Université Mohammed V-Rabat Année Universitaire 2019-2020 Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Module : Algèbre 6 Corrigé
Exercice 6.
1. Soit a+ib, c+id∈Z[i]. On af((a+ib) + (c+id)) =f((a+c) + (b+d)i) =a+c+i(b+d)
=a+ib+c+id=f((a+ib)) +f((c+id)).
De la même façon, on vérie quef((a+ib)(c+id)) =f(a+ib)f(c+id).
Aussi, on a f(1) = 1.
2. Soita+ib∈Z, avec a, b∈Z. On a a+ib∈kerf ssi f(a+ib) = 0ssi a+ib= 0ssi a=b= 0 ssi a, b∈ 5Z ssi a+ib∈I ainsiI = kerf et par suite I est un idéal de Z[i]. Il est clair que f est surjectif, donc, d'après le premier théorème d'isomorphisme, Z[i]/I est isomorphe à Z5[i].
3. DansZ5[i], on a(2 +i)(2−i) = 5 = 0,2 +i6= 0 et2−i6= 0. Alors Z5[i]n'est pas intègre ainsi Z[i]/I n'est pas intègre et par suiteI n'est pas premier.
Exercice 7.
1. Soit a+ib√
2, c+id√
2∈Z[i√
2]. On a f((a+ib√
2) + (c+id√
2)) =f((a+c) +i(b+d)√ 2)
= a+c = a+c = f((a+ib√
2)) +f((c+id√
2)). Aussi, on a f((a+ib√
2)(c+id√ 2)) = (ac−2bd) +i(ad+bc)√
2 =ac−2bd=ac =a.c =f(a+ib)f(c+id). Aussi, on a f(1) = 1.
2. Comme dans l'exercice 6, il sut de montrer que < i√
2 > est le noyau de f. Il est clair que i√
2∈Ker(f), d'où< i√
2>⊂Ker(f).
Pour montrer l'autre inclusion, on considèrea+i√
2b∈Ker(f)(aveca;b∈Z). Alors,a= 0 et ainsia= 2k pour un certaink∈Z. Alors,a+i√
2b= 2k+i√
2b= (−i√
2k+b)i√
2∈< i√ 2>
(car −i√
2k+b ∈Z[i√
2]). Par suite, Ker(f) ⊂< i√
2> donc < i√
2 >=Ker(f) est un idéal de Z[i√
2].
Il est évident quefest surjectif. Alors, d'après le premier théorème d'isomorphisme,Z[i√
2]'Z2
ainsiZ[i√
2]/ < i√
2> est un corps et donc< i√
2>est un idéal maximal.
