E604 – Une moyenne arithmétique bien encadrée
Solution
Dans la suite de la solution, on appellera S une séquence de nombres entiers tels qu’aucun couple de nombres n’encadre un nombre égal à leur moyenne arithmétique.
Question n°1
Ci-après une séquence S constitué par les 32 premiers nombres entiers Cette séquence établie empiriquement n’est pas optimale dans la mesure où si on cherche à la prolonger pour les entiers supérieurs à 32, on tombe assez vite sur une impasse.
1, 17, 25, 9, 13, 29, 21, 5, 19, 27, 3, 31, 11, 15, 23, 7, 8, 24, 16, 12, 32, 4, 28, 20, 6, 22, 30, 14, 10, 26, 18, 2
Question n°2
Il est possible de produire une séquence S quel que soit le seuil choisi. Le seuil de 100 peut être atteint comme le seuil de 32 mais pour y parvenir il n’est plus question de chercher la séquence de façon empirique et il faut trouver une méthode générale permettant de générer automatiquement la bonne position des nombres entiers successifs..
On constate tout d’abord, comme cela avait été fait dans la première question, que le partage entre entiers impairs et entiers pairs permet de diviser par deux le nombre d’entiers à placer.
En effet toute séquence S de nombres impairs a, b, c, d,e,… a pour séquence jumelle S’ = a+1, b+1, c+1, d+1,… qui est constituée uniquement de chiffres pairs et qui a les mêmes
caractéristiques que la séquence S.
Ensuite quand on se limite aux seuls nombres impairs, on s’aperçoit que l’on peut créer des positions symétriques de telle sorte que la séquence S peut se subdiviser en sous-séquences qui se déduisent facilement les unes des autres.
Prenons l’exemple de la séquence S(55) des 28 premiers nombres impairs dans laquelle on a fait figurer le rang 1,2,3,…28 des nombres impairs ainsi que les écarts Δ(n1,n)= a(n) – a(n- 1) qui séparent deux termes consécutifs
a(n-1) et a(n). On peut faire en sorte que tous les écarts Δ(n1,n)soient des multiples de 2 et au fur et à mesure que l’on progresse dans la construction de la séquence S, les écarts créés sont respectivement égaux à +/- 2, 4, 8, 16, 32,… +/-2 . Les écarts ont été colorés n
différemment selon la valeur de l’exposant n.
Des positions symétriques sont observées par rapport aux cases colorées :
- la sous-séquence 7,39,55,23,.. 35,3 est la symétrique de la sous séquence 1,33,49,…,5 par rapport à la case verte (a(15) – a(14)=2) et pour n14, le terme général est a(n) = a(29-n) + 2
- la sous-séquence 1,33,49,….5 se subdivise elle-même en deux autres sous-séquences 1,33,..,41,9 et 13,45,…,37,5 symétrique par rapport à la case bleue (a(8) - a(7 )= 4 et a(22) - a(21) = -4) si bien que pour 8n14, a(n) = a(15-n) + 4 et pour
28 n
22 a(n) = a(29-n) - 4
- on poursuit avec les symétries par rapport aux cases colorées en ocre (écarts en alternance égaux à +/-8) puis par rapport aux cases colorées en jaune clair (écarts égaux en alternance à deux fois +/- 16)
Comment poursuivre la séquence ?
57 se place entre 25 et 41 de manière à créer une alternance d’écarts égaux à +32,-32,+32,- 32,….. D’où 59 placé symétriquement par rapport à la case verte entre 43 et 27, puis 61 placé symétriquement par rapport à la case bleue entre 45 et 29 puis 63 placé entre 31 et 47 par symétrie à nouveau par rapport à la case verte…. Les écarts égaux à +/- 32 sont tous remplis, le nombre 65 sera le premier à donner l’écart de 64 en étant placé entre 1 et 33 etc….
On obtient ainsi la séquence des 50 nombres impairs de 1 à 99 qui est de type S : 1, 65, 97, 33, 49, 81, 17, 25, 89, 57, 41, 73, 9, 13, 77, 45, 61, 93, 29, 21, 85, 53, 37, 69, 5, 7, 71, 39, 55, 87, 23, 31, 95, 63, 47, 79, 15, 11, 75, 43, 59, 91, 27, 19, 83, 51, 35, 99, 67, 3
En lui juxtaposant la séquence des nombres pairs obtenue en ajoutant 1 à chacun des termes, on obtient l’intégralité d’une séquence de type S pour les 100 premiers nombres entiers.
rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
séquence S(55) 1 33 49 17 25 41 9 13 45 29 21 53 37 5 7
32 16 -32 8 16 -32 4 32 -16 -8 32 -16 -32 2
rang 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
séquence S(55) 5 7 39 55 23 31 47 15 11 43 27 19 51 35 3
2 32 16 -32 8 16 -32 -4 32 -16 -8 32 -16 -32
n) Δ(n1,
n) Δ(n1,
