H10275. Tétraèdre exclu
On donne n points dans l’espace, sans qu’il y en ait 4 dans le même plan.
Combien de segments au maximum peut-on tracer en reliant certains de ces points, sans former de tétraèdre, c’est à dire sans qu’il existe 6 segments reliant deux à deux 4 des points donnés ?
Solution
Partageons les points en 3 ensembles disjoints ; joignons chaque point à tous les points des ensembles dont il ne fait pas partie, sans le joindre à aucun point du même ensemble.
Quelle que soit la façon dont on prendra 4 points, il y en aura au moins 2 dans un même ensemble (principe des tiroirs), et il manquera pour faire un tétraèdre le segment qui devrait les joindre.
Soit q l’entier le plus voisin de n/3 :n= 3q+eavec e=−1, 0 ou 1. Avec 3 ensembles deq,q etq+epoints, on peut tracer 3q2+ 2qe= (n2−e2)/3 segments, soit la partie entière de n2/3.
Cette disposition est optimale, conformément à un théorème de Turán. C’est vrai pour 4 points (supprimer un des 6 segments équivaut à constituer 3 ensembles de 1, 1 et 2 points). Si c’est vrai pour n points, ajoutons un (n+ 1)-ième point ; on formerait un tétraèdre si on le reliait à des points dans les 3 ensembles ; on peut le relier aux points de 2 ensembles, et l’annexer ainsi au 3ème. On voit facilement qu’on maximise le nombre de segments en rendant les 3 ensembles aussi égaux que possible.
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