Le Dénombrement et L’Analyse combinatoire M P C S 2 L F S

Royaume du Maroc

Ministère de l’Education Nationale,

de la Formation Professionnelle, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Secrétariat d’Etat Chargé de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

L

F

S

2

C

S

M

P

Ensemble 5 et 6

(Rappelle des Séances 1-2)

PR SMOUNIRACHID

Le Dénombrement et L’Analyse combinatoire

Introduction

Le dénombrement et l'analyse combinatoire sont fondés sur des formules mathématiques d’arrangements, de permutations et de combinaisons. Ils peuvent servir à compter le nombre d'arrangements ou de combinaisons possibles des éléments d'un échantillon représentatif qu’on veut constituer.

Au cours de cet axe nous définirons pour commencer la notion de disposition ordonnée et disposition non ordonnée. Ensuite nous étudierons les différentes dispositions à savoir les permutations, les arrangements et les combinaisons (avec et sans répétition).

Dispositions ordonnées/non ordonnées

Une association comprend 10 membres dont 5 femmes et 5 hommes.

I- Si On veut choisir 2 personnes parmi les 10 membres sans choisir 2 fois la même personne mais l'ordre dans lequel on choisit les personnes compte.

Dans cet ordre, la première personne tirée sera désignée président de l’association, la deuxième personne tirée sera désignée secrétaire général de l’association.

Choisir la personne "A" puis "B" n'est donc pas la même chose que choisir

"B" puis "A".

1^er cas

✓ La personne "A" sera désignée Président de l’association.

✓ La personne "B" sera désignée secrétaire général de l’association.

2^ème cas

✓ La personne "B" sera désignée Président de l’association.

✓ La personne "A" sera désignée secrétaire général de l’association.

On aura donc deux dispositions distinctes, c’est-à-dire deux couples (A, B) et (B, A) : deux dispositions.

On parle alors de dispositions ordonnées.

II- Si maintenant, on veut choisir 2 personnes parmi les 10 membres de l’association sans tenir de la tâche qui sera affectée aux deux personnes choisies, c’est -à-dire sans tenir compte de l'ordre du choix.

On ne considère donc que le fait de choisir la personne "A" puis la personne

"B" est la même chose que de choisir "B" puis "A", c’est -à-dire que le couple (A, B) est égal au couple (B, A) : une seule disposition.

On parle alors de disposition non ordonnée.

➢ La première situation est un problème d'Arrangement (p-listes).

➢ La deuxième situation est un problème de Combinaison.

On verra alors que toute situation de dénombrement est résume à l’une des situations suivantes :

1- L’arrangement (avec et sans répétition).

2- La permutation qui est un cas particulier de l’arrangement (avec et sans répétition).

3- La combinaison (avec et sans répétition).

I- Les Arrangements

1- Arrangement Sans répétition 1-1 Définition

E étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de « p » éléments choisis parmi « n » éléments distincts, toutes dispositions ordonnées de « p-liste » d'éléments distincts de E.

On note le nombre d'arrangements de p éléments parmi n : A^p_n

On a aura :

𝐴_𝑛^𝑃 = 𝑛!

(𝑛 − 𝑝)! = 𝑛(𝑛 − 1) ∙∙∙ (n − p + 1) × 1

1-2 Exemple d’application

- Combien de mots de 6 lettres différentes peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet ?

Solution

✓ n = 26

✓ p = 6

✓ L’ordre est primordial dans ce cas.

✓ Toutes les 6 lettres sont différentes.

✓ A⁶₂₆ = ^26!

(26−6)! =20!×(26×25×24×23×22×21) 20!

✓ ⇒ A⁶₂₆ = 26 × 25 × 24 × 23 × 22 × 21

2- Arrangement Avec répétition 2-1 Définition

E étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de p éléments choisis parmi « n » éléments non distincts, toutes dispositions ordonnées de « p-liste » d'éléments de E.

Il y a « 𝑛^𝑝 » p-listes d'un ensemble à n éléments.

Le nombre de tirages possibles est donc : 𝒜_𝑛^𝑝 = 𝑛^𝑝

2-2 Exemple d’application

- Combien de mots de 6 lettres peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet ?

Solution

✓ n = 26

✓ p = 6

✓ L’ordre est primordial dans ce cas

✓ les 6 lettres peuvent dans ce cas être répétées plus d’une fois.

✓ 𝒜_𝑛^𝑝 = 𝑛^𝑝 ⇔ 𝒜₂₆⁶ = 26⁶

II- Les Permutations

1- Permutation sans répétition

Il s'agit du cas particulier d’arrangement simples où chaque élément de la disposition ne doit être pris qu’une et une seule fois.

En d'autres termes, il s'agit de compter le nombre de manières d'ordonner les éléments.

La factorielle d'un entier n, noté n ! : 1 ...

) 2 )(

1 (

!= n n− n−   n

Un arrangement de « n » éléments parmi « n » s'appelle une permutation de E.

La permutation est donc un cas particulier de l’arrangement où « p=n ».

D'après la formule précédente d’un arrangement, il y a (n!) Permutations de E, c’est-à-dire :

)! ! (

! n

n n

A

n =

= −

Exemples d’applications

- Combien de mots de 7 lettres différentes peut-on former avec les lettres

« A, B, C, D, E, F, U » ?

Solution

✓ n = 7,

✓ p = 7,

✓ pas de répétition des lettres,

✓ Il faut respecter l’ordre.

✓ ⇒ Arrangement sans répétition où n = p = 7 𝐴₇⁷ = 7!

(7 − 7)!= 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

- Les différents anagrammes du mot sucre correspondent à toutes les permutations de E={s, u, c, r, e}.

Solution

Dans ce cas, p =5 et n=5 Il y a donc,

𝐴₅⁵ = 5!

(5 − 5)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

⇒5 ! = 120 anagrammes du mot « sucre » (ayant un sens ou pas).

2- Permutation avec répétition Définition

Dans ce type de permutation, il s'agit de compter des arrangements dont les éléments peuvent se répéter plus qu’une fois.

En fait, l'ordre des éléments doit être pris en compte ainsi que leur nombre de répétition.

Exemple d’application

On veut ranger 150 ouvrages dans une bibliothèque. Ces derniers sont répartis comme suit :

✓ 50 livres de mathématique.

✓ 70 livres de statistique.

✓ 30 livres d’informatiques.

Quel est le nombre de classement possible ? Solution

On aura 150 ! (150 factoriel) manières de classer ces ouvrages.

De plus, on a trois groupes de livres, qui sont considérés comme

50 ! (50 factoriel) manières de classer les livres de mathématique qui sont homogènes (comme si un livre de mathématique est répété 50 fois).

70 ! (70 factoriel) manières de classer les livres de statistique (comme si un livre de statistique est répété 70 fois).

30 ! (30 factoriel) manières de classer les livres d’informatique (comme si un livre d’informatique est répété 30 fois).

Donc le nombre de fois de classer ces 150 livres est : 𝑃₁₃₀ = 150!

50! 70! 30!

En général un arrangement avec répétition est :

✓ 𝑃_𝑛 = ^𝑛!

𝑛₁!𝑛₂!𝑛₃!

✓ Avec : 𝑛 = 𝑛₁ + 𝑛₂+ 𝑛₃

III- Les Combinaisons

1- Combinaison sans Répétition Définition

E étant un ensemble à « n » éléments, on appelle combinaison de « p » éléments de E toutes dispositions non ordonnées de « p » éléments distincts de E, c’est-à-dire, toute partie de E à p éléments.

On note le nombre de combinaisons de « «p » éléments parmi « n » comme suit :

C_n^p = n!

p! (n − p)! =n(n − 1) ∙∙∙ (n − p + 1) p(p − 1) ∙∙∙ 1

Exemples d’application

1- Une urne U1 contient « n » boules de 1 à n. On tire simultanément, et sans remise, « p » boules de cette urne.

Quel est le nombre de choix possibles ?

2- Une urne U2 contient « n » boules numérotées de 1 à n. On tire simultanément, et sans remise, « p » boules de cette urne.

Quel est le nombre de choix possibles ?

Solution

1- Le nombre de tirages possibles vaut le nombre de combinaisons de p éléments parmi n car les boules sont considérées comme identiques (n boules).

C_n^p = n!

p! (n − p)! =n(n − 1) ∙∙∙ (n − p + 1) p(p − 1) ∙∙∙ 1

2- Le nombre de tirages possibles vaut le nombre d’arrangement de p éléments parmi n car les boules sont dans ce cas différentes l’une de l’autre (n boules numérotées de 1 à n).

A^p_n = n!

(n − p)!

2- Triangle de Pascal

Les formules donnant les valeurs du nombre de combinaisons à « p » éléments dans un ensemble à « n » éléments et les relations entre ces

derniers sont cependant données par la formule du binôme Newton issu du triangle de Pascal.

L'idée du triangle de Pascal est de présenter les combinaisons « 𝐶_𝑛^𝑝 » sous forme de tableau à double-entrées.

✓ En colonne, les valeurs de « p ».

✓ En ligne les valeurs de « n ».

Les colonnes et les lignes sont numérotées à partir de 0, et la case correspond à la « p^ième » colonne et nième ligne est le coefficient : 𝐶_𝑛^𝑝

Remarques

✓ Il y a une symétrie dans ce tableau car : C_n^p = C_n^(n−p)

✓ Si on connait les éléments de la ligne (n-1), on connait

automatiquement ceux de la ligne n par la formule suivante : C_n^p = C_n^p + C_n−1^p−1

D'où le Triangle de Pascal ci-dessous :

0 1 2 3 4 p-1 P

0 1 0

1 1 1 0

2 1 2 1 0

3 1 3 3 1 0

4 1 4 6 4 1

… … …

n-1 𝐶_𝑛−1^𝑝−1 𝐶_𝑛−1^𝑝

n 𝐶_𝑛^𝑝

3- Combinaison avec répétition Définition

E étant un ensemble à « n » éléments, on appelle combinaison avec

répétition de « p » éléments de E toute disposition non ordonnée de « p » éléments choisi parmi « n » éléments non nécessairement distincts.

C’est le nombre de combinaisons que l’on peut faire avec p éléments choisis parmi n éléments, chacun d’eux peut figurer plusieurs fois dans la même combinaison.

Le nombre de combinaisons avec répétitions est :

p p n P

n

C

K =

Exemple d’application

Soit une urne E contenant quatre boules de même couleur. On choisit 5 boules dans l’urne E.

Quelle est le nombre de choix possible.

Solution On a ici :

✓ n= 4

✓ p = 5

Une combinaison avec répétition de 5 éléments à partir de E. L’ordre n’est pas pris en considération.

Certains éléments peuvent se répéter plus d’une fois.

On a donc une combinaison avec répétition.

K₄⁵ = C₄₊₅₋₁⁵ = ^8!

5!3!

)!

1 (

!

)!

1 (

1  −

−

= +

= _{+ −}

n p

p

C

K