J149. Figure obligée
Au centre de n cases d'un vaste échiquier de dimensions 1009 x 1009, on place n jetons.
Q1 Démontrer que pour n = 2018, il y a toujours quatre jetons qui sont les sommets d'un parallélogramme.
Q2 Démontrer qu'à l'inverse pour n = 2017, il existe au moins une configuration dans laquelle il n'existe aucun parallélogramme.
Question 1 :
Pour 2017 pions, il existe de multiples solutions, en proposer une suffira à le preuve en plaçant, par exemple, les 2017 pions sur la première ligne et une diagonale.
Question 2 :
Avec 2018 points, partant de la case en haut à gauche, on voit qu'il y a 1008 x 1008
« vecteurs » non orientés possibles en oblique entre deux cases distinctes, et de même en partant de la case en haut à droite. Ce à quoi il faut rajouter 1008
« vecteurs horizontaux et 1008 vecteurs verticaux.
Soit, au total : 1008 x 2018 = 2 034 144 possibilités.
Or, il y a 2018 x 2017 / 2 couples de points différents ( 2 035 153 )
