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Texte intégral

(1)ROTATION ET HOMOTHETIE 3ème Chapitre E ROTATION ET HOMOTHETIE 3ème ème Chapitre E ROTATION ET HOMOTHETIE 3 I. Transformer une figure par rotation Ch12 : T: ransformations I. Transformer une figure par rotation : I. Transformer une figure par rotation une figure parp rotation, la faire: tourner autour d’un point (sans la déformer). I TTransformer ransformer une figure ar une rc’est otation Transformer par rotation, c’est la faire autour ou d’un point (sans la déformer). Une rotation est définie parune : * figure un centre * un angle * untourner sens (horaire antihoraire) Transformer Une une rotation figure par c’est: *laun faire tourner*autour d’un point déformer). estrotation, définie par centre un angle * un(sans sensla(horaire ou antihoraire) Une rotation est définie par : * un centre * un angle * un sens (horaire ou antihoraire) Méthode : Pour construire l’image du triangle ABC par la Méthode Pour construire du triangle ABC par la rotation de centre O et :d’angle 65° dans l’image le sens horaire : Méthode : Pour construire l’image triangle la horaire : rotation de centre O etdu d’angle 65°ABC danspar le sens rotation de centrel’image O et d’angle 65° dans sens horaire → On construit de chacun des le sommets par la: → On construit l’image de chacun des sommets par la rotation de centre O et d’angle 65° dans le sens horaire. → On construit l’image de chacun sommets par la rotation de centre O et des d’angle 65° dans le sens horaire. 65° rotation de centre O et d’angle 65° dans le sens horaire. Pour construire le point A’ : 65° Pour construire le point A’ : On trace un arc de cercle de centre O et de rayon OA 65° 65° Pourleconstruire point Onlale trace unA’ arc: de cercle de centre O et de rayon OA dans sens de rotation. 65° dansdelecercle sens de rotation. On trace un arc de la centre O et de rayon OA On place ensuite le point A’ sur cet arc tel que AOA’ = 65°. 65° dans le sens de rotation. Onlaplace ensuite le point A’ sur cet arc tel que AOA’ = 65°.O O On place ensuite le point A’ sur cet arc tel que AOA’ = 65°. et O Propriété : Une figure et son image par une rotation ont les mêmes longueurs, les mêmes mesures d’angles Une f igure e t s on i mage p ar u ne r otation o nt l es m êmes l ongueurs, l es m êmes m esures d ’angles e t l es : Une son image par une rotation ont les mêmes longueurs, les mêmes mesures d’a la même aire Propriété (car elles ont la figure même et forme). la même ellesfpar ont la même forme). mêmes aires car elles oaire nt son l(car a mimage ême orme. Propriété : (Une figure et une rotation ont les mêmes longueurs, les mêmes mesures d’angles et la même aire (car elles ont la même forme). Rq : La rotation conserve l’alignement des points (les images de points alignés par une rotation sont aussi alignés). : La rotation conserve l’alignement des points (les images de points alignés par une rotation sont aussi align Remarque : La Rq rotation conserve l’alignement des points. Rq : La rotation conserve l’alignement des points (les images de points alignés par une rotation sont aussi alignés). Rosace : II II. Rosace II. Rosace : Une rosace est une figure obtenue à partir d’un motif reproduit plusieurs fois par rotation. II. Rosace : Une rosace est une figure obtenue à partir d’un motif qui reproduit plusieurs fois par rotation. Une rosace est une figure obtenue à partir d’un motif qui reproduit plusieurs fois par rotation. Une rosace est une figure obtenue à partir d’un motif reproduit 5 fois par de centre O quiMotif reproduit plusieurs parrotation rotation. Ex : Motif reproduit 5 fois parfois rotation de centre O : Ex : Motif reproduit 5 fois par rotation de centre O Ex : Motif reproduit 5 fois par rotation de centre O : × × O O × O Cette r osace e st c onstituée d e 6 m otifs o btenues p ar r otations s uccessives e ccentre entre O). O. Rq : Cette rosace est constituée de 6 motifs (obtenus par rotation successivesdde Rq : Cette rosace est constituée de 6 motifs (obtenus par rotation successives de centre O). L’angle de de cette st ddonc e 3 60 ÷6 L’angle cetterotation rotationeest 360 : 6==60° 60° (car un tour complet représente un angle de 360°). L’angle cette rotation est donc 360 : 6par = 60° (car un tour complet représente est de constituée de 6 motifs (obtenus rotation successives de centre O). un angle de 360°). Rq : Cette rosace de cetteurotation est pdonc 6 = 60° (car un tour complet représente un angle de 360°). III L’angle Transformer ne figure ar u360 ne h:omothétie III. Transformer une figure par homothétie : . PPDD F F PD PP F roro Pr EEv o va al Ev lu ua a al tiotio ua n n tio n. Chapitre E. Transformer une figure par homothétie de centre O, c’est l’agrandir ou la réduire en faisant glisser ses points le long de droites passant par le point O. Une homothétie est définie par : * un centre O et * un rapport k (nombre relatif non nul). Méthode : Pour construire l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport 3 :. A’. On trace en pointillés les droites (OA), (OB) et (OC). Sur la demi-droite [OA), on place le point A’ tel que OA’ = 3 × OA. Sur la demi-droite [OB), on place le point B’ tel que OB’ = 3 × OB. Sur la demi-droite [OC), on place le point C’ tel que OC’ = 3 × OC.. . O. A. C. B. B’. C’. Le triangle A’B’C’ est un agrandissement du triangle ABC. . LFM – Mde athématiques 3 0,25 : Ex2 : Transformer le triangle DEF par l’homothétie centre O et de – rapport ème. Sur le segment [OD], on place le point D’ tel que OD’ = 0,25 × OD. Sur le segment [OE], on place le point E’ tel que OE’ = 0,25 × OE.. D. D’ E’. O F’. 1 .

(2) selon un angle. M’ est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle 60° dans le sens inverse aiguilles Exercices des conseillés En devoir d’une montre signifie que : p184 n°2, 4 p185 n°8 Propriété : ! n°5, 6le sensp193 MOM ' =e60° figure t son pp185 ar M’ une homothétie ont laln°55 es mêmes mesures d’angles. (mais pas les mêmes - Une deimage M vers dans de p188 n°28, 29, longueurs) flèche, 30, 33 - MO = OM’ p190 n°39, 40 Une rotation fait tourner une p193 figuren°54 autour d’un point e Myriade 3 – Bordas Éd.2016 selon un angle. 1. Homothétie de rapport positif Exercices conseillés En devoir n°2, 4 de p185 n°8 M’ est l’image de M par lp184 ’homothétie n°5, 6 : p193 n°55 II. centre Homothétie O et de rapport 2p185 signifie que p188 n°28, 29, -‐ O, M, M’ sont alignés 30, 33 1) -‐ Homothétie M et M’ sont de du rapport même cpositif öté par p190 n°39, 40 rapport à O. p193 n°54de centre M’ est l’image par l’homothétie e -‐ OM’ de = 2M OM O et de rapport 2 signifie Myriade que : 3 – Bordas Éd.2016 - O, M et M’ sont alignés - M et M’ sont du même côté par rapport à O. II. Homothétie - OM’ = 2 x OM 1) Homothétie de rapport positif 2) Homothétie de rapport négatif l’image de M par l’homothétie de centre M’ est de rapport 2 signifie que : OM’etest l’image de M par l’homothétie de centre O et O, M et M’signifie sont alignés de-rapport -0,5 que : - - MO,etMM’etsont du même M’ sont alignéscôté par rapport - àMO.et M’ ne sont pas du même côté par rapport - OM’ à O.= 2 x OM - OM’ = 0,5 x OM 2. Homothétie de rapport négatif 2) Homothétie de rapport négatif Deux figures homothétiques sont une réduction ou un M’ e st l ’image d e M p ar l ’homothétie de centre O et de agrandissement l’une de l’autre. rapport -‐ 0de ,5 sMignifie que : M’ est l’image par l’homothétie de centre O et Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr -‐ O, M , M ’ s ont a lignés de rapport -0,5 signifie que : -‐ MM Msont ’ ne sont pas du même côté par - O, etet M’ alignés rapport à O - M et M’ ne sont pas du même côté par rapport à-‐ O. OM’ = 0,5 OM - OM’ = 0,5 x OM Deux figures homothétiques sont une réduction ou un agrandissement l’une de l’autre. Deux figures hYvan omothétiques sont une de réduction ou u–n www.maths-et-tiques.fr agrandissement l’une de l’autre. Monka – Académie Strasbourg LFM – Mathématiques – 3ème . 2 .

(3) 3. Méthode : Construire l’image d’un point par une homothétie Méthode : Construire l’image d’un point par une homothétie Vidéo https://youtu.be/BNgjzubShAo 1) Construire l’image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport 3. 2) Construire l’image du point B par l’homothétie de centre O et de rapport 0,5.. 1) - On trace la droite (OA). - L’image A’ de A se trouve du même côté que A par rapport au point O. - OA’ = 3 x OA.. 2) - On trace la droite (OB). - L’image B’ de B se trouve de l’autre côté de B par rapport au point O. - OB’ = 0,5 x OB.. . . Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LFM – Mathématiques – 3ème . 3 .

(4) Méthode : Construire l’image d’une figure par une homothétie Méthode : Construire l’image d’une figure par une homothétie Méthode : lConstruire figure par une dhomothétie Construire ’image du tl’image riangle Ad’une BC par l’homothétie e centre O Vidéo https://youtu.be/4H0YCqT93PE et dVidéo e rapport -‐ 2. https://youtu.be/4H0YCqT93PE Construire l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O du triangle ABC par l’homothétie de centre O et Construire de rapportl’image -2. et de rapport -2. construit respectivement les symétriques A’, B’ et C’ de A, B et C par l’homothétie de On On construit les symétriques A’, B’ et C’ de A, B et C par l’homothétie de centre O et de respectivement rapport -2. centre O et deA’ rapport -2. Pour construire par exemple : Pour construire A’ par exemple : - On trace la droite (OA). - On trace (OA). de l’autre côté de A par rapport au point O. - L’image A’ la dedroite A se trouve L’image A’ de A se trouve de l’autre côté de A par rapport au point O. - OA’ = 2 x OA. OA’ = 2 x OA. On fait de même pour construire B’ et C’. On fait de même pour construire B’ et C’.. . 4 4. Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir p189 n°34, 35, p193 n°56. p189 38, 36 n°34, 35, p193 n°56 38, p191 36 n°46, 45 p191 n°46, 45 p186 n°14 p186 n°1421 p187 n°18, e n°18, 21 p187 Myriade 3 – Bordas Éd.2016 e. Myriade 3 – Bordas Éd.2016. Activités de groupe : Activités de groupe : Le tapis : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/tapis3e.pdf Le tapis http://www.maths-et-tiques.fr/telech/tapis3e.pdf Pavage de: papillon : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/pap3e.pdf Pavage de papillon : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/pap3e.pdf. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, autres que celles prévues l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être même faite departielle, ce site sans l'autorisation expresseàde l'auteur. la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales. www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr LFM – Mathématiques – 3ème . 4 .

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