Sujet de Thèse
• Titre : Propagation d’ondes internes en océanographie
• Unité de recherche : IRMAR, UMR-6625
• Thème : Équations aux Dérivées Partielles (EDPs)
• Mots clefs : Modélisation asymptotique, EDPs hyperboliques, EDPs dispersives
• Les noms, prénoms, courriel, établissement des directeurs ou directrices de thèse
Duchêne Vincent, CNRS & IRMAR vincent.duchene@univ-rennes1.fr Objectif de la thèse
La densité de l’eau dans les océans varie en fonction de sa température et de sa salinité. Ces variations de densité permettent la formation et la propaga- tion sur de très longues distances d’ondes internes, pratiquement invisibles à la surface [3]. Ce phénomène joue un rôle essentiel pour la dynamique des courants, et leur modélisation fournit un sujet d’étude mathématique passionnant, en particulier pour les raisons exposées ci-dessous.
La propagation des ondes internes est en théorie correctement modélisée par les équations d’Euler incompressibles inhomogènes, soumises à l’action externe des forces de gravité et de Coriolis. Néanmoins ces équations sont trop complexes pour permettre une compréhension claire du phénomène. En particulier, elles sont pleinement tri-dimensionnelles (en espace) alors que la propagation s’observe dans les variables d’espace horizontales. Une stratégie usuelle dans le but d’offrir des modèles —approchés— bi-dimensionnels s’appuie sur la moyennisation des variables selon l’axe vertical et des hypothèses de fermeture pour les termes non-linéaires. Dans certains cas, comme par exem- ple dans le cas d’un fluide homogène à surface libre [5], cette stratégie peut être rendue parfaitement rigoureuse à l’aide d’uneanalyse asymptotique.
Dans le cadre des ondes internes, deux types de moyennisation peuvent être envisagés simultanément. D’abord le fait que les fortes variations de densité sont localisées dans une domaine de faible épaisseur (la pycnocline) amène à l’extrême à considérer deux fluides homogènes de densité différente superposés (cadre bicouche). Ensuite le fait que les ondes internes sont de grande amplitude et de grande longueur d’onde pousse à considérer le régime asymptotique d’eau peu profonde, qui utilisé à son paroxysme correspond
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au cadre hydrostatique. Le système de Saint-Venant bicouche s’obtient en considérant ces deux approximations simultanément ; voir [2] entre autres.
Si l’on cherche à raffiner ce modèle afin d’observer au premier ordre des effets dispersifs ou des effets de mélange alors l’analyse se heurte à deux écueils.
D’abord, si l’on considère le cadre bicouche mais que l’on relaxe l’hypothèse hydrostatique, alors l’apparition desinstabilités de Kelvin-Helmholtzrend le système considéré mal posé pour le problème de Cauchy. Il est possible de regagner le caractère bien posé en ajoutant de manière ad hoc des termes régularisants tels que les effets de tension de surface [4], mais on s’écarte alors de la modélisation rigoureuse du phénomène en question.
Si au contraire on décide de garder l’hypothèse hydrostatique mais de considérer des fluides continument stratifiés (on parle alors d’équationsprim- itives), alors là encore le système considéré semble mal posé pour le prob- lème de Cauchy —tout du moins le problème est largement ouvert. Comme précédemment, il est possible d’ajouter des termes régularisants afin de retrouver le caractère bien posé (voir par exemple [1]), mais la dérivation de ces termes n’est pas justifiée de manière satisfaisante.
L’objectif de la thèse consistera à naviguer entre ces deux écueils afin de proposer et d’étudier des modèles pour la propagation des ondes internes, obtenus de manière complètement rigoureuse à partir des équations d’Euler inhomogènes, et s’écartant du cadre à la fois bicouche et hydrostatique.
References
[1] C. Cao, J. Li, and E. S. Titi. Global well-posedness of the three- dimensional primitive equations with only horizontal viscosity and diffu- sion. Comm. Pure Appl. Math., 69(8):1492–1531, 2016.
[2] V. Duchêne. Asymptotic shallow water models for internal waves in a two-fluid system with a free surface. SIAM J. Math. Anal., 42(5):2229–
2260, 2010.
[3] C. R. Jackson. An atlas of internal solitary-like waves and their proper- ties, 2004. http://www.internalwaveatlas.com/Atlas2_index.html.
[4] D. Lannes. A Stability Criterion for Two-Fluid Interfaces and Applica- tions. Arch. Ration. Mech. Anal., 208(2):481–567, 2013.
[5] D. Lannes. The water waves problem, volume 188 of Mathematical Sur- veys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2013. Mathematical analysis and asymptotics.
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