣p^q) ñ FNC :(␣p_q)^(p_q)
Formes normales
Méthode des mintermes / maxtermes
§ Trouver une formule à partir de sa table de vérité
‚ Calcul des (min/max)termes pour les formes normales
‚ FND
‚ Minterme: pour V, conjonction des littéraux
‚ Formule comme disjonction des mintermes
‚ FNC
‚ Maxterme: pour F, disjonction des négations de littéraux
‚ Formule comme conjonction des maxtermes
‚ Exemple
p q formule min/max terme
V V V min p^q
V F F max ␣p_q
F V V min ␣p^q
F F F max p_q
ñ FND :(p^q)_(␣p^q) ñ FNC :(␣p_q)^(p_q)
Formes normales
Méthode des mintermes / maxtermes
§ Trouver une formule à partir de sa table de vérité
‚ Calcul des (min/max)termes pour les formes normales
‚ FND
‚ Minterme: pour V, conjonction des littéraux
‚ Formule comme disjonction des mintermes
‚ FNC
‚ Maxterme: pour F, disjonction des négations de littéraux
‚ Formule comme conjonction des maxtermes
‚ Exemple
p q formule min/max terme
V V V min p^q
V F F max ␣p_q
F V V min ␣p^q
F F F max p_q
ñ FND :(p^q)_(␣p^q) ñ FNC :(␣p_q)^(p_q)
Formes normales
Méthode des mintermes / maxtermes
§ Trouver une formule à partir de sa table de vérité
‚ Calcul des (min/max)termes pour les formes normales
‚ FND
‚ Minterme: pour V, conjonction des littéraux
‚ Formule comme disjonction des mintermes
‚ FNC
‚ Maxterme: pour F, disjonction des négations de littéraux
‚ Formule comme conjonction des maxtermes
‚ Exemple
p q formule min/max terme
V V V min p^q
V F F max ␣p_q
F V V min ␣p^q
F F F max p_q
ñ FND :(p^q)_(␣p^q) ñ FNC :(␣p_q)^(p_q)
Formes normales
Exercice
§ Donnez par la méthode des mintermes / maxtermes la FNC et la FND pour la table de vérité suivante
p q r formule
V V V F
V V F V
V F V F
V F F F
F V V V
F V F V
F F V F
F F F V
§ Quelqu’un dit « Être héritier ou travailler permet de ne pas être pauvre », traduisez cette proposition sous forme logique, donnez sa table de vérité, puis calculez sa FNC et FND.
Dérivations logiques
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales 3. Dérivations logiques 4. Problème / exercice
Dérivations logiques
Théorèmes et démonstrations
§ Système logique
‚ Théorèmes: formules admises ou démontrées
‚ Les formules admises (faits ou règles) sont desaxiomes
‚ Symbole de la dérivation logique:$
‚ Utilisation derègles d’inférence(prémisses Ñ conclusion)
‚ Mécanismes d’interprétationdes formules ñ Le système est-ilconsistant,complet?
§ Règles d’inférences
‚ Modus ponens:p,pÑq$q
‚ Modus tollens:pÑq,␣q$ ␣p
‚ Autre notation ppÑq q
(modus ponens)
Dérivations logiques
Théorèmes et démonstrations
§ Système logique
‚ Théorèmes: formules admises ou démontrées
‚ Les formules admises (faits ou règles) sont desaxiomes
‚ Symbole de la dérivation logique:$
‚ Utilisation derègles d’inférence(prémisses Ñ conclusion)
‚ Mécanismes d’interprétationdes formules ñ Le système est-ilconsistant,complet?
§ Règles d’inférences
‚ Modus ponens:p,pÑq$q
‚ Modus tollens:pÑq,␣q$ ␣p
‚ Autre notation ppÑq q
(modus ponens)
Dérivations logiques
Théorèmes et démonstrations
§ Exemple d’inférence logique
‚ Axiomes
‚ $ ␣(p^q)
‚ $p
‚ $rÑq
‚ $rØs
ñ On peut inférer:␣r ñ On peut inférer:␣s
Dérivations logiques
Interprétations et modèles
§ Interprétations
‚ Lien entresémantiqueet assignations
ñ Une formule peut être
‚ Valide: vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)
‚ Satisfiable: au moins une interprétation qui la rend vraie
‚ Contingente: satisfiable et une interprétation la rend fausse
‚ Insatisfiable: aucune interprétation ne la rend vraie
§ Modèles de formule
‚ Interprétations qui rendent la formule vraie
ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F} ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification)
Dérivations logiques
Interprétations et modèles
§ Interprétations
‚ Lien entresémantiqueet assignations ñ Une formule peut être
‚ Valide: vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)
‚ Satisfiable: au moins une interprétation qui la rend vraie
‚ Contingente: satisfiable et une interprétation la rend fausse
‚ Insatisfiable: aucune interprétation ne la rend vraie
§ Modèles de formule
‚ Interprétations qui rendent la formule vraie
ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F} ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification)
Dérivations logiques
Interprétations et modèles
§ Interprétations
‚ Lien entresémantiqueet assignations ñ Une formule peut être
‚ Valide: vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)
‚ Satisfiable: au moins une interprétation qui la rend vraie
‚ Contingente: satisfiable et une interprétation la rend fausse
‚ Insatisfiable: aucune interprétation ne la rend vraie
§ Modèles de formule
‚ Interprétations qui rendent la formule vraie
ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F} ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification)
Dérivations logiques
Interprétations et modèles
§ Interprétations
‚ Lien entresémantiqueet assignations ñ Une formule peut être
‚ Valide: vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)
‚ Satisfiable: au moins une interprétation qui la rend vraie
‚ Contingente: satisfiable et une interprétation la rend fausse
‚ Insatisfiable: aucune interprétation ne la rend vraie
§ Modèles de formule
‚ Interprétations qui rendent la formule vraie
ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F} ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification)
Dérivations logiques
Interprétations et modèles
§ Interprétations
‚ Lien entresémantiqueet assignations ñ Une formule peut être
‚ Valide: vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)
‚ Satisfiable: au moins une interprétation qui la rend vraie
‚ Contingente: satisfiable et une interprétation la rend fausse
‚ Insatisfiable: aucune interprétation ne la rend vraie
§ Modèles de formule
‚ Interprétations qui rendent la formule vraie
ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F} ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification)
