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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Afrique, 2005.
SUJET
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O ; u→ ; v→), unité graphique 8 cm.
On appelle A le point d’affixe −1 et B le point d’affixe 1.
On appelle E l’ensemble des points du plan distincts de A, O et B.
A tout point M d’affixe z appartenant à l’ensemble E, on associe le point N d’affixe z² et le point P d’affixe z3. 1. Prouver que les points M, N et P sont deux à deux distincts.
2. On se propose de déterminer l’ensemble C des points M de E tels que le triangle MNP soit rectangle en P.
a. En utilisant le théorème de pythagore, démontrer que :MNP est rectangle en P si et seulement si |z + 1|² + |z|² = 1 b. Démonter que |z + 1|² + |z|² = 1 équivaut à (z + ½)(z + ½) −−−−− = ¼ (rappel utile : z × z− = |z|²)
c. En déduire l’ensemble C cherché.
3. Soit M un point de E et z son affixe. On désigne par r le module de z et α l’argument de z, α ∈ ]−π ; π]
a. Démontrer que l’ensemble F des points M de E tels que l’affixe de P soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi−droites (éventuellement privées de points)
b. Représenter les ensemble C et F dans le repère.
c. Déterminer les affixes des points M de E tels que le triangle MNP soit rectangle en P, l’affixe de P étant un réel strictement positif.
A est le point d’affixe −1 et B est le point d’affixe 1.
E est l’ensemble des points du plan distincts de A, O et B c’est à dire E = P\{A ; B ; O} à M d’affixe z ∈ E, on associe N d’affixe z² et P d’affixe z3.
1. Prouvons que les points M, N et P sont deux à deux distincts : M = P ⇔ z = z3 ⇔ z(1 − z²) = 0 ⇔ z = 0 ou z = 1 ou z = −1, M = N ⇔ z = z² ⇔ z(1 − z) = 0 ⇔ z = 0 ou z = 1
et N = P ⇔ z² = z3⇔ z²(1 − z) = 0 ⇔ z = 0 ou z = 1
Mais z ne peut prendre aucune de ces 3 valeurs car M ne peut être ni A, ni B, ni O : les trois points sont donc distincts.
2. C = {M ∈ E tels que MNP soit rectangle en P}.
a. Démontrons que : MNP est rectangle en P ⇔ |z + 1|² + |z|² = 1
MNP est rectangle en P ⇔ NP² + MP² = MN². 0r NP = |zP − zN| = |z3 − z²|, MP = |zP − zM| = |z3 − z|
et MN = |zN − zM| = |z² − z|.
Par conséquent, MNP est rectangle en P ⇔ |z3 − z²|² + |z3 − z|² = |z² − z|²
⇔ [|z²|×|z − 1|]² + [|z|×|z − 1|×|z + 1|]² = [|z|×|z − 1|]² (car |z × z’| = |z| × |z’|)
⇔ |z|4×|z − 1|² + |z|²× |z − 1|²×|z + 1|² = |z|²× |z − 1|²
⇔ |z|² + |z + 1|² = 1 en simplifiant par |z|² et |z − 1|² car ils sont ≠ 0 Ainsi, MNP est rectangle en P ⇔ |z + 1|² + |z|² = 1
b. Démontrons que |z + 1|² + |z|² = 1 ⇔ (z + ½)
z + 1/ 2
= ¼On a : |z + 1|² + |z|² = 1 ⇔ (z + 1)(
z + 1
) + z × z = 1 car z×
z−
= |z|²⇔ (z + 1)(z− + 1) + z × z− = 1 car
z z + '
= z−
+ z'−
et 1−
= 1⇔ z z− + z + z− + 1 + z z− = 1 en développant
⇔ 2z z− + z + z− = 0 en simplifiant
D’autre part : (z + ½)(z + ½) −−−−− = ¼ ⇔ (z + ½)(z− + ½) = ¼ car
z z + '
= z−
+ z'−
et ½−
= ½⇔ z z− + ½ z + ½ z− + ¼ = ¼ en développant
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D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html
A I o B
E
F G
H
⇔ z z− + ½ (z + z− ) = 0 en simplifiant
⇔ 2z z− + z + z− = 0 Ainsi |z + 1|² + |z|² = 1 ⇔ (z + ½)(z + ½) −−−−− = ¼
c. Déduisons en l’ensemble C cherché.
D’après a. et b. MNP est rectangle en P ⇔ |z + 1|² + |z|² = 1 ⇔ (z + ½)(z + ½) −−−−− = ¼ . Or (z + ½)(z + ½) −−−−− = ¼ ⇔ ((x + ½) + iy)((x + ½) − iy) = ¼ (avec z = x + iy)
⇔ (x + ½)² + y² = ¼ , équation du cercle de centre I d’affixe −½ et de rayon ½.
Comme A d’affixe −1 et O d’affixe 0 sont sur ce cercle ,
l’ensemble C cherché est le cercle de centre I d’affixe −½ et de rayon ½ privé des deux points A et O.
Autre méthode : (z + ½)(z + ½)
−−−−−
= ¼⇔
|z + ½ |² = ¼⇔
|z + ½ | = ½ car |z + ½ | > 0⇔
IM = ½ avec I d’affixe−
1/2 et IM = ½ signifie que M est sur le cercle de centre I et rayon ½.3. Soit M(z) ∈ E . |z| = r et arg z = α, α ∈ ]−π ; π]
a. Démontrons que l’ensemble F des points M de E tels que l’affixe de P soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi−droites (éventuellement privées de points).
L’affixe de P est z3 : or |z3| = |z|3 = r3 et arg z3 = 3 arg z + 2kπ = 3α + 2kπ , k ∈ Z.
z3 est un réel strictement positif ⇔ arg z3 = 0 + 2kπ
⇔ 3α = 2kπ
⇔ α = k 2π/3 et puisque α ∈ ]−π ; π], α = 0 ou α = 2π/3 ou α = −2π/3 Soit E et F les points dont les affixes ont pour arguments respectifs 2π/3 et −2π/3 et pour module 1
Les points M(z) tels que |z| = r et arg z = 0 sont ceux de la demi−droite ]OB) (privée de B) Les points M(z) tels que |z| = r et arg z = 2π/3 sont ceux de la demi−droite ]OE)
Les points M(z) tels que |z| = r et arg z = −2π/3 sont ceux de la demi−droite ]OF) F est donc la réunion de ces trois demi−droites
b. Représenter les ensemble C et F dans le repère.
c. Déterminons les affixes des points M de E tels que le triangle MNP soit rectangle en P.
L’affixe de P étant un réel strictement positif, cela revient à déterminer l’intersection de C et F.
Il est évident qu’aucun point de ]OB) n’est sur C.
Notons G et H les points d’intersection de [OE) et [OF) avec le cercle C.
zG = r(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) et zH = r’(cos(−2π/3) + i sin(−2π/3)), c’est à dire zG = r(−1/2 + i 3/2) et zH = r’(−1/2 − i 3/2)
Notons que ces deux complexes sont conjugués.
G ∈ C ⇔ x² + x + y² = 0 ⇔ r²/4 − r/2 + 3r²/4= 0
⇔ r² − 2r + 3r² = 0
⇔ 4r² − 2r = 0
⇔ r = 0 ou r = ½
⇔ r = ½ car G ≠ O
On a alors zG = −1/4 + i 3/4 ou zG = ½ ei(2π/3), et zH étant son conjugué, zH = −1/4 − i 3/4 ou zH = ei(−2π/3).
