Exercice 1:
Partie A
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par : f ( x ) ln x 1 1 .
x x 1
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction f et étudier le sens de variation de f.
2. Calculer la limite de f (x) lorsque x tend vers 0 et lorsque x tend vers + .
3. Donner le tableau des variations de la fonction f et en déduire le signe de f (x) pour tout x appartenant à ] 0 ; + [.
4. Le plan étant rapporté à un repère orthonormal direct (O;i,j), l'unité graphique est 5 cm.
Tracer la courbe C représentative de la fonction f . Partie B
On considère la fonction g définie sur l'intervalle ] 0 ; + [ par : g( x ) x ln x 1 .
x
1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g. Déduire de la partie A le sens de variation de g sur ] 0 ; + [.
2. Vérifier que g = hk avec h et k fonctions définies sur ] 0 ; + [ par : ln( 1 x )
h( x )
x
et k( x ) 1.
x En déduire la limite de g en + et en 0.
3. Donner le tableau des variations de g sur ] 0 ; + [.
Exercice 2 :
I/ 1/ soit g l’application de R+ dans R définie par g(x)=
1
² 3
² 1
x x .
Etudier g et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
2/ tracer dans le même repère logx 3/ soit h la fonction x logx-g(x)
étudier les variations de h et montrer qu’il existe deux réels x1 et x2 tels que 0x11x22 et h(x1)=h(x2)=0
déterminer le signe de h(x) en fonction de x.
II/ soit f la fonction x
)² 1
² (
log x
x x
1/ calculer sa fonction dérivée f’. exprimer f’(x) en fonction de h(x) ; déduisez en le sens de variation de f.
2/ montrer que f admet un prolongement par continuité en 0, que l’on note F étudier la dérivabilité de F en 0.
3/ dresser le tableau de variation de F. déterminer lim f(x)/x x+
4/ tracer la courbe représentative de F, en précisant son allure au voisinage du point O Exercice 3:
I/ soient les deux fonctions f : x x²+1-logx et g : -x²+1-logx
1/ déterminer les limites de f et g aux bornes de leurs ensemble de définition
2/ déterminer le sens des variations et dresser le tableau des variations pour f et g.
3/ déduisez-en les signes de f(x) et de g(x) en fonction de x(on pourra calculer g(1)) II/ soient les deux fonction F : x
x x x x x G
x x log
:
log ;
1/ déterminer les limites de F et G aux bornes de leurs ensembles de définition 2/ déterminer le sens de variations et dresser le tableau de variations pour F et G.
3/ on appelle et les courbes respectives de F et G dans un repère orthonormé a/ déterminer la position relative des courbes et c
b/ démontrer que la droite d d’équation y= x est asymptote à et que la droite : y= -x est asymptote à .
Préciser les positions relatives de et D, de et de . c/ construire les deux courbes et
Exercice 4:
1/ soit g la fonction définie sur ]0,+[ par : g(x)= log( 1) og
1
x l x x
x
. a/ calculer lim log(1 1)
x puis lim g(x) x + x+
b/ dresser le tableau de variations de g ; déduire que pour tout xR+* ; g(x)>1 2/ soit f la fonction définie sur ]0,+[ par f(0)=0 et f(x)=x(log(1+x)-logx) si x>0 a/ étudier la continuité de f en 0 puis la dérivabilité de f en 0
b/ calculer f’(x) pour x>0, déterminer le signe de f’(x) à l’aide de 1/b/
c/ déterminer limite de f en + (on pourra écrire f(x)= xlog(1 1)
x ) d/ dresser le tableau de variation de f.
3/ soit la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
a/ soit T la tangente à au point d’abscisse 1. déterminer l’intersection de T et de l’axe (y’y)
b/ construire et T.
Exercice 5 :
1/ soit g la fonction définie surI= ]-1,+[ par g(x)=x²+2x+log(x+1) a/étudier les variations de g.
b/ calculer g(0) en déduire le signe de g surI.
2/ soit f la fonction définie surI par x x
x x
f 1
) 1 ) log(
( ; étudier les variations de f.
3/ montrer que D :y=-x est une asymptote de f et étudier al position de f par rapport à D.
4/ tracer f.
5/ soit k la restriction de f sur [0, +[
a/ montrer que k est une bijection de R+ sur J à préciser.
b/ étudier la dérivabilité de k –1 sur J et dresser son tableau de variation ; tracer sa courbe.
Exercice 6:
Le plan est muni d'un repère orthonormal (O;i,j) (unité 3 cm).
On considère la fonction numérique f définie sur R parf (x) = ln (x2 2x + 2).
On désigne par (C) sa courbe représentative dans (O;i,j).
Partie A
1. Justifier que, pour tout x réel, x2 2x + 2 > 0.
2. Déterminer la fonction dérivée f' de f et étudier le sens de variation de f sur R.
3. Déterminer les limites de f en + et en .
4. Représenter (C) et la droite () d'équation y = x : on montrera que la droite d'équation x = 1 est un axe de symétrie de (C) et on placera les points d'abscisse 0 et 2 ainsi que les tangentes à la courbe en ces points.
Partie B
On pose, pour tout réel x, (x) = f (x) x.
1.Déterminer la fonction dérivée ' de . En déduire que est strictement décroissante sur R.
2. Montrer que est une bijection de R sur R.
En déduire que la droite () coupe la courbe (C) en un point et un seul.
On désigne par l'abscisse de ce point. Montrer que 0,3 < < 0,4. Partie C
On pose J = [ 0,3 ; 0,4 ].
1. Montrer que la fonction x x2 2x + 2 est décroissante sur J.
En déduire que si x appartient à J alors f (x) appartient à J.
2. a) Prouver que, pour tout x de J, | f' (x) | 0,95 (on pourra montrer que f' est croissante sur J).
b) En déduire que, pour tout x de J, | f (x) | 0,95 | x |.
3. On définie la suite (un) par :
u0 = 0,3 et, pour tout entier naturel n, un + 1 = f (un).
Prouver que, pour tout n :
J. ( ) n
n n 1 n n
u u 0,95 u . u 0,1 0,95 .
En déduire que la suite (un) converge vers . Exercice 7:
Dans tout le problème, on se place dans un repère orthonormal (O ;i
,j
). L'unité graphique est 2 cm.
Partie A
Soit g la fonction définie sur ]0; + [ par : g (x) = x ln x x + 1 et C sa représentation graphique dans le repère (O ;i
,j ).
1. Étudier les limites de g en 0 et en +
2. Étudier les variations de g. En déduire le signe de g(x) en fonction de x.
Partie B
Soit f la fonction définie sur ] 1; + [ par : ln .
1 ) 1
( x
x x
f
1. Étudier les limites de f en + et en 1 (pour l'étude de la limite en 1, on pourra utiliser un taux d'accroissement).
2. Déterminer le tableau de variation de f (on pourra remarquer que f'(x) s'écrit facilement en fonction de g(x)).
3. Tracer la courbe représentative de f dans le repère (O ;i
,j ).
Partie C
1. Montrer que l'équation f (x) =
2
1 admet une unique solution notée et que 3,5 < < 3,6.
2. Soit h la fonction définie sur ] 1; + [ par :h( x ) ln x 1x 1.
2 2
a) Montrer que est solution de l'équation h(x) = x.
b) Étudier le sens de variation de h.
c) On pose I = [3 ; 4]. Montrer que, pour tout x élément de I, on a h(x) I et | h' (x) |
6 5
3. On définit la suite (un) par : u0 = 3 et, pour tout n 0, un1h(un).
Justifier successivement les trois propriétés suivantes : a) Pour tout entier naturel n, .
6 5
1
n
n u
u
b) Pour tout entier naturel n, .
6 5 n
un
c) La suite (un) converge vers . Exercice 8:
Le but de ce problème est d'étudier, dans un premier temps (partie A), la fonction f définie sur [0 ; + [ par
2 1
( ) ln
4 2
x x
f x x
x
pour x > 0 et f(0) =
2 1 ,
puis (partie B) de trouver une approximation de la solution de l'équation f(x) = x.
Partie A
Dans cette partie le plan est rapporté au repère orthonormal(O,i,j), unité graphique : 2 cm. On désigne par C la représentation graphique de f.
I
Étude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par :
2 1
( ) ln( 2) ln
2 4
g x x x
x
.
1. a) Étudier le sens de variation de g.
b) Déterminer lim g(x).
x
c) En déduire le signe de g(x) pour tout x de ]0 ; + [.
2. Montrer que, pour tout x de [2 ; 3], on a g(x) <
2 1 . II
1. Déterminer la limite, quand x tend vers zéro par valeurs strictement positives, de
ln x 2
x x
(on pourra poser x =
t
1) et démontrer que f est continue en 0.
2. La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Donner une interprétation graphique du résultat.
3. Étudier le sens de variation de f (on vérifiera que f ´(x) = g(x)).
4. a) Démontrer que lim ln 2 2
x
x x
x
.
b) En déduire lim f(x).
x
c) Montrer que la droite d'équation 5
4 2
y x est asymptote à C au voisinage de +
.
5. Tracer dans le repère (O,i,j ) la droite , la courbe C et la droite D d'équation y
= x.
Partie B
Dans cette partie, on désigne par I l'intervalle [2 ; 3].
I
1. Soit la fonction h définie sur I par h(x) = f(x) x.
Montrer que, pour tout x de I, h´(x) < 0.
On remarquera que h´(x) = g(x) 1.
2. En déduire le sens de variation de h et montrer que l'équation h(x) = 0 admet une unique solution dans I ;
on note cette solution.
II
1. Montrer que, pour tout x de I, 0 < f ´(x) <
2 1 . 2. En déduire que, pour tout x de I, |f(x) |
2
1 |x |.
III
On définit la suite (un) nN par u0 = 2 et, pour tout n de N, un + 1 = f(un).
On admet que, pour tout n de N, un appartient à I.
1. Établir les inégalités suivantes : (1) pour tout n de N, |un + 1 |
2
1 |un|.
(2) pour tout n de N, |un | .
2 1 n
2. En déduire que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?
