Logique des propositions

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Logique des propositions

Damien Nouvel

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Fondements de la logique

Plan

1. Fondements de la logique

2. Formes normales 3. Dérivations logiques 4. Problème / exercice

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Notions élémentaires

§ Lemonde de la logique formelle classique

‚ Valeurs devérité: vrai, faux

‚ Mondeouvert(nonclos)

‚ Manipulation depropositions ñ Pas d’ambigüités (tiers exclu) ñ Monde discret (logique non floue)

§ Validité d’une proposition

‚ Syntaxique: est-elle bien formée ?

‚ Sémantique: a-t-elle du sens ?

§ Validité d’un raisonnement

‚ Prémisses: propositions en condition (antécédent)

‚ Conclusion: proposition en conséquence

ñ Est-ce que les prémisses sontsuffisantes (et nécessaires) ?

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Quelques exemples

§ Raisonnements non valides à divers niveaux

‚ Syntaxe

‚ Aristote mortel est ñ Syntaxe de laprédication ñ Contrainte liée au langage

‚ Sémantique

‚ Tout Socrates est mortel ñ Sémantique de laquantification ñ Contrainte liée au sens des symboles

‚ Raisonnement

‚ Tout chat est mortel

‚ OrSocrates est mortel

‚ DoncSocrates est un chat ?!

ñ Règles d’inférence (déduction)

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Formules bien formées

§ Langageformel

‚ Formules(dont variables atomiques) : p,q,r …

‚ Parenthèses(op. syntaxique) : ( et)

‚ Négation(op. unaire) :␣ (ou!,„,_ )

‚ Connecteurs logiques (op. binaires)

‚ Conjonction, et :^(ou., &)

‚ Disjonction, ou :_(ou+,|)

‚ Implication:Ñ

‚ Équivalence:Ø

‚ Priorité(à gauche) des opérateurs : (,),␣,^,_,Ñ,Ø

‚ Formules bien formées(définition récursive)

‚ Sipest une f.b.f. alors␣pet(p)aussi

‚ Sipetqsont des f.b.f. alorsp^q,p_q,pÑqetpØqaussi

‚ Les autres formules ne sontpasbien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques

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Arbre d’expression

§ Décompositiond’une formule sous forme d’arbre

‚ Éléments :nœuds (ronds) et arcs(traits)

‚ Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)

‚ Position des nœuds :racine(haut) etfeuilles(bas) ñ Description de lastructure de l’expression

‚ Nœuds internes :opérateurs

‚ Feuilles :atomes

§ Exemple

‚ Formule :␣p_q^r

‚ Équivalente (priorité) à :␣(p)_((q)^(r)) _

␣ p

^

q r

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Assignations

§ Association de valeursà des variables atomiques

‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas

‚ Valeurs de véritéV,F(ou1,0,J,K) ñ Permet lecalculdes formules

‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique

‚ Connecteurs logiques qui les séparent

§ Exemple

‚ Formule :␣p_q^r

‚ Assignation :p=V,q=V etr=V

‚ Calcul : ␣V_V^V=F_V^V=F_V=V

‚ Assignation :p=V,q=Fetr=V

‚ Calcul : ␣V_F^V=F_F^V=F_F=F

‚ Assignation :p=F,q=Fetr=F

‚ Calcul : ␣F_F^F=V_F^F=V_F=V ñ Pourn variables, 2ⁿ assignations possibles

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Tables de vérité (assignations)

Négation p ␣p

V F

F V

Conjonction p q p^q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disjonction p q p_q

V V V

V F V

F V V

F F F

Implication p q pÑq

V V V

V F F

F V V

F F V

Équivalence p q pØq

V V V

V F F

F V F

F F V

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Exercice

§ Ajouter les parenthèses, déterminer l’arbre d’expression et la table de vérité pour

‚ p^ ␣q

‚ ␣(p_q)

‚ p^ ␣q_ ␣p^q

‚ ␣(p^q)_(␣p^r)_(p^ ␣r)

‚ pÑq^r

‚ ␣pÑq

‚ (pÑq)^(qÑp)

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Problème

§ Exprimez les relations entre les éléments suivants

‚ Transports :

tbus,metro,tram,rer,voiture,taxi,velo,moto,pied,autolibu

‚ Motorisation :tmoteur,pedale,2roues,4rouesu

‚ Caractéristiques :

tvehicule,elec,public,proprio,location,payant,gratuitu

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Problème

§ Exprimez les relations entre les éléments suivants

‚ Aliments :tsalade,carotte,herbe,steak,oeuf,lait, biscuit,compote,eau,jus,the,cafeu

‚ Mode d’alimentation :

tcarnivore,herbivore,omnivore,vegetarien,veganu

‚ Moments d’alimentation :

trepas,petitdej,dejeuner,diner,gouter,encasu

‚ Restauration :

tmenu,cafegourmant,entree,plat,dessert,boissonu

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Formes normales

Plan

1. Fondements de la logique 2. Formes normales

3. Dérivations logiques 4. Problème / exercice

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Formes normales

Comparaison de formules

ñ Quelles formules sont équivalentes ?

‚ Identiques

p^qÑretp^qÑr

‚ Identiquesaux parenthèses près p^qÑret(p^q)Ñr

‚ Identiquesà une commutation près p^qÑretq^pÑr

‚ Et autrespropriétés(associativité, distributivité, etc.)

‚ Pourtoute assignation, les formules ontmême valeur p^qÑret␣(p^q)_r

‚ …

ñ Notation avec”

ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ? ñ Mettre les expressions sous formenormale

(14)

Formes normales

Équivalence de formules logiques

Faux p^F”F

p_F”p

Vrai p^V”p

p_V”V Contradiction p^ ␣p”F Tiers-exclus p_ ␣p”V Double négation ␣␣p”p Implication pÑq” ␣p_q

Équivalence pØq”(pÑq)^(qÑp)”(p^q)_(␣p^ ␣q) Lois de De Morgan ␣(p_q)” ␣p^ ␣q

␣(p^q)” ␣p_ ␣q

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Formes normales

Équivalence de formules logiques

Idempotence p^p”p_p”p Commutativité p^q”q^p

p_q”q_p

Associativité (p^q)^r”p^(q^r)”p^q^r (p_q)_r”p_(q_r)”p_q_r Distributivité p_(q^r)”(p_q)^(p_r)

p^(q_r)”(p^q)_(p^r) Absorption p_(p^q)”p

p^(p_q)”p

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Formes normales

§ Système suffisant de connecteurs :␣, ^, _

‚ Littéral: variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)

‚ Formes normales

‚ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux (p_q)^(p_ ␣r)

‚ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux (p^q)_(p^ ␣r)

‚ Mise sous forme normale

‚ Suppression des connecteursÑ,Ø

‚ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)

‚ Distributivité, commutativité, absorption

§ Exemple (FNC)

‚ ␣pÑ(q^r)

” ␣␣p_(q^r)

” p_(q^r)

” (p_q)^(p_r)

(17)

Formes normales

Exercice

§ Mettre sous FNC les formules

‚ ␣(p^q)

‚ p_q^r

‚ (pÑq)^(pÑr)

‚ p_ ␣(q^r)

‚ qÑ ␣p^ ␣q_r

‚ (pÑq)^ ␣(qÑp)

‚ (␣p^q)_r

‚ pØq

‚ ␣(p_q)_(p^r)

‚ (p_q)Ñr

‚ (␣pÑq)Ñr

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Formes normales

Exercice

§ Mettre sous FND les formules

‚ ␣(pÑq)

‚ p^ ␣(q^r)

‚ p^(pÑq)

§ Dire si les équivalences suivantes sont justes

‚ p^q_r” ␣(pÑ ␣q)_r

‚ ␣(p_q^ ␣r)” ␣p^ ␣q_r

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Formes normales

Problème

§ Mettre sous forme logique puis en FNC les propositions

‚ Un objet qui n’est ni solide ni gazeux est liquide

‚ Il est faux de dire qu’on peut être grand et petit

‚ Il n’existe pas de planète qui ne soit ronde

‚ Chacun est humain et homme ou humain et femme

‚ Si on est riche ou beau alors on ne peut être malheureux

‚ Si être riche rend bête, et être bête rend heureux, alors être riche rend heureux

‚ On ne peut être bête et malheureux si on est riche

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Formes normales

Méthode des mintermes / maxtermes

§ Trouver une formule à partir de sa table de vérité

‚ Calcul des (min/max)termes pour les formes normales

‚ FND

‚ Minterme: pour V, conjonction des littéraux

‚ Formule comme disjonction des mintermes

‚ FNC

‚ Maxterme: pour F, disjonction des négations de littéraux

‚ Formule comme conjonction des maxtermes

‚ Exemple

p q formule min/max terme

V V V min p^q

V F F max ␣p_q

F V V min ␣p^q

F F F max p_q

ñ FND :(p^q)_(␣p^q) ñ FNC :(␣p_q)^(p_q)

(21)

Formes normales

Exercice

§ Donnez par la méthode des mintermes / maxtermes la FNC et la FND pour la table de vérité suivante

p q r formule

V V V F

V V F V

V F V F

V F F F

F V V V

F V F V

F F V F

F F F V

§ Quelqu’un dit « Être héritier ou travailler permet de ne pas être pauvre », traduisez cette proposition sous forme logique, donnez sa table de vérité, puis calculez sa FNC et FND.

(22)

Dérivations logiques

Plan

(23)

Théorèmes et démonstrations

§ Système logique

‚ Théorèmes: formules admises ou démontrées

‚ Les formules admises (faits ou règles) sont desaxiomes

‚ Symbole de la dérivation logique:$

‚ Utilisation derègles d’inférence(prémisses Ñ conclusion)

‚ Mécanismes d’interprétationdes formules ñ Le système est-ilconsistant,complet?

§ Règles d’inférences

‚ Modus ponens:p,pÑq$q

‚ Modus tollens:pÑq,␣q$ ␣p

‚ Autre notation ^ppÑq q

(modus ponens)

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Théorèmes et démonstrations

§ Exemple d’inférence logique

‚ Axiomes

‚ $ ␣(p^q)

‚ $p

‚ $rÑq

‚ $rØs

ñ On peut inférer:␣r ñ On peut inférer:␣s

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Interprétations et modèles

§ Interprétations

‚ Lien entresémantiqueet assignations ñ Une formule peut être

‚ Valide: vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)

‚ Satisfiable: au moins une interprétation qui la rend vraie

‚ Contingente: satisfiable et une interprétation la rend fausse

‚ Insatisfiable: aucune interprétation ne la rend vraie

§ Modèles de formule

‚ Interprétations qui rendent la formule vraie

ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F}

ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification)

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Résolution par réfutation

§ Principe de la réfutation (absurde/ apagogie)

‚ Démontrer queqest la conséquence logique de p₁,p₂. . .p_n

” démontrer quep₁,p₂. . .p_n$q

” démontrer que␣(p₁^p₂. . .p_n)_qest valide

” démontrer que␣(␣(p₁^p₂. . .p_n)_q)est insatisfiable

” démontrer quep₁^p₂. . .p_n^ ␣qest insatisfiable

§ Exemple

‚ Axiomes

‚ $(pÑq)_(pÑr) (1)

‚ $p^ ␣q(2)

‚ Démonstration que1,2$r par réfutation

‚ ((pÑq)_(pÑr))^(p^ ␣q)^ ␣(r)

” (␣p_q_ ␣p_r)^(p^ ␣q^ ␣r)

” (␣p_q_r)^(p^ ␣q^ ␣r)

” (␣p_q_r)^ ␣(␣p_q_r)…(contradictionA^ ␣A)

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Exercice

§ Montrer par réfutation

‚ (pÑ ␣q),q$ ␣p

‚ (␣p_ ␣q),p$ ␣q

‚ (p_q),(p_r),(p_s),␣p$q^r^s

‚ (␣pÑ ␣q)$(qÑp)

‚ pÑq,qÑr$pÑr

‚ ((pÑr)_(qÑr)),␣r$(␣p_ ␣q)

‚ p_qÑr,p_s,␣s$r

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Complétude et cohérence des systèmes logiques

§ Cohérence (ou consistance)

‚ Il n’existe aucune formule telle qu’elle même et sa négation soient conséquences du système

ñ Programme de Hilbert (Hilbert, 1900) ñ Contre-exemple :p,␣q,pÑq

ñ Contre-exemple : paradoxe du barbier (Russel, 1903)

§ Complétude

‚ Toute proposition que l’on sait sémantiquement correcte peut être dérivée par le système

ñ Exemple : calcul des prédicats du 1^er ordre (Gödel, 1929) ñ Contre-exemple : théorème d’incomplétude (Gödel, 1931)

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Problème / exercice

Plan

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Politiquement logique

§ Prouvez les assertions suivantes par réfutation

‚ Tout politicien ment, tu fais de la politique donc tu mens

‚ Tout politicien est menteur, tu ne ments pas, donc tu ne fais pas de politique

‚ Je connais un politique qui ne ment pas : il n’est pas vrai que tous les politiciens sont des menteurs

‚ Dans une démocratie, il y a des élections et des libertés et dans une dictature, il n’y a ni l’un ni l’autre. Donc un régime ne peut être à la fois démocratique et dictatorial

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Cuisine logique

§ Sujet: un étudiant doit manger la veille d’un examen

§ Soient les (assertions) propositions suivantes

‚ (1) Je peux me faire des pâtes ou aller chercher une pizza

‚ (2) Tous les mardis et jeudis, il y a le camion à pizza

‚ (3) Si je mange mal et que je me couche tard je rate l’examen

‚ (4) Si je ne révise pas mon cours, je vais rater mon examen

‚ (5) Si je révise mon cours, je vais me coucher tard

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Cuisine logique (suite)

§ Questions

‚ Traduire toutes les propositions en logique

‚ Donner les arbres d’expression des propositions (2) et (3)

‚ Mettre la formule (3) sous forme normale conjonctive

‚ Faire la table de vérité du (4), puis sa FNC par minmax

‚ Prouver par réfutation que le mercredi, l’étudiant mangera nécessairement des pâtes

‚ Prouver que s’il veut réussir son examen, l’étudiant devra se coucher tard

‚ En supposant qu’il ne sait pas cuisiner (les pâtes seront ratées), que mangera l’étudiant si l’on est un jeudi et qu’il veut réussir l’examen ?

‚ Que se serait-il passé si l’examen était un lundi ?