TRI 49

(1)

Exercices résolus de mathématiques.

TRI 49

EXTRI490-EXTRI499

http://matheux.ovh/Accueil.html

Jacques Collot

Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans Fabienne Zoetard

Septembre 2019

(2)

EXTRI490 – – EPB, ULB, Bruxelles, septembre 2019.

( )

1 2

' ' '

1 2

Soit , ,..., les sommets d'un polygone régulier convexe à côtés où 3 . Notons l'aire de ce polygone et la longueur d'un de ses côtés. Définissons les points

, ,..., comme les milieu

n e

n

P P P n n

A a

P P P



1 2 2 3 1

' ' '

1 2

x des côtés , ,..., , respectivement et notons l'aire du polygone régulier à côtés , ,..., .

a) Calculer et . b) Calculer

lim

n n

i n

e i

i n

e

P P P P P P

A n P P P

A A

−

→ 

2

' '

1 2 1 2 1 1 1

' ' ' '

1 1 1 1

' ' 2

' 2

1 2

1

a) Triangle : 2 ; ; cot ; cot

2 4

Triangle : .cos cot .cos ; .sin cot .sin

2 2

. . . . .sin .cos .cot

2 4

b) Par conséq

e

i i

a na

PGP PGP PGP GP A

n n n n

a a

P GB GB GP P B GP

n n n n n n

GB P P na

A n n GB P B A

n n n

   

= = =  =

     

= = = =

  

 = =  =

2

uent :

na   

(3)

EXTRI491 – FACSA, ULiège, Liège, juillet 2019.

Deux poulies de rayons respectifs 5 cm et 8 cm sont disposées à 15 cm de distance centre à centre. Calculer la longueur de la courroie autour de ces poulies.

La courroie est representee en gras sur l L

a figure 2 et les points , , et representent les points de tangence de cette courroie avec les poulies.

A B C D

Nous reprenons la solution proposée par l’université : Prof. P. Dewallef et Prof. Q. Louveaux :

(4)

Le 07 novembre 2019

(5)

EXTRI492 FACSA, ULiège, Liège, septembre 2019.

Lors d'un match de football, un coup franc doit être tiré du point situé à 10 mètres à droite du poteau du gardien et à 20 mètres dans la profondeur du terrain (voir Figure).

On suppose que le gardi

A

en occupe une largeur de 1 mètre sur sa ligne de but, entre les points et et que le tir s'effectuera en ligne droite en négligeant la présence d'autres joueurs sur le terrain. Déterminer la distance

B C

où doit se placer le gardien afin de couper 2 degrés de l'angle de tir de l'attaquant, c'est-à-dire, afin que l'angle vaille 2 degrés.

x DC

BAC

=

Nous reprenons la solution proposée par l’université : Prof. P. Dewallef et Prof. Q. Louveaux :

(6)

Le 12 novembre 2019

(7)

EXTRI493 – Polytech, UMons, Mons, septembre 2015.

( ) ( )

Résoudre l'équation trigonométrique suivante :

3 sin 3 cos 3 3

Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

x − x =

Nous reprenons la solution proposée par l’université

https://web.umons.ac.be/app/uploads/sites/6/2020/02/Trigonometrie_2014- 2017_siteweb_2020.pdf.

Le 1 mars 2020

(8)

( ) ( ) ( )

( )

2

Vérifier l'identité suivante :

1 1 cos

sin cot 1 cos

x x

 −  = −

  +

 

Le 1 mars 2020

(9)

Trois boîtes de conserves de forme parfaitement cylindrique sont rangées verticalement de manière compacte sur une étagère plane.

Les rayons de ces boîtes, tangentes deux à deux, sont en progression arithmétique de raison . De plus, un des angles du triangle formé par les centres des bases de ces trois boîtes vaut 120°.

Déterminer la valeur numérique du rapport entre la raison a et le rayon de la bo

a

îte dont la base est de dimension intermédiaire.

Le 1 mars 2020

(10)

Soient le cercle de centre et de rayon , un diamètre de ce cercle et la tangente au point de ce cercle. Par le point , on mène une sécante coupant le cercle au point et la tangente au point

O R AB

B A M

, de telle sorte que (2 ) .

Discuter de la valeur de l'angle en fonction des valeurs relatives de et .

P AM MP k

BAM k R

+ =

 =

(11)

Le 1 mars 2020

(12)

EXTRI497 – Polytech, UMons, Mons, juillet 2016.

Démontrer que si la relation ci-après est satisfaite, alors le triangle est rectangle :

1 cos sin sin

ABC

B A C

+ = +

(13)

En Réserve

Le 1 mars 2020

(14)

( ) ( )

3 3

2

Démontrer que le triangle est équilatéral si les conditions suivantes sont remplies : et sin sin 3

4 ABC

b c

a B C

b c

+ = =

+