Combinatoire et Dénombrement

Combinatoire et Dénombrement

La Combinatoire étudie le nombre de façons différentes de choisir des éléments dans une collection.

Dès le 3^e siècle, une formule du nombre de façons de choisir deux éléments distincts parmi 𝑛 est attestée.

Au XIIe siècle, la formule générale des Combinaisons est connue (choix de p éléments distincts parmi 𝑛).

Au début du XIVe siècle, la formule sur les Arrangements est découverte (nombre de choix de 𝑝 éléments ordonnés pris parmi 𝑛).

Au XVIIe siècle, Blaise Pascal et Pierre de Fermat retrouvent la formule des Combinaisons.

Les notations actuelles 𝐴_𝑛^𝑝 et 𝐶_𝑛^𝑝 apparaissent au début du XXe siècle.

I) CARDINAL D’ENSEMBLES

1) Réunion disjointes

REMARQUES :

• 𝐶𝑎𝑟𝑑(∅) = 0.

• Certains ensembles ne sont pas finis : l’ensemble ℕ des entiers naturels ; l’ensemble des réels de l’intervalle [0 ; 1 ].

EXEMPLES

• 𝑉 = {𝑎 ; 𝑒 ; 𝑖 ; 𝑜 ; 𝑢 ; 𝑦} est un ensemble fini à six éléments et 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝑉) = 6.

• 𝐶 = {𝑏 ; 𝑐 ; 𝑑 ; 𝑓 ; 𝑔 ; ℎ ; 𝑗 ; 𝑘 ; 𝑙 ; 𝑚 ; 𝑛 ; 𝑝 ; 𝑞 ; 𝑟 ; 𝑠 ; 𝑡 ; 𝑣 ; 𝑤 ; 𝑥 ; 𝑧} est un ensemble fini à 20 éléments et 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐶) = 20.

• L’ensemble des lettres de l’alphabet est L.

𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐿) = 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐶) + 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝑉) = 26 car 𝐶 et 𝑉 sont des ensembles disjoints.

• Si 𝐴 et B ont des ensembles non disjoints, on a : 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑨) + 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑩) − 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑨 ∩ 𝑩) Soit 𝐴 un ensemble fini.

Le Cardinal de 𝐴, noté 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴), est le nombre d’éléments de l’ensemble 𝐴.

DEFINITION

Deux ensembles 𝐴 et 𝐵 sont disjoints lorsque 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

DEFINITION

Soit 𝑛 un entier naturel supérieur ou égal à 2 et 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐴₃,…, 𝐴_𝑛 des ensembles finis deux à deux disjoints.

Alors :

𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴₁∪ 𝐴₂∪ … ∪ 𝐴_𝑛) = 𝐶𝑎𝑟𝑑 (𝐴₁) + 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴₂) + ⋯ + 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴_𝑛) = ∑ 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴_𝑘)

𝑛

𝑘=1

. PROPRIETE (ADMISE) :PRINCIPE ADDITIF

2) Produit cartésien

EXEMPLE :

Pour 𝐴 = {1 ; 2} et 𝐵 = {3 ; 4}, on a 𝐴 × 𝐵 = {(1 ; 3) ; (1 ; 4) ; (2 ; 3) ; (2 ; 4)}.

REMARQUES :

• Si 𝐴 = ∅ ou 𝐵 = ∅ alors 𝐴 × 𝐵 = ∅.

• Le produit cartésien de 𝐴 par lui-même est noté 𝐴². Plus généralement, le produit cartésien de 𝐴 par lui-même 𝑛 fois avec 𝑛 > 1 se note 𝐴^𝑛.

Par exemple, les coordonnées d’un point dans un repère du plan sont des 2-uplets de nombres réels.

EXERCICES

• Pour chacune des questions suivantes, indiquer le principe de dénombrement à utiliser et effectuer le calcul.

1) La carte d’un restaurant propose cinq entrées différentes et trois plats. Paula, ne souhaitant pas prendre les deux, hésite entre une entrée ou un plat. Combien a-t-elle de choix possibles ?

2) Dans le même restaurant, la carte propose également trois desserts. Jules décide de choisir le menu

« entrée, plat et dessert ». Combien de menus différents Jules peut-il composer ?

3) Dans une classe de 35 élèves, 20 étudient l’allemand, 15 l’espagnol et 8 aucune de ces deux langues.

Combien d’élèves étudient l’allemand et l’espagnol ? Soient 𝐴 et 𝐵 deux ensembles non vides.

Le produit cartésien de 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble noté 𝐴 × 𝐵 (se lit « 𝑨 𝒄𝒓𝒐𝒊𝒙 𝑩 »), constitué des couples (𝑥 ; 𝑦) où 𝑥 est un élément de 𝐴 et 𝑦 est un élément de 𝐵.

Autrement dit : 𝑨 × 𝑩 = {(𝒙 ; 𝒚), 𝒙 ∈ 𝑨, 𝒚 ∈ 𝑩}

DEFINITION

Soient 𝐴 et 𝐵 deux ensemble finis. Alors 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴 × 𝐵) = 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴) × 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐵).

PROPRIETE

Démonstration

Soient 𝐴 un ensemble et 𝑛 un entier naturel non nul.

On appelle 𝑛-uplet de 𝐴 un élément de 𝐴^𝑛. DEFINITION

Soient 𝐴 un ensemble fini et 𝑛 un entier naturel non nul.

Alors 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴^𝑛) = [𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴)]^𝑛. PROPRIETE

Démonstration

• Produit Cartésien

1) On considère les ensembles 𝐴 = {3 ; 2 ; 1} et 𝐵 = {0 ; 3}. Déterminer 𝐴 × 𝐵 et 𝐵 × 𝐴.

2) On considère les ensembles 𝐶 = {(6 ; 2) ; (6 ; 4) ; (5 ; 2) ; (5 ; 4) ; (10 ; 2) ; ( 10 ; 4) ; (3 ; 2) ; (3 ; 4)}.

Écrire 𝐶 sous la forme d’un produit cartésien de deux ensembles.

3) On considère les ensembles 𝐸 = {𝑎}, 𝐹 = {𝑏 ; 𝑑} et 𝐺 = {𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐}. Déterminer 𝐺 × 𝐸 × 𝐹.

• Un immeuble est protégé par un digicode. Ce code peut être constitué de quatre, cinq, ou six chiffres allant de 0 à 9, puis d’une lettre sélectionnée parmi les lettres A, B et C. Combien de codes peut-on former avec ce système ?

II) ARRANGEMENTS ET PERMUTATIONS

1) Arrangements et Ensembles

REMARQUE : Par convention, 𝟎! = 𝟏

REMARQUE : Un arrangement de 𝐴 peut être interprété comme un tirage avec ordre et sans remise des éléments de 𝐴.

EXEMPLE :

Si 𝐴 = {1 ; 2 ; 3 ; 4} alors (1 ; 3 ; 4) et (1 ; 4 ; 3) sont deux arrangements de trois éléments de 𝐴 : ce sont deux 3-arrangements de 𝐴.

REMARQUE : Si 𝐴 = ∅ alors 𝑛 = 𝑘 = 0 et 𝐴_𝑛^𝑘 = 1 : il n’y a qu’un seul sous-ensemble possible pour 𝐴 : lui- même. D’où l’importance d’avoir 0! = 1.

Soit 𝑛 un entier naturel non nul. On appelle FACTORIELLE de 𝑛 le nombre : 𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × … × 2 × 1

DEFINITION

Soient 𝐴 un ensemble fini non vide à 𝑛 éléments et 𝑘 un entier naturel inférieur ou égal à 𝑛.

Un ARRANGEMENT de 𝑘 éléments de 𝐴 (ou 𝑘-arrangement) est un 𝑘-uplet d’éléments distincts de 𝐴.

DEFINITION

Soient 𝐴 un ensemble fini non vide à 𝑛 éléments et 𝑘 un entier naturel tel que 𝑘 ≤ 𝑛.

Le nombre de 𝒌-arrangements de 𝐴 est égal à :

𝑨_𝒏^𝒌 = 𝒏 × (𝒏 − 𝟏) × … × (𝒏 − 𝒌 + 𝟏) = 𝒏!

(𝒏 − 𝒌)!

PROPRIETE

Démonstration

2) Permutations

REMARQUE : Une permutation est donc un 𝑛-arrangement.

EXEMPLE :

Si 𝐴 = {1 ; 2 ; 3 }, les permutations de 𝐴 sont {1 ; 2 ; 3} ; {1 ; 3 ; 2} ; {2 ; 1 ; 3} ; {2 ; 3 ; 1} ; {3 ; 1 ; 2} ; {3 ; 2 ; 1}.

EXERCICES

1) Dénombrer des 𝒌-uplets d’un ensemble fini.

a) Établir la liste des triplets de l’ensemble 𝐸 = {𝑎 ; 𝑏}.

b) Combien de mots de trois lettres (ayant un sens ou non) peut-on former à l’aide des lettres A, E, I, O, U ?

c) Une grille est quadrillée avec 60 carreaux rectangulaires. On colorie chaque carreau en rouge, vert ou bleu. Combien de grilles différentes peut-on ainsi réaliser ?

2) Dénombrer des 𝒌-uplets d’éléments distincts.

Une compétition de jeux vidéo en ligne oppose six joueurs notés 𝐽₁, 𝐽₂, , 𝐽₃, , 𝐽₄, , 𝐽₅ et , 𝐽₆.

A la fin, un classement est établi et il n’y a pas d’ex aequo. Le meilleur joueur reçoit une médaille d’or, le deuxième une médaille d’argent et le troisième une médaille de bronze.

Combien y a-t-il de podiums possibles ?

3) Dénombrer et utiliser des permutations.

Combien peut-on former de mots (ayant un sens ou non) de sept lettres distinctes avec les lettres du mot

« produit » ?

Parmi ces mots, combien commencent par une voyelle ?

4) Dans une classe de terminale, cinq élèves n’ont pas encore été évalués à l’oral. Dans combien d’ordres différents le professeur peut-il les interroger, chaque élève n’étant interrogé qu’une et une seule fois ? Combien y a-t-il de possibilités s’il n’a pas le temps d’interroger que trois d’entre eux ?

Soit 𝐴 un ensemble fini non vide à 𝑛 éléments.

Une PERMUTATION de 𝐴 est un 𝑛-uplet d’éléments distincts de 𝐴.

DEFINITION

Le nombre de 𝒑𝒆𝒓𝒎𝒖𝒕𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 d’un ensemble fini non vide à 𝒏 éléments est 𝒏!.

PROPRIETE

III) COMBINAISONS D’UN ENSEMBLE FINI.

1) Parties d’un ensemble fini.

REMARQUES :

• Il ne faut pas confondre une partie d’un ensemble avec un 𝑘-uplet. Par exemple, {1 ; 2} = {2 ; 1} est une partie à deux éléments, tandis que (1 ; 2) et (2 ; 1) sont des couples distincts.

• L’ensemble des parties de 𝐴 est souvent noté

P

P

• On a toujours ∅ ∈

P

EXEMPLE :

On considère l’ensemble 𝐸 = {𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐}. Les ensembles 𝐴 = {𝑎 ; 𝑐} et 𝐵 = ∅ sont des parties de 𝐸.

2) Combinaison

EXEMPLE :

On considère les mots de longueur 3 formés avec les lettres de l’alphabet 𝐴 = {𝑎 ; 𝑏}. Construire un mot contenant exactement deux lettres 𝑎 revient à déterminer la position des deux lettres 𝑎 dans le mot de trois lettres, c’est-à-dire une combinaison de deux éléments de l’ensemble {1 ; 2 ; 3}. Il y en a 3.

Soit 𝐸 un ensemble. Dire qu’un ensemble 𝐹 est une partie de 𝑬 (ou que 𝐹 est un sous-ensemble de 𝐸, ou que 𝐹 est inclus dans 𝐸) signifie que tous les éléments de 𝐹 sont éléments de 𝐸.

On note alors 𝑭 ⊂ 𝑬.

DEFINITION

Soit 𝑛 un entier naturel. Le nombre de parties d’un ensemble à 𝑛 éléments est égal au nombre de 𝑛-uplets de l’ensemble {0 ; 1}, c’est-à-dire 2^𝑛.

PROPRIETE

Démonstration

Soient 𝑛 et 𝑘 deux entiers naturels tels que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 et 𝐸 un ensemble fini de cardinal 𝑛.

On appelle COMBINAISON de 𝒌 éléments de 𝑬 toute partie de 𝐸 ayant 𝑘 éléments.

Le nombre de combinaisons de 𝑘 éléments parmi 𝑛 est noté :

(

)

DEFINITION

EXEMPLE :

• Dans l’arbre précédent, il y a trois chemins contenant exactement deux lettres 𝑎 :

(

)

• (33

5) = 33 × 32 × … × 29

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 237 336.

REMARQUES :

• Pour calculer ces nombres « à la main », on utilise la première formule (qui est l’écriture simplifiée de la seconde). Sinon, la calculatrice permet de les déterminer.

• Les nombres

(

)

On peut les noter 𝑪_𝒏^𝒌

• L’égalité

(

) = (

)

• Les combinaisons ne font pas apparaitre l’ordre des éléments.

Soit 𝑛 et 𝑘 deux entiers naturels tels que 𝑘 ≤ 𝑛. Alors :

• (𝒏

𝒌) = 𝒏!

𝒌! (𝒏 − 𝒌)! 𝒆𝒕 (𝒏

𝒌) = ( 𝒏 𝒏 − 𝒌)

• 𝑹𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑷𝑨𝑺𝑪𝑨𝑳 : 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1, (𝒏

𝒌) = (𝒏 − 𝟏

𝒌 − 𝟏) + (𝒏 − 𝟏 𝒌 )

• 𝐷𝑒 𝑝𝑙𝑢𝑠, (𝒏

𝟎) = 𝟏 𝑒𝑡 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 1, (𝒏

𝟏) = 𝒏 𝑒𝑡 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 2, (𝒏

𝟐) =𝒏(𝒏 − 𝟏)

𝟐 𝒆𝒕 (𝒏 𝒏) = 𝟏 PROPRIETE

Démonstration

Soit 𝑛 un entier naturel. Alors

∑ (𝑛 𝑘)

𝑛

𝑘=0

= 2^𝑛 PROPRIETE

Démonstration

EXERCICES

1) On considère l’ensemble 𝐸 = {1 ; 2 ; 3 ; 4}.

a. Déterminer toutes les parties de l’ensemble 𝐸.

b. Combien y en a-t-il ? Quelle formule peut-on vérifier ?

c. Déterminer le nombre de parties à deux éléments de l’ensemble 𝐸. En déduire

(

)

2) a. A l’aide de la calculatrice, calculer

(

)

b. Même question pour

(

)

(

)

3) Dans un jeu de 32 cartes, une « main » est constituée de cinq cartes.

a. Combien y a-t-il de mains possibles ?

b. Combien de mains contiennent le valet de pique ?

4) Une urne contient quatre boules blanches numérotées de 1 à 4, trois boules vertes numérotées de 1 à 3 et deux boules noires numérotées de 1 à 2. On tire simultanément trois boules de cette urne.

a. Combien y a-t-il de tirages possibles ?

b. Combien y a-t-il de tirages contenant trois boules de même couleur ? c. Combien y a-t-il de tirages contenant au moins une boule noire ? d. Combien y a-t-il de tirages contenant un seul numéro impair ?

3) Relation et Triangle de Pascal.

• 𝑹𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑷𝑨𝑺𝑪𝑨𝑳 : 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1, (𝒏

𝒌) = (𝒏 − 𝟏

𝒌 − 𝟏) + (𝒏 − 𝟏 𝒌 )

EXERCICE

Construire le triangle de Pascal jusqu’à 𝑛 = 8 et donner la valeur de : (4

3) ; (5

3) ; (7

3) ; (8 3)