R ENDICONTI
del
S EMINARIO M ATEMATICO
della
U NIVERSITÀ DI P ADOVA
B ERNHARD F REY O TTO M UTZBAUER
Regulierende Untergruppen und der Regulator fast vollständig zerlegbarer Gruppen
Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 88 (1992), p. 1-23
<http://www.numdam.org/item?id=RSMUP_1992__88__1_0>
© Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 1992, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova » (http://rendiconti.math.unipd.it/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
fast vollständig zerlegbarer Gruppen.
BERNHARD FREY - OTTO MUTZBAUER
(*)
1.
Einleitung.
Eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe
G ist eine torsionsfreie abelscheGruppe
endlichenRanges,
die einevollständig zerlegbare Untergruppe
von endlichem Index enthält. Die(endlich vielen)
voll-ständig zerlegbaren Untergruppen
von minimalem Index heißen regu- lierendeUntergruppen.
Der Durchschnitt allerregulierenden
Unter-gruppen, der
sogenannte Regulator
ist nachBurkhardt [Bu]
ebenfalls einevollständig zerlegbare Untergruppe (von
endlichemIndex)
und derIsomorphietyp
derFaktorgruppe
nach demRegulator
ist eine In- variante derGruppe.
In der
Arbeit [KM]
wurde 1984 eine Klassifikation fastvollständig zerlegbarer Gruppen
vorgenommen und als endliches Problem er-kannt,
sofernGruppen
vongleichem Quasüsomorphietyp
und mit iso-morphen Regulatorquotienten verglichen
werden. Dort wurden eine Reiheexpliziter
Problemebenannt,
von denen hiereinige aufgegriffen
werden. Es werden
regulierende Untergruppen
charakterisiert und ei-ne Methode
vorgestellt,
aus einerbeliebigen vollständig zerlegbaren Untergruppe
von endlichemIndex,
eineregulierende Untergruppe
zubestimmen. Daraus erhält man dann alle
regulierenden Untergruppen
und den
Regulator.
Anschließend wird ingewissen Spezialfällen
dieAnzahl der
regulierenden Untergruppen
bestimmt.Bezeichnungen
und Notationen sindFuchs [Fu]
entnommen. MitA(z) : = rl
undA " (,7): =
o- >rj).
werden wie üb- lich dieTypenuntergruppen
von A für denTyp
r bezeichnet.Für eine fast
vollständig zerlegbare Gruppe
G seii(G)
der Index ei-ner
regulierenden Untergruppe
von G undT(G) : _ 1,r 1 G # (z)~
(*) Indirizzo
degli
AA.: Mathematisches Institut, UniversitätWürzburg,
Am Hubland, 8700
Würzburg,
Deutschland.die
Zerlegungstypenmenge
von G. Weiter bezeichneWz
einen maxima- lenT-homogenen
direkten Summanden einervollständig zerlegbaren Gruppe
W.Ist W =
® WT
eineregulierende Untergruppe
der fast vollstän-T e T(G)
dig zerlegbaren Gruppe G,
danngilt
dieButlergleichung G(z)
=Wz ®
0
G ~ (z)
für alle z ET(G), vgl. [La].
Weiter sei reg G dieMenge
der regu- lierendenUntergruppen
von G.2. Standardisierte Elemente.
Eine
Teilmenge
... , einervollständig zerlegbaren Gruppe
nU heißt
Zerlegungsbasis
vonU,
wenn U =gilt.
Erfüllt eineZerlegungsbasis
für die natürliche Zahl m dieBedingung
hp (xi )
für allei,
und allePrimzahlen p mit p m ,
so
spricht
man von einer m-Basis von U. Einem-Basis,
die zusätz-lich
erfüllt,
heißt m-Koehler-Basis von U. Ist 1B einem-Koehler-Basis,
sogilt X(xj)
für allei, j
mit und B ist auch eine kT-Koeh- ler-Basis fürm und r E N.
Jedevollständig zerlegbare Gruppe
besitztm-Koehler-Basen
[Ko].
Imfolgenden
wird einevollständig zerlegbare Gruppe
U meist in der Form mitm-(Koehler-)Basis
... , und 1
E Si c Q angegeben,
wobeiXSi (1)
=Zu (xi),
alsoSi
xi ==
~u gilt.
Für eine torsionsfreie abelscheGruppe
U und ein g be-zeichne
U)
dieOrdnung
von gbezüglich
U.Liegt
Ufest,
sospricht
man kurz von derFaktorordnung w(g)
von g. Sei U einevollständig zerlegbare Gruppe
mitZerlegungsbasis B = {x1,
... ,xn}.
Dann heißt g E
QU
standardisiertbezüglich
83, oder kürzerdisiert,
wenn in derDarstellung
für
alle j gilt:
aj e Z und 0 ~ aj_
Ein 1B-standardisiertes
Element 9
e das in der Nebenklasseliegt,
heißt 83-standardisiertes Urbild vonh.
Daseindeutig
bestimmte B-standardisierte Urbild der Nebenklasse 0 + U ist 0.LEMMA 2.1. Sei U eine
vollständig zerlegbare Gruppe
mit einerm-Basis 83. Dann
hat jedes
eineindeutig
be-stimmtes B-standardisiertes Urbild h mit h = h + U.
n
BEWEIS. Existenz: Sei ~3 = ... , und U =
(DSix.
Seiho
_ j=l i n i
ein
beliebiges
Urbild von h und ca :=wu(ho),
so istwho = ,L ajxj E
iU,
wobei aj E
Sj.
Sei al =blc
ingekürzter
Formmit b,
c e Z. Dann exi- stiert eine natürlicheZahl v,
so daß fürgilt ggT (d, wjd)
= 1. Nach dem Satz von Bezout existieren r, s E Z mit rcd + sw = d. Damitergibt
sichda,
=rcdal
+ swa1 und man erhältDa
jeder
Primteiler p von d auch ein Teiler von cist, folgt
fürp 1 d
wegen
1 /c
E daßhp (x1)
> 0. Weitergilt
d|w und
w d.h. diese p- Höhensind 00,
da B eine m-Basis ist. Damitergibt
sich =Sl ,
also(s/d)
al Xl E U und läßt sich modulo U durch(rc/w)
al Xl =/ n B
=
(rb/w)
Xl ersetzen. Setzehl
=+ I
aj xj , dann ist c~ =B j = 2 /
= Weiter
gilt hl
+ U =ho
+ U undto(h1) hl
hatbei x1
denganzzahli-
gen Koeffizienten rb.
Analog
konstruiert manfür j = 2, ..., n
die Ele-mente
hj ,
so daß schließlichwhen
nur nochganzzahlige Koeffizienten fj
hat und c~ =
gilt.
Sei wj : _ ~1 Sj IcuSj 1 für j
=1, ..., n.
Wähle nun uEUmitso daß
0 ~ , f + Wj Uj wj gilt.
Die Existenzsolcher uj folgt
aus der Divi-sion mit Rest in Z. Dann ist h
= hn
+ u standardisiertbezüglich
1B undes
gilt h
+ U =hn
+ U =ho
+ U.Eindeutigkeit:
Seienhl , h2
standardisierte Urbilder vonh,
sogilt hl = h2
+ u für ein u e U und ca : =to(h1)
= Dawh2, U E U,
ha-ben diese Elemente
bezüglich
der m-Basis Beindeutig
bestimmte Dar-n n
stellungen und u = 1
UjXj.Wegen
=wh2
+ wugilt
1 = 1 1 = 1also al,j a2,j + wuj, wobei die aj,j
ganzzahlig sind,
d.h. auch couj istganzzahlig.
Nun ist w ein Vielfaches von wj, etwa W = rwj mit r E Z. DaUj
und 93 als m-Basis auch eine w-Basisist,
ist Wj relativprim
zumNenner von Also ist
ruj
E Z. Desweiterengilt
0 ~ also 0 ~5
1 al, j - a2, ~ ~ [ wuj [ = a2, j und
damithl
=h2.
Liegt
keine n1-Basis vor, sogilt
Lemma 2.1nicht,
wiefolgendes Beispiel zeigt: Sei q
einePrimzahl,
G = alsozyklisch,
undU =
qG
= eine(vollständig zerlegbare) Untergruppe
mit Zerle-gungsbasis lxl.
Dann hat kein 0 ~ h + U EG/U
ein standardisiertes Urbild in G. Ist nämlich h = EG B U
standardisiertbezüg-
lich
fxl,
sogilt
nach Definition a E Z und nach Konstruktion = q.Andererseits
gilt
aber h = =(a/q)
x EU,
da(a/q)
E( 1 /q) Z,
wasim
Widerspruch
zur Wahl von h steht.Jedes g E G hat nun,
bezüglich
einer m-Basis 83, eineeindeutige Darstellung
g = h + u, wobei h das 1B-standardisierte Urbild der Rest- klasse g + Uist,
und u E U. Ist dieDarstellung
gl =hl
+ ul und g2 == h2
+ u2 , sowie n E Zgegeben,
so ist in allerRegel hl
+h2
bzw.nhl
nicht das 93-standardisierte Urbild von
(91
+g2)
+ U bzw. ngl + U.Sei U eine
vollständig zerlegbare Gruppe
und ~3 ={x1,
... , eineZerlegungsbasis
von U. Für eing E m -1 U
mit derDarstellung
n
w(g) g = 1
a2 xibezüglich
93 bezeichne0 1den
M-Trä-i = 1
ger von g. Desweiteren heißt ai die i-te 83-Koordinate von g und der i-te
93-Koeffizient
von g.Liegt
~3fest,
sospricht
man kürzer vomTräger I(g)
und der i-ten Koordinate bzw. dem i-ten Koeffizien- ten.LEMMA 2.2. Sei U eine
vollständig zerlegbare Gruppe
und ~3 =- ~x1, ... ,
eine m-Basis von U. Ist h Em -’
U ein 93-standardisiertesElement,
dann hat h den kleinstenTräger
in der Nebenklasse h + U.Ist g
= h + u mit u EU,
sogilt I(g)
=I(h)
UI(u).
Desweiteren
gilt t(g)
=t(h)
1Bt(u),
das bedeutett(h) ~ t(g)
undt(u) > t(g).
Insbesonderegibt
es unterTypen
der Elemente einer Ne- benklasse eineneindeutig
bestimmtengrößten Typ,
der vom 93-stan-dardisierten Urbild dieser Nebenklasse angenommen wird.
n n
BEWEIS. Sei U =
® S2 xi
und sei g = h + u= ,5i
+i=1 i=1
mit
0 ai |xi>U*/wU(g)xi>U*|,
ai E Z undUi E Si.
Danngilt
+ mit
I C Z>* / U(g)B Z>* !.
ai e Z2
eZ
Danngut
ai + ui = 0 => ai = 0 = ui , denn für 0 ;c ui ist
,Si ,
also enthält
(JJu(g)
einen zum Nenner von ui teilerfremden Faktor. Alsogilt I(g)
=I(h)
UI(u).
Weiter
gilt
Die
Aussagen
von Lemma 2.2gelten
imallgemeinen
nur für dieTypen,
nicht aber für die
Charakteristiken,
wiefolgendes Beispiel zeigt:
Seien p, q zwei verschiedene
ungerade
Primzahlen. Sei U =ED Zy,
dann ist einepq-Koehler-Basis
von U. Das Element h : =(x
+2y)/pq
E(pq) -I
U ist standardisiertbezüglich ~x, yl
und2 -1 h ~
Für u =xlpr=
Ugilt
ebenfalls2’~ %
Aber(pq)-l U gilt 2-1 g
=2 -1 (((q
+1) x
+2y)/pq)
E(pq) 1 U,
da
2 ~ q
+1,
alsox(h) ~ X(u).
In diesemspeziellen
Fallgilt
sogarx(h) x( g).
Die
folgenden
einfachen Sachverhalte werdenhäufiger
verwen-det.
BEMERKUNG 2.3. Sei G eine torsionsfreie abelsche
Gruppe
und Ueine
Untergruppe
vom endlichen Index m. Die Charakteristiken eines Elements u E U in G bzw. U sind sowiesoäquivalent
und unterscheiden sich nur für Primteiler von m.Ist G insbesondere fast
vollständig zerlegbar,
U c G eine vollstän-dig zerlegbare Untergruppe
von endlichem Index mit m-Koehler-Basis... , xn },
sofolgt
für ein 93-standardisiertes Element h aust(h) ~
bereitsXU (Xj).
Ist nämlich h =1 /mu (h) 1
soi E I(h)
gilt XG (h) % XU (wu (h) h) _ A XU (ai xi ) % A XU (xi ) % xU (xi),
da 93 ei-ne m-Koehler-Basis ist. 2 E I(h) i E I(h)
3.
Regulierende Untergruppen.
Nun wird ein Verfahren
vorgestellt,
wie man aus einerbeliebigen vollständig zerlegbaren Untergruppen
von endlichem Index eine regu- lierendeUntergruppe
bestimmen kann. Desweiteren werden notwen-dige
und hinreichendeBedingungen
für W E reg G an diebezüglich
ei-ner
[G : W]-(Koehler)-Basis
standardisierten Elemente aus G bewie-sen.
LEMMA 3.1. Sei G eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe.
Einevollständig zerlegbare Untergruppe
U c G vom endlichen Index m istreguLierend,
wennfür alle, bezüglich
einerbeliebigen
m-Basis von Ustandardisierten Elemente h E G mit
t(h)
ET(G) gilt
h EG # (t(h)).
BEWEIS. Sei 93 eine m-Basis von U =
EB Uz,
so daß alle 83-stan--r E T(G)
dardisierten Elemente h E G mit
t(h)
ET(G)
inG # (t(h)) liegen.
Es ge-nügt
dann fürjeden Typ z
eT(G)
dieButlergleichung G(z) = U-r
0zu
zeigen,
d.h. hierUz
EBG # (~).
Sei g
= h + u EG(z)
mit u E U und dem 2-standardisierten Urbild h von g +U,
sogilt
nach Lemma 2.2t(h) ~
T,t(u) ~
r, also muß h EUT
(B E9G * (r) gezeigt
werden. Istt(h)
= z, sogilt
nachVoraussetzung h
EE
G # (z),
fallst(h)
> z,gilt
sowieso h EG(t(h)) c G # (z).
Es
genügt nicht,
wenn dieBedingung
h EG # (t(h))
aus Lemma 3.1für die 83-standardisierten Urbilder eines
Erzeugendensystems
... ,
hn }
vonG/U
erfültist,
wiefolgendes Beispiel zeigt:
Sei G =
(U, (zi
+X2)/P, (X3
+(p -1)x2)/p),
und x2 ,x3 ~
einep-Koehler-Basis
von X2 x3 mit rationalenGruppen
so daß = 0 und >
t(x3 ),
Danngilt
zwar
Sei
dann ist das B-standardisierte Urbild h =
(Xl
+ der Nebenklasse h’ +U,
und hwiderspricht
derBedingung
h EG # (t(h))
=G # (t(x3)).
Die
Untergruppe
U ist nachLady
auch nichtregulierend,
da[G : U] =
=
p 2
aberi(G) =
p. Eineregulierende Untergruppe
wäre hier U’: ==
S,
Xl womit danngilt
G= (U’,(XI
+X2)/P)
und[G: U’]
= p.Der
angekündigte Algorithmus
ist imfolgenden
Lemma 3.2 gege- ben.LEMMA 3.2. Sei eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe
G und ei-ne
vollständig zerlegbare Untergruppe
von endlichem Index U =n
=
(D Sj xj
mit [/3=1X1, gegeben.
Wider-j=l n
spricht
ein B-standardisiertes Element h =L
ai xi der Trä-gerdebingung
i = Iin der i-ten
Koordinate,
so ist V: =Si
h EB(DSj
Xj einevollständig
zer-legbare Untergruppe
von G mit[G : VJ [G : U].
Ist
außerdem wu(h) teilerfremd
zur i-ten Koordinate ai , so existiert ein B-standardisiertes Element h’ mit V ’= Si h’(D ®
U.BEWEIS. O.B.d.A.
widerspreche
h für i = 1 derBedingung (1).
Für den
Fall,
daßggT (wu(h), al)
= 1ist,
kann o.B.d.A. al = 1 angenommen werden. Falls 1gibt
es nach dem Satz von Bezout v, w E Z mit val +wwu (h)
= 1. Dann hat das standardisierte Urbild h’von g + U mit g : = vh + die erste Koordinate 1.
Wegen ggT (v,
= 1gilt (h’
+0 = (,g
+0 = (h
+0. Wegen t(h’) =
=
t(h)
=t(xl) widerspricht
auch h’ derBedingung (1),
d.h. es kann mit h’an Stelle von h
gearbeitet
werden.Da 83 eine
[G : U]-Koehler-Basis ist,
undt(h)
=t(xl) gilt, folgt
nachn
Bemerkung
2.3XG (h) ~ XU (Xl) = fl (1).
Alsogilt
V : _,S1
h (9®_ sj x c
C_ G. J=2 2
i -
Nun
gilt 1 al,
da al XlE V,
d.h. falls al = 1gilt
U c V. Sei W =n
_ ,Sl cw (xl )
Xl EB®
Un V,
dann hatG/W
diehomomorphen
Bilderj=2
G/ U
undG/V
mit den KernenU/W
undV/Wo Wegen 1 UIWI
=
WV(XI) al
und alwu(h) =
Wunv (h) ~ V/W ~ 1 ergibt
sich[G : U]
>[G : I/l..
Da nicht
jede vollständig zerlegbare Untergruppe
U c G in einer re-gulierenden Untergruppe
von G enthaltenist, gilt
i.a. nicht U.BEMERKUNG 3.3. Sei G eine fast
vollständig zerlegbare Gruppe,
und U eine
vollständig zerlegbare Untergruppe
von endlichem Index mit[G : U]-Koehler-Basis
93, dann ist dieTrägerbedingung äquivalent
zu der
Bedingung,
daßjedes
93-standardisierte Element h inG # (t(h)) liegt.
SATZ 3.4. Sei G eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe
undW c G eine
vollständig zerlegbare Untergruppe
vom endlichen Indexm. Dann sind
folgende Aussagen äquivalent:
(i)
DieUntergruppe
W istregulierend.
(ü)
Fürjede
m-Koehler-Basis 93 von Wgenügen
alle 83-standar- disierten Elemente h derTrägerbedingung (Bedingung (1))
undliegen
in
G # (t(h)).
(iü)
Esgibt
eine m-Basis Bvon W,
sodaß
alle B-standardisier- ten Elemente h E G mit r =t(h)
ET(G)
inG # (z) liegen.
(iv)
G HG/W
der kanonischeEpimorphismus,
danngilt für
alle 2 ET(G)
dieGleichung 9’(G(T») = (,r».
BEWEIS.
(i) impliziert (ü)
nach Lemma3.2,
der Minimalität voni(G)
undBemerkung
3.3. Ebensofolgt (iv)
aus(i)
durchAnwendung
von auf die
Butlergleichung.
Aus(ü) folgt
sofort(iii),
und(iü) impli-
ziert
(i)
nach Lemma 3.1. Es bleibt zuzeigen,
daß(iii)
aus(iv) folgt.
Seih ein
bezüglich
einer m-Basis von W standardisiertes Element mitt(h)=TET(G). Wegen ~(h) E ~(G(z)) _ ~(G # (z)),
findet sich in h + W ein Nach Lemma 2.2gilt I(h) c I(g),
alsofolgt
h EE G#(r).
Die bisher
gezeigten
Sätze dieses Abschnittesergeben
einenAlgo- rithmus,
wie man aus einerbeliebigen vollständig zerlegbaren
Unter-gruppe
U,
die endlichen Index m in Ghat,
eineregulierende
Unter-gruppe W c G bestimmen
kann,
indem man das Verfahren aus dem Be- weis von Lemma 3.2 iterativ anwendet.Sei
m/i(G)
= p1... Pk eineZerlegung
inPrimzahlen,
dann sind höch-stens k Iterationen
notwending
und esgilt
k 5log2 (m).
Beijeder
Itera-tion muß für höchstens m standardisierte Elemente die
Trägerbedin-
gung
getestet werden,
und eine Koordinatebezüglich
der neuen Basisneu berechnet werden.
Insgesamt benötigt
derAlgorithmus
also höch-stens 2km E Schritte.
BEMERKUNG 3.5. Sei G eine fast
vollständig zerlegbare Gruppe
und sei W E reg G mit
i(G)-(Koehler-)Basis 2x"
... ,Aus der
Butlergleichung folgt
dannXG (xi)
=XW (Xi) = si (1).
Ist V E
reg G
eine weitereregulierende Untergruppe,
so besitzt Veine n i(G)-(Koehler-)Basis tY1, Yn 1
mit(1),
also V =da W = V.
z=1 l
LEMMA 3.6. Seien eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe
G undW
= flä Si xi
Ereg G
mit ... ,gegeben.
Seienhi E G # (t(xi))
mitXG (hi) % xG (xi),
dann ist aucheine
regulierende Untergruppe
vonG,
und +h1, ... ,
Xn + ist ei-ne
i(G)-Koehler-Basis
von W’. Weiter sind W und W’ genau danngleich,
wenn allehi
in Wliegen.
BEWEIS. Wir
konstruieren
induktivfür j
=0, ..., n regulierende Untergruppen
W,~=W’.
d.h.
Wo = W und Angenommen
fürein n ~ j
> 0 sei bereits Ereg G gezeigt.
Sei T =
t(Xj) und yi
= xi+ hi
für ij bzw. yi
= xi für i >j.
Da nachInduktionsannahme
ist, gilt
mit H ==
( 0 G # (r).
Nun isthj
EG # (r) c H
und ==
(xj)
= nachBemerkung
3.5. Alsogilt G(1") = xj>G* Q3 H
undnach
[Me,
Lemma2.2a] folgt
=x~
+ += xG (zj) = xG (zj) folgt G(T) = Sj (zj
+hj) fl3 H.
Für T ;c 0- ET(G)
unterscheiden sich die maximalen
o-homogenen
direkten Summandenvon
1 und Eg nicht,
und esgilt G(,7)
=G * (~)
CEB Si
yi , d.h.= a
E
reg G.
+hi )
= = +h1,
... , xn +h"
eine
i(G)-Koehler-B asis
von W’.Sei W =
W’ ,
dannfolgt hi
=(xi
+ E W= 1,
... , n. Geltenun
andererseits hi
e W für i =1, ..., n.
AusXG (Xi)
=XW (Xi)
nach
Bemerkung
3.5folgt xG (xi
+hi) > XG (xi).
NachBemerkung
2.3folgt
dannxW (xi
+hi ) >
und damit +W,
also W’ c W.Da W’ E reg G,
also[G : W’ ] = i(G) _ [G : W ] folgt
W = W’.SATZ 3.7. Sei G eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe
undW E reg
G,
dannläßt
sichjedes
W’cz reg G aus Wgemäß Gleichung (2)
konstruieren.n
BEWEIS. Sei mit
i(G)-Koehler-Basis 1X1, xn},
dann
gibt
es nachBemerkung n3.5
einei(G)-Koehler-Basis
B =... , von W’ mit W’ - Seien nun
hl ,
... ,hn
die 93- standardisierten Urbilder derNebenklassen - x1
+W’,
... , - xn + W’.Nach Lemma 2.2
gilt t(hi ) ~ t(xi )
= Desweiteren erfüllendie hi
nach Satz 3.4 die
Trägerbedingung, liegen
also inG # (t(xi)).
Nach Be-merkung
2.3gilt = xW (xi).
Also ist diegemäß (2)
kon-n
struierte
Gruppe V: _ ® Sj (zj
+h2)
Ereg G
miti(G)-Koehler-Basis
... , zn +
hn}
nach Lemma 3.6.Nun
gilt
nachKonstruktion hi
= - xi+ wi
mit wi EW’, also xi + hi
Ee W’ . Desweiteren
gilt xw’ (Yi)
= =xv (xi
+hi )
=xG (xi
+hi )
nachBemerkung
3.5.Aus xG (xi
+hi ) % Z" folgt
nachBemerkung
2.3dann
XW’ (Xi
+h2 ) ;
= d.h.S2 (xi
+hi )
eW ’,
also V c W’ .Da
[G : V]
=i (G) _ [G : W’ ] folgt
V = W’ .4. Anzahl der
regulierenden Untergruppen.
LEMMA 4.1. Sei G eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe.
SeienW,
V zweiregulierende Untergruppen
und 83 ={Xl’ ...,
einei(G)-
Koehler-Basis von W. Für eine
i(G)-Koehler-Basis {Xl
++ gl , ... , Xn +
von V,
die aus 2gemäß Gleichung (2)
konstruiertwird, gilt für
alle a E G dieGleichung J~ (a) :
=t(xi)
minimalbezüg-
lich i E
Im (a)1
=J, (a): = t(xi)
minimalbezüglich
i EI, (a)1.
Weiterist
für
i E(a)
der i-te93-Koeffizient
von agleich
dem i-tentl-Koeffizi-
enten von a.
n n
BEWEIS. Sei W =
flä Sj
xi , V =flä Si (xi
+gi)
und a E Gbeliebig.
Wir
zeigen zuerest,
daß für i EIB (a) ein j
EIa (a)
existiert mit~
t(xi).
Seimit ak ,
bk
ES .
Ist i EIm (a),
dann muß i eIm (x~
+ für mindestens einj
EIa (a) gelten.
Dasbedeutet,
entweder ist sowieso i= j,
oder i eDa gj
Efolgt
> und damit die Zwischebe-hauptung.
Da sich
umgekehrt
auch 93 aus crgemäß Gleichung (2)
konstruierenläßt, folgt
ausSymmetriegründen,
daß zujedem j
EIa (a)
ein i E(a)
existiert mitt(xj).
Damitergibt
sich die Gleichheit vonJa (a)
undJ m (a).
Sei i e
(a),
danngilt wegen gj
EG #
und der Minimalität vondaß für
alle j gilt. Koeffizientenvergleich
undSymme-
trie liefern die letzte
Behauptung
des Lemmas. ZLEMMA 4.2. Sei G eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe.
SeienW,
V zweiregulierenden Untergruppen
und 83 einevon W. Dann hat ein 93-standardisiertes Element h den
größten Typ
inder Nebenklasse h + V.
Weiter is 0 das
einzige
93-standardisierte Element inG,
das in einerregulierenden Untergruppe liegt.
n
BEWEIS Sei 93 = ... , W = dann läßt sich V nach Satz 3.7
gemäß Gleichung (2)
als V =1, $ = Si (xi
+gi)
mit deri(G)-Koeh-
ler-Basis ... , zn +
gn}
darstellen.Sei g
das a-standardisierte Urbild der Nebenklasse h+ V,
danngilt
für ein v E V
mit
di ,
ci E Nach Lemma 4.1gilt
J : =Jm(v)
=Wegen
h - g == v
folgt (h)B
J =Js (g)B
J. Ebensogilt Js (h)
fl J =12 (g)
f1 J. Gäbees nämlich
ein j
E(h)
fl(g),
so wäredj /ww (h) gleich
demj-
ten 2-Koeffizienten von v,
welcher,
dainsbesondere j
E Jist,
nachLemma 4.1
gleich
demj-ten
a-Koeff°lzienten von v, alsogleich
cj wäre. Aber ESj
steht imWiderspruch
zu Lemma 2.2.Analog zeigt
man, daß es kein i E(J m (g)
f1J)/J m (h) gibt.
Insgesamt
ist also =J2 (g) gezeigt.
Weithergilt t(h) _
= A e =
t(g) und g
hat nach Lemma 2.2 maximalenTyp
in der
Nebenklasse 9
+ V = h + V. Ist insbesondere h eV,
sogilt g
= 0und
J2 (h)
=( g) _ 0,
woraus h = 0folgt.
Sei G eine fast
vollständig zerlegbare Gruppe
und 1B einei(G)-Koeh-
ler-Basis einer
regulierenden Untergruppe
W Ereg G.
Dann heißt 1Bfaktortreue,
wennin jeder
Nebenklasseeiner jeden regulierenden
Un-tergruppe
von G genau ein 1B-standardisiertes Elementliegt.
Die
Gruppe
G heißtvollständig faktortreu,
wennjede i(G)-Koehler-
Basiseiner jeden regulierenden Untergruppe
von G faktortreu ist.BEMERKUNGEN.
1 ) Wegen [G : V]
=i(G) = [G : W] gibt
es nachLemma 2.1
genausoviele
Nebenklassen von V in G wie es 1B-standardi- sierte Elemente in Ggibt.
Also ist diei(G)-Koehler-Basis
93 einer regu- lierendenUntergruppe
W genau dannfaktortreu,
wenn in keiner Ne- benklasse einer(anderen) regulierenden Untergruppe
V zwei ~-stan-dardisierte Element
liegen.
Gibt es nur eine
einzige regulierende Untergruppe
W inG,
so istje-
de
i(G)-Koehler-Basis
1B von Wfaktortreu,
d.h. G ist dannvollständig
faktortreu.
Für eine
Charakterisierung
der fastvollständig zerlegbaren Grup-
pen, die nur eine
regulierende Untergruppe
besitzen siehe Satz 5.1.2)
Nichtjede i(G)-Koehler-Basis
einerregulierenden Untergrup-
pe ist
faktortreu,
wie dasBeispiel
inBemerkung
4.9zeigt.
3)
Sei Gvollständig
faktortreu und für i =1, 2
seienWi E
reg G miti(G)-Koehler-Basen Bi und hi
E G standardisiertbezüglich
93i. Dann muß aushl E h2
+W2
nichtunbedingt h2 E hl + WI folgen,
wiefolgen-
des
Beispiel zeigt:
und
Da
i(G)
= 8 ist Gvollständig faktortreu,
wiespäter
in Satz 4.6gezeigt
wird. Sei 832 =
~yl , ... ,
mit y3 = X3 +(Xl
+x2)i2,
y5 = X5 +(X3
++
x4)/2, sowie yi
= xi für i =1, 2, 4, 6.
Nach Lemma 3.6 ist dann auch6
W2
i=1 eineregulierende Untergruppe
von G.Sei
und
dann sind
hl , h3
standardisiertbezüglich
931 undh2
ist832-standardi-
siert. Es
gilt hjE h2
+W2 ,
dennAnderer seits
LEmmA 4.3. Sei G eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe
undeine
regulierende Untergruppe
mitzwei B-standardisierte
Elemente,
die in derselben Nebenklasse einer(anderen) regulierenden Untergruppe liegen.
Desweiteren seiminimal
bezüglich
0. Dann ESj
und1 di 1
1für
alleZ=l,...,~.
BEWEIS. Sei V eine
regulierende Untergruppe
vonG,
so daßhl
undh2
in derselben Nebenklasse von Vliegen,
alsohl - h2
= v mit v E V.Nach Satz 3.7 läßt sich V
gemäß Gleichung (2)
in der Form V = +gi)
darstellen. Das bedeuteti = 1
mit
ci E Si
undai, bi
E Z unter denNebenbedingungen 0 - ai
Wi ==
1
und 0 ~bi W/
=1 Si /ww (h2) Si 1
. Alsogilt
Damit
folgt
dann1 di 1
=ai (h1 ) - bi /ww (h2 ) I
1.Da r = E
T(G)
minimalbezüglich 0, gilt dk
= 0 für zund gs E
G # (z)
fürt(xs)
= r.Folglich Im (ci (xi
+gi))
für unddie
j-te
93-Koordinate von v istgleich
cj. EinKoeffizientenvergleich
lie-fert
dj
= ajbj
= cj ELEMMA 4.4. Sei G eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe
und Weine
regulierende Untergruppe
miti(G)-Koehler-Basis
93. Haben zwei 83-standardisierteElemente,
die in derselben Nebenklasse einer(ande- ren) regulierenden Untergruppe liegen,
diegleiche Ordnung bezüglich W,
so sind sie schongleich.
Insbesondere ist fJ3
faktortreu, falls je
zwei B-standardisierte Ele-ment,
die in derselben Nebenklasse einer(anderen) regulierenden
Un-tergruppe liegen, gleiche Ordnung bezüglich
W haben.n
BEWEIS. Sei 93 = ... , und W =
.EBSiXi.
Weiter seienhl , h2
i=1
zwei 93-standardisierte
Elemente,
die in derselben Nebenklasse einerregulierenden Untergruppe liegen
mit =ww(h2)
=: w. Seihl
==
h2
=L bi xi
unddi
=(ai -
Sei r =t(xj)
mini-mal
bezüglich 0,
danngilt
nach Lemma 4.3dj
E etwadj
=e/f in gekürzter
Form mite, f E Z und f >
0. Alsogilt 1 /fe ,S~
Dahl
und
h2
standardisiertbezüglich
93sind, gilt
0 ~bj 1 Sj Nlf.
Damit
folgt
und somit1 dj 1
=1 (aj -
-
bj)/wl 1 I/i,
also e = 0 = imWiderspruch
zur Wahl vonLEMMA 4.5. Sei G eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe
und93 = ... ,
xnl
einei(G)-Koehler-Basis
derregulierenden Untergrup-
pe W E reg G. Wenn
für
alle 93-standardisierten Elemente 0 undje-
des i E
I(h) gilt hp (xi )
= 0für p
so ist ~3faktortreu.
n
BEWEIS. Sei W = und seien
hl , h2
zwei 93-standardisierteElemente,
die in derselben Nebenklasse einerregulierenden
Unter-gruppe
liegen.
Seisowie
di
=bi/ww(h2).
Sei r =t(xj)
minimalbezüglich
~
0,
danngilt
nach Lemma 4.3dj
eSj,
etwadj
=e/f in gekürzter
Formmit
e, f e
Z. Alsogilt 1/f E Sj.
Für eine Primzahl p mitp f gilt
dannp 1 COW (h1)
oderp ww(h2). Da j
eI(hl) oder j
eI(h2) gilt
nach Voraus-setzung hpw (xj)
=hffJ (1)
= 0. Damitergibt
sichf
= 1. Nach Lemma 4.3gilt
aber1
=1 elf 1
1 und esfolgt dj
=0,
imWiderspruch
zur Wahlvon Also
folgt hl
=hz ,
und 93 ist faktortreu.SATZ 4.6. Sei G eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe,
dann istG
voLlständig faktortreu, falls
eine derfolgenden Bedingungen erfüllt
ist:
(i) i(G)
=p m für
eine Primzahl p und eine natürliche Zahl m.(ii) i(G)
=für
Primzahlen p, q und eine natürliche Zahlm.(iii)
G enthält kein Element 0 mitfür p i(G).
(iv)
G istp-reduziert für
Primzahlen p, diei(G) teilen,
d.h. 0 ist dieeinzige p-divisible Untergruppe
von G.BEWEIS. Seien
W,
V zweibeliebige regulierende Untergruppen
von
G n
und 83 =fxl,
... , einebeliebige i(G)-Koehler-Basis
vonW =
(9 sixi.
(i)
Sei h = 0 ein 93-standardisiertes Elementaus G und
p .
Falls i EI(h)
sofolgt
für die i-te Koordinate 0 ai1 Si lp k
Das bedeutet,Si ,
mit anderen Wortenh si ( 1 )
00. Da 83 eine
p-Koehler-Basis ist,
also{O, oo}, folgt
== 0 und 93 ist nach Lemma 4.5 faktortreu. Da 93 und W
beliebig
waren, istG
vollständig
faktortreu.n n
(ü)
Seienhl
=~
ai xiund h2
=1/ww(h2) L bi xi
zweii=l 1 i=1 1
83-standardisierte
Elemente,
die in derselben Nebenklasse von V lie- gen.Setze di
=bi /ww (h2).
Sei nun r = ET(G)
mini-mal
bezüglich d~ ~ 0,
danngilt
nach Lemma 4.3d~
E etwad~
=e/f in gekürzter
Form mite, f E Z und f >
0. Alsogilt 1 /fe Sj.
Fallsre sowohl die
p-Höhe,
als auch dieq-Höhe
von xjgleich
unendlich. Also wäre1
=ISj/ww(h2)Sjl 1
= 1 und somit aj =bj
=0,
dahl
und
h2
beide 93-standardisiert sind. Damitfolgt
aberauch dj
=0,
im Wi-derspruch
zur Wahl vond~.
Der Fallf =
1 scheidet ebenfalls aus, da1 dj 1
1 nach Lemma 4.3 und es verbleiben die Fällef = p
t undf=q.
1 )
Fall= p’’,
Danngilt
also= 00. Somit
gut [
=1
= 1 undfolg-
lich ist aj =
bj
=0,
dahl
undh2
beide 93-standardisiert sind. Damitfolgt
dann
dj
=0,
imWiderspruch
zur Wahl vondj.
2)
Fallww(h2) = pTq:
Nach Lemma 4.4folgt hl
=h2.
3)
Fall =p s q
und r s: Fallsf =
q, ist1 Sj Icow (h1) 1
; und1 Sj lojw (h2) Sj 1 ~ ~ s.
Dahl
und
h2 j eweils
93-standardisiertsind, folgt
0 ~Damit
ergibt
sichalso ein
Widerspruch,
d.h. nur derFall f = p
kann auftreten. Andersausgedrückt,
alle xi mit E T : _ minimalbezüglich
c~ ~~
01
haben unendlichep-Höhe.
Ebenso haben auch alle xi , für die einz E T mit r
existiert,
unendlichep-Höhe.
Sei nun k E
Im (h2)
sogewählt,
daß kein r E T existiert mitt(xk) ;
z,dann
gilt dk = 0,
also ist = Das bedeutet= und damit
1 ~ ~ s -’’ ~ 1 bk , Insgesamt ergibt
sich damitim
Widerspruch
zu =p s q
4)
Fall =p ~ :
ist ESj
unddamit
gilt
= oo, da 1B einepq-Koehler-Basis
ist. Alsogilt
h : _: =
h2 - (b~ h2 + W,
imWiderspruch
zuI(h2) c I(h)
nach Lemma2.2. Das bedeutet nur der
Fall f = q
kannauftreten,
also1/q
ES .
An-ders
ausgedrückt,
für alle xi mit E T : _1 t(xj)
minimalbezüg-
lich
c~ ~ 01
ist xi/q
e W. Ebenso sind alle xi/q
EW,
für die ein T E T exi- stiert mit r. Sei sogewählt,
daß kein r E T exi-stiert mit z, dann
gilt dk
=0,
also istak /&)w (h1)
=bk/ww(h2).
Das bedeutet
ak/pTq = bk/ps
und damitq 1 ak. Insgesamt ergibt
sichdamit p’hl
EW,
imWiderspruch
zuww (hl) > p~.
Wegen h2 - hl
= - v, sind damit auch die Fälle mit vertauschtenOrdnungen abgedeckt.
Alsofolgt hl
=h2.
Da Vbeliebig
war,folgt,
daß93 faktortreu ist. Da 93 und W
beliebig
waren,folgt,
daß Gvollständig
faktortreu ist.
(iü)
Da 93 einei(G)-Koehler-Basis ist, gilt hp (xi)
E10, - 1
fürund es
folgt
nachVoraussetzung hp (xi )
= 0für p 1 i(G).
Also er-füllt 83 die
Voraussetzungen
von Lemma 4.5 und ist damit faktortreu.Da 1B und W
beliebig
warenfolgt,
daß Gvollständig
faktortreu ist.(iv)
Da Gfür p i(G)
außer 0 keinep-divisible Untergruppe
ent-hält, gibt
es kein 0 ~ g E G mith;(g) = 00,
da sonst 0 ~Zg
einep-divisi-
ble
Untergruppe
von G wäre. Also erfüllt G dieBedingung (üi)
und istvollständig
faktortreu.DEFINITION 4.7. Sei G eine fast
vollständig zerlegbare Gruppe
und W E
reg G.
Weiter sei 93 einei(G)-Koehler-B asis
von W. Mansagt
dieGruppe
Vgeht
durch 93-Standardkonstruktion aus Whervor,
wennsich V aus W
gemäß Gleichung (2)
konstruierenläßt,
und dabei allehi bezüglich
1B standardisierte Element sind.Geht V durch B-Standardkonstruktion aus der
regulierenden
Un-tergruppe
Whervor,
so ist auch V nach Lemma 3.6 eineregulierende Untergruppe
von G.SATZ 4.8. Sei G eine
fast vollständig zerlegbare Gruppe,
W EE reg G und 93 eine
i(G)-Koehler-Basis
von W. Ist93 faktortreu,
sogeht je-
des V E reg G durch eine
eindeutig
bestimmte B-Standardkonstruktionaus W hervor.
n
BEWEIS. Sei B = {x1, ... , xn} und
i=1
2013
Existenz: Nach Satz 3.7 läst sich TT in der Form V =
= +
gi) mit gi
EG # (t(xi))
undXG (gi) ; XG (xi)
darstellen. Da B faktortreuist, gibt
esin jeder
Nebenklasse gi + V ein B-standardisier- tes Elementhi ,
und nach Lemma 4.2gilt t(hi) > t(gi) > t(xi). Sei hi
== gi
+ vi mit vi E
V.Da hi
dieTrägerbedingung erfüllt, gilt hi
EE und nach
Bemerkung
2.3 auchXG (Xi).
Also
gilt für vi = hi - gi ebenfalls vi
EG # (t(xi )) n und XG (Xi).
Wegen vi
E Vgilt
nach Lemma 3.6 dann V = +gi)
+n i=1
+
hi ),
und Vgeht
durch B-Standardkonstruktion aus W1 = 1
hervor.
- Eindeutigkeit:
Gehe durchdie beiden
angegebenen
B-Standardkonstruktionen aus W hervor. We- gen xi +hi , xi
+&/
E Vfolgt (xi
+hi) - (xi
+hi) = hi - hi E V,
also lie-gen hi
undhi
in dergleichen
Nebenklasse von V. Da B faktortreuist, liegt
injeder
Nebenklasse von V genau ein B-standardisiertes Ele-ment,
und esfolgt hi
=hi
für alle i. ZBEMERKUNG 4.9. Auf die
Voraussetzung,
daß ~3 faktortreuist,
kann im Satz 4.8 nicht verzichtet
werden,
wiefolgendes Beispiel zeigt:
Sei
und sei die fast
vollständig zerlegbare Gruppe
gegeben,
dann ist 1B =~xl , ... , x7 ~
eine 30-Koehler-Basis von W. Sei h das 83-standardisierte Urbild einerbeliebigen
Nebenklassevon