D2914. Distances inconnues MB
Dans le plan on a 5 points A, B, C, D, E. Sur les dix distances qui séparent les points pris deux à deux, sept d’entre elles exprimées en mm sont connues :
d(A,B) = 2352, d(A,C) = 2352, d(A,E) = 1520, d(B,C) = 2352, d(B,E) = 1168, d(C,D) = 1365, d(D,E) = 43.
Déterminer les trois autres distances d(A,D), d(B,D) et d(CE) .
Le triangle ABC est équilatéral. On choisit un repère par rapport auquel les points suivants ont les coordonnées indiquées : A(0,0), B(2352, 0), C(0, 2352), E(x, y)
AE² = 1520² = x² + xy + y², BE² = 1168² = (x – 2352)² + (x – 2352)y + y² AE² – BE² = 4704x + 2352y = 6478080, x = 19280/14 – y/2
En reportant x = 19280/14 – y/2 dans 1520² = x² + xy + y² → (3/196)(49y² – 27040000) = 0 y = + 5200/7
Deux points E sont possibles avec les coordonnées suivantes E :(7040/7, +5200/7) ou E1: (12240/7, –5200/7)
Coordonnées de (CE⃗ ) :(7040/7, +5200/7 – 2352) = (7040/7, – 11264/7 ) CE² = (1/49)(7040² – 7040*11264 + 11264²) = 97140736 / 49 = 1982464 = 1408² Donc d(CE) = 1408
L'intersection des cercles de centre C rayon 1365 et de centre E rayon 43 fournit D.
La distance des centres, CE, est égale à la somme des rayons : 1408 = 1365 + 43 : les deux cercles sont tangents en D.
Le cercle de centre E1 ne coupe pas celui de centre C et rayon 1365.
D est barycentre de (C,43) et (E, 1365), ses coordonnées sont : 43
1408.[0, 2352]+1365
1408.[7040 7 ,5200
7 ] = (975, 792) d(AD) = √(975² + 975 * 792 + 792²) , d(AD) = 1533, Coordonnées de (BD)⃗ (975 – 2352, 792) = (– 1377,792) d(BD) = √(1377² – 1377 * 792 + 792²) , d(BD) = 1197.
