Plan de la fiche
I - Les listes II - Arrangements III - Permutations IV - Combinaisons V - Binôme de Newton
VI - Principe fondamental du dénombrement
I - Les listes
p-liste
E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1) et p un entier (p ≥ 1).
Une p-liste est une suite ordonnée de p éléments de E (éléments non nécessairement distincts).
Exemple
On joue quatre fois à pile ou face, et on note à chaque lancer le résultat obtenu (P pour pile et F pour face).
Un résultat de cette expérience est une succession ordonnée de P et de F, par exemple (P, P, F, F) : les résultats sont des 4-listes de l’ensemble {P, F}.
Couple, triplet
Un couple (a,b) est une 2-liste Un triplet (a,b,c) est une 3-liste Ordre
Dans une liste, on tient compte de l’ordre.
(
P, P, F, F) (
P, F, P, F)
Ne pas confondre avec les ensembles :
{
P, P, F, F} { }
= P, F car dans un ensemble l’ordre n’intervient pas et on ne répète pas plusieurs fois le même élément.Dénombrement
Le nombre de p-listes prises parmi n objets est np car :
• il y a n façons de choisir le premier élément ;
• il y n façons de choisir le second élément (les répétitions sont autorisées) ;
• il y a n façons de choisir le troisième élément (les répétitions sont autorisées) ; et ainsi de suite…
Exemple
Dans l’exemple précédent, il y a 24 =16 listes à 4 éléments pris dans l’ensemble
{ }
P, F .Un code de téléphone portable est une 4-liste de chiffres pris dans l’ensemble
{
0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9}
car on tient compte de l’ordre et les répétitions sont autorisées.Le nombre de codes est donc 104=10000.
Fiche 9 : Dénombrement
II - Les arrangements
p-arrangement
E est un ensemble fini comportant n éléments (n entier, n ≥ 1) et p est un entier (p ≥ 1).
Un p-arrangement d’éléments de E est une p-liste d’éléments de E qui sont deux à deux distincts.
Dénombrement
Le nombre de p-arrangements de n objets est n
(
n 1 ) (
n 2)
...(
n p 1 +)
car :• il y a n façons de choisir le premier élément ;
• il y a n – 1 façons de choisir le second élément (les répétitions ne sont pas autorisées) ;
• il y a n – 2 façons de choisir le troisième élément (les répétitions ne sont pas autorisées) : et ainsi de suite…
•… n – (p – 1) façons de choisir le p-ième élément (on en a tiré p – 1 auparavant).
Ce nombre correspond à la touche nPr des calculatrices.
III - Permutations
Permutations de E
E est un ensemble fini de n éléments (n entier, n ≥ 1)
Une permutation de E est un n-arrangement d’éléments de E.
On peut aussi dire que c’est une n-liste d’éléments deux à deux distincts de E. Exemple
Les six permutations de E=
{
a, b, c}
sont :(
a, b, c , a, c, b , b, a, c , b, c, a , c, a, b , c, b, a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Attention aux notations : E est un ensemble, ses éléments sont énumérés entre deux accolades, les permutations de E sont des listes, elles sont notées entre deux parenthèses.
Dénombrement
Le nombre de permutations de E est le nombre de n-arrangements de E, il est donc égal à :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n 1 n 2 ... n n 1 + =n n 1 n 2 ... 1 . Factorielle
Définition : n! est l’entier naturel défini par :
0! = 1 et
(
n 1 !+) ( ) (
= n! n 1+)
pour tout entier naturel n. Par exemple : 1! = 1 ; 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 ; 5! = 120…On démontre par récurrence que n
(
n 1 ) (
n 2)
...( )
1 =n!.Par conséquent le nombre de permutations d’un ensemble comportant n éléments est n!.
IV - Les combinaisons
p-combinaison de n objets
Une combinaison de p éléments de E est une partie de E contenant p éléments (0 ≤ p ≤ 1).
La distinction entre p-arrangements et p-combinaisons est que dans la seconde, on ne tient pas compte de l’ordre.
Dénombrement
Le nombre de p-combinaisons de n objets est noté n . p
Lire « p parmi n » Formules :
n n (n 1) (n 2) ... (n p 1)
p p!
n n!
p p! (n p)!
+
=
=
Les nombres n p
s’appellent aussi les nombres binomiaux.
Ce nombre correspond à la touche nCr des calculatrices.
► À SAVOIR
Propriétés des nombres binomiaux
Pour tout entier naturel n et tout entier naturel p tel que p ≤ n :
• n p
est un entier ;
• n n
p n p
=
; n
0 1
=
; n
1 n
=
Formule de Pascal : pour tout entier naturel non nul n et pour tout entier naturel p tel que 1 ≤ p ≤ n – 1 :
n n 1 n 1
p p p 1
= +
V - Le binôme de Newton
► À SAVOIR
Formule de binôme de Newton
(a b)n n a bn 0 n a bn 1 1 n a bn 2 2 ... n a b0 n
0 1 2 n
+ = + + + +
On note :
( )
n k n n k kk 0
a b n a b
k
=
=
+ =
.Elle est souvent utilisée dans le cas a = x et b = 1 :
(
x 1)
n n xn n xn 1 n xn 2 ... n xn k ... n0 1 2 k n
+ = + + + + + +
On note
( )
n k n n kk 0
x 1 n x .
k
=
=
+ =
Nombre de parties d’un ensemble
En posant x = 1 dans la formule précédente, il vient :
(
1 1)
n n 1n n 1n 1 n 1n 2 ... n 1n k ... n .0 1 2 k n
+ = + + + + + +
Soit n k n
k 0
n n n n n n
2 ... ... .
0 1 2 k n k
=
=
= + + + + + + =
Ainsi 2n est la somme :
• du nombre de parties de E à 0 élément (l’ensemble vide) ;
• avec le nombre de parties de E à 1 élément (les singletons) ;
• avec le nombre de parties de E à 2 éléments (les paires) ;
• avec le nombre de parties à n éléments (la partie pleine).
En conclusion, 2n représente le nombre de parties d’un ensemble à n éléments.
VI - Principe fondamental du dénombrement
Lorsqu’il s’agit de choisir p éléments parmi n, on doit se poser les deux questions suivantes :
• Peut-on tirer deux fois le même élément ?
• L’ordre dans lequel on choisit les éléments est-il important ?
Ce tableau récapitule tous les cas que l’on peut rencontrer à l’examen et qui sont au programme.
Avec répétition Sans répétition Avec ordre
Sans ordre liste
hors programme arrangement combinaison
Méthode : « Principes fondamentaux », fiche exercices n°9 « Dénombrement ».
Méthode : « Principe de l’événement contraire », fiche exercices n°9 « Dénombrement ».
Méthode : « Comprendre un énoncé », fiche exercices n°9 « Dénombrement ».
