L3SPI
2 Novembre 2011 Durée 2 heures
Examen de Mathématiques : contrôle 1
L’utilisation ou la consultation de téléphone est formellement interdite, les calculatrices et les téléphones doivent être rangés et éteints.. Les documents sont interdits. Seule une feuille A5 manuscrite au choix de l’étudiant est autorisée.
Barème indicatif : 4+4+12
Exercice 1 :
Soient le polynômeP(x) = 3x3−4x2+ 2x+ 4etz0 = 1 +i.
1. Montrer quez0est une racine deP. 2. Montrer quez0est une racine deP. 3. DéterminerQ(x) = (x−z0)(x−z0).
4. FactoriserP(x)dansR.
Exercice 2 :
Soient les polynômesP(x) =x4−x3+ 6x2−1etQ(x) =x3−x2+ 4x−4 1. Effectuer la division euclidienne deP parQ.
2. En remarquant queQ(1) = 0factoriserQdansR.
3. Déterminer la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle P(X) Q(X). Exercice 3 :
Soient les deux fonctionsfetkdéfinies par
∀x∈R∗, f(x) = ex−1
x et∀x∈R, k(x) =ex(x−1) + 1
On noteCla représentation graphique def. Les questions ne sont pas classées par ordre croissant de difficulté et chacune d’elle peut être traitée en admettant les questions qui la précède.
1. Calculerk(0) = 0puis étudier les variations dek, en déduire que∀x∈R∗, k(x)>0.
2. Étudier les variations def, ainsi que ses limites en±∞.
3. Déterminer la limite def en 0.
4. Dans la suite de l’exercice on suppose quef est définie surRtout entier et quef(0) = 1.
5. Déterminer un DL def en 0 à l’ordre 2.
6. En déduire quef est dérivable en 0, et déterminerf0(0).
7. Montrer quef possède en+∞une branche parabolique.
8. Donner un équivalent simple def en+∞puis un équivalent simple def en−∞.
9. ReprésenterC, en faisant clairement apparaître l’allure de la courbe au voisinage de−∞, de 0 et de+∞.
10. Montrer que la fonctiong(x) = ln(f(x))est croissante surR.
