3 1 15 2 1 45 6 1 30 Démonstration :

G248 – Le billet universel

Problème proposé par Michel Lafond Solution de l’auteur

Billet 3 x 3

1^ère méthode : les trois cases de la colonne centrale du billet ne comportent que des 1.

On obtient le score de 104 avec le billet ci-dessous :

3 1 15 2 1 45 6 1 30

D’abord, toutes les sommes de 1 à 14 s’obtiennent par un coupon qui 1) n’utilise que les deux premières colonnes,

2) utilise indifféremment une des trois cases "1".

Autrement dit, n’importe quelle case "1" peut être utilisée pour réaliser un coupon de n’importe quelle somme entre 1 et 14, sans utiliser la troisième colonne.

La vérification est immédiate. (Exemple avec la somme 7 dans la figure 1 ci-dessous)

3 1

Figure 1

2 1

6 1

Ensuite, chaque multiple de 15 parmi {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90} peut-être obtenu par un coupon n’utilisant que la troisième colonne. La vérification est immédiate.

Recollons les morceaux : toute somme de 1 à 104 est de la forme A + B avec

A dans {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } et B dans {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90}.

Comme la réunion de deux coupons ayant un côté commun est elle-même un coupon, le résultat en découle.

2^ème méthode : on place les entiers 1,2,4,5 et 8 en 2^ème ligne et 2^ème colonne du billet avec le 1 en position centrale de façon à obtenir à l’intérieur de la croix grecque ainsi formée tout entier compris entre 1 et 18.

9 2 69 4 1 8 28 5 18

La valeur maximale des coupons est égale à 144. On vérifie manuellement ou par un programme

informatique ad hoc que les 218 configurations possibles des coupons découpés dans le billet 3 x 3 (voir http://www.research.att.com/~njas/sequences/A059525 ) donnent bien toute valeur entière comprise entre 1 et 144 inclus.

A noter que la valeur maximale des coupons coïncide avec la valeur totale du billet.Si on admet que cette dernière valeur peut être supérieure à la plus forte valeur des 218 coupons, il existe un billet de valeur totale 156 qui donne un score maximum de 145. Sa composition est la suivante :

11 2 75 4 1 8 30 5 20

En fait on peut avec ce billet obtenir toutes les sommes de 1 à 156, mais pas la somme 146.

Billet 4 x 4

On obtient le maximum 1494 avec le billet ci-dessous (gauche) dans lequel la deuxième colonne comporte exclusivement des cases 1 et les deux premières colonnes permettent d’obtenir tout entier compris entre 1 et 22 quelle que soit la case par laquelle on entre en deuxième colonne

3 1 23 115

Figure 2

1 5

6 1 69 207 3 9

6 1 115 460 5 20

3 1 46 437 2 19

Les deux dernières colonnes fournissent un coupon pour tous les multiples de 23 à 64 x 23 = 1472 avec au moins une case en troisième colonne pour assurer le "recollement" éventuel avec le premier coupon par une case "1".

[Si on divise les nombres des deux dernières colonnes par 23, on vérifie bien (Figure 2 à droite) que toute somme de 1 à 64 est obtenue par un coupon contenant au moins une case de la colonne (1, 3,5,2)].

Le problème reste ouvert pour ce qui concerne les billets dans lesquels les plus petites valeurs d’entrée ne sont pas concentrées dans une seule et même colonne mais affectées à des lignes et des colonnes

différentes. L’existence de 11506 configurations possibles des coupons découpés dans un billet 4 x 4 (voir http://www.research.att.com/~njas/sequences/A059525) laisse entendre que le score de 1494 devrait être amélioré.