L3SPI
16 janvier 2009 Durée 2 heures
Examen de Mathématiques : contrôle 2
Calculatrice et document sont interdits. Seule une feuille A5 manuscrite au choix de l’étudiant est autorisée.
Exercice 1 :
Résoudre les équations différentielles
y”−3y0+ 2y = 6x y”−3y0+ 2y = 6x.e−x
En déduire la solution de l’équation différentielle
y”−3y0+ 2y= 6x.(e−x+ 1) On pourra appliquer le principe de superposition des solutions.
Exercice 2 :
Résoudre l’équation différentielle
x(x+ 2)y0+ 2.(x+ 1)y=Ln(x) pour x >0, avec la condition y(1) = 0
Exercice 3 :
Soit la matrice A :
A=
1 2 2 1 1 −1 1 0 2
a) Calculer le déterminant de A.
Inverser la matrice A
b) Résoudre le système linéaire
x+ 2y+ 2z= 1 x+y−z= 2 x+ 2z= 3
On pourra utiliser pour cela la question précédente.
c) Calculer le polynôme caractéristique de A.
Diagonaliser la matrice A et donner D et P (matrice de passage)
