Enonc´e noG127 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Le processus se d´eroule en 43 ´etapes dont chacune demande un ou plusieurs tirages : passage deknum´eros sortis `a k+ 1, pour k= 0 `a 42.
Si f(k) est le nombre moyen de tirages pour passer de k `a k+ 1 num´eros sortis, le nombre moyen de tirages pour le processus complet estP420 f(k).
Siknum´eros sont sortis, le tirage suivant va donner – soit un num´ero d´ej`a sorti, avec une probabilit´ek/49 ; – soit un num´ero nouveau, avec une probabilit´e (49−k)/49.
Ces deux modes de r´ealisation de l’´etape k conduisent, pour f(k), `a deux contributions qui sont (1)(49−k)/49 dans le second cas (un tirage qui ach`eve l’´etape) et (1 +f(k))k/49 dans le premier cas (car apr`es ce tirage, il en faut encore f(k) en moyenne pour achever l’´etape).
D’o`u la relation
f(k) = (1 +f(k)) k
49 +49−k 49 qui donne f(k) = 49/(49−k).
Le nombre moyen cherch´e est
42
X
0
f(k) =
42
X
0
49
49−k = 99,43106. . .
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