Pliages dans les mètres rubans

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Pernelle Marone-Hitz, Stéphane Bourgeois, Bruno Cochelin, François Guinot, Elia Picault

To cite this version:

Pernelle Marone-Hitz, Stéphane Bourgeois, Bruno Cochelin, François Guinot, Elia Picault. Pliages dans les mètres rubans. 21ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2013, Bordeaux, France.

pp.2X12UQ5Q. �hal-00921914�

21 Congr` es Fran¸ cais de M´ ecanique Bordeaux, 26 au 30 aoˆ ut 2013

Pliages dans les m` etres rubans

P. Marone-Hitz ^a,b , S. Bourgeois ^a,b , B. Cochelin ^a,b , F. Guinot ^c , E. Picault ^b a. Ecole Centrale Marseille, F-13451, Marseille, France, {pernelle.marone-hitz, bruno.cochelin,

stephane.bourgeois}@centrale-marseille.fr

b. LMA, Laboratoire de M´ ecanique et d’Acoustique, CNRS, UPR 7051, Aix-Marseille Univ, F-13402, Marseille, France, picault@lma.cnrs-mrs.fr

c. Thales Alenia Space, Cannes, France, Francois.Guinot@thalesaleniaspace.com

R´ esum´ e :

On s’int´ eresse ` a la mod´ elisation de m` etres-rubans. Deux outils seront propos´ es :

– Un mod` ele num´ erique de poutre ` a section flexible, impl´ ement´ e dans un logiciel de continuation permettant le calcul des branches d’´ equilibre et la d´ etection des bifurcations.

– Une m´ ethode ´ energ´ etique simple, bas´ ee sur des consid´ erations g´ eom´ etriques sur la d´ eform´ ee du m` etre-ruban, qui permettra de d´ eterminer la position et le nombre de plis que pr´ esente un ruban soumis ` a un certain jeu de conditions limites.

Abstract :

This work is devoted to the modeling of tape springs. Two modelling tools will be proposed :

– A numerical model of a rod which cross-section is highly flexible. This model is implemented in a continuation software that allows the calculus of equilibrium branches and tracking of bifurcation points.

– A simple energetic method, based on geometrical observations on a deformed tape spring. This method will enable us to obtain the number of folds and their position in a deformed tape spring, under a given set of boundary conditions.

Mots clefs : m` etre ruban, pliage, positions d’´ equilibre

1 Introduction

Le m` etre ruban est une structure ´ elastique qui a la forme d’une poutre ` a paroi mince de section semi- circulaire et qui a la facult´ e de d´ evelopper des pliages localis´ es, dˆ us ` a un applatissement local de la section.

En manipulant le m` etre ruban, on constate que les plis peuvent migrer le long du ruban, se dupliquer, disparaˆıtre ... Le nombre de pliages et leurs positions d´ ependent des conditions limites appliqu´ ees et pour un mˆ eme jeu de sollicitations, il peut y avoir plusieurs positions d’´ equilibre stable.

On propose deux outils de mod´ elisation adapt´ es aux m` etres rubans : un mod` ele de poutre ` a sec- tion flexible impl´ ement´ e dans un logiciel de continuation sous la forme d’un syst` eme d’une petite vingtaine d’´ equations diff´ erentielles, et une m´ ethode ´ energ´ etique simple fond´ ee sur des consid´ erations g´ eom´ etriques sur la d´ eform´ ee d’un m` etre ruban soumis ` a une certaine sollicitation ` a ses extr´ emit´ es.

2 Mod` eles de poutre ` a section flexible

On propose dans cette section un outil de mod´ elisation d´ edi´ e permettant d’analyser la ou les r´ eponse(s) d’un m` etre ruban pour un jeu de conditions limites, via le trac´ e d’un diagramme de bifurcation complet avec des branches stables et des branches instables. A partir du mod` ele simple de ruban propos´ e par F.

Guinot et al ([5], [4]), comportant un nombre r´ eduit de variables, on obtient un syst` eme d’une dizaine

d’´ equations diff´ erentielles 1D qui gouverne le comportement d’un ruban seul. Le calcul des branches

d’´ equilibre, la d´ etection des bifurcations et le trac´ e des diagrammes associ´ es ainsi que l’analyse de stabilit´ e sont r´ ealis´ es dans le cadre des m´ ethodes asymptotiques num´ eriques.

2.1 Description des mod` eles

On trouvera une description compl` ete du mod` ele propos´ e par F. Guinot et al dans l’article et la th` ese suivants : [5], [4]. Ce mod` ele donne lieu ` a de nombreux mod` eles d´ eriv´ es, selon les diff´ erentes hypoth` eses suppl´ ementaires que l’on peut choisir : section semi-circulaire, rotations mod´ er´ ees, section faiblement courb´ ee, etc. On peut donc parler d’une famille de mod` eles de m` etre ruban, qui ont tous en commun de pouvoir se mettre sous la forme de syst` emes BVP (Boundary Value Problem).

On choisit ici de pr´ esenter un mod` ele simple, proche des mod` eles de poutre en rotations mod´ er´ ees.

Un des int´ erˆ ets est qu’il est possible d’obtenir quelques solutions analytiques pour ce mod` ele. Partant d’un mod` ele initial de coque, le m` etre ruban est assimil´ e ` a une poutre dont la ligne moyenne est initialement droite et la section de courbure circulaire (Figure 1).

Figure 1 – Description du ruban

La coque est param´ etr´ ee par s ₁ et s ₂ qui sont respectivement la coordonn´ ee curviligne le long de la ligne de r´ ef´ erence et de la courbe section : (s ₁ , s ₂ ) ∈ [0, L] ∗ [ ^−a ₂ , ^a ₂ ] o` u L est la longueur initiale de la ligne de r´ ef´ erence et a la longueur initiale de la courbe section. Dans la configuration d´ eform´ ee, la position d’un point mat´ eriel M de la coque est donn´ ee par OM(s <sub>1</sub> , s <sub>2</sub> ) = OG(s <sub>1</sub> ) + GM(s <sub>1</sub> , s <sub>2</sub> ), o` u G est le point de la section appartenant ` a la ligne moyenne.

Les trois hypoth` eses cin´ ematiques du mod` ele g´ en´ eral sont : (i) la courbe section est contenue dans un plan apr` es d´ eformation

(ii) le plan de la section reste orthogonal au vecteur tangent ` a la d´ eform´ ee de la ligne de r´ ef´ erence (iii) la section est consid´ er´ ee inextensible.

On se restreint ` a l’´ etude des mouvements plans et on suppose que la section reste semi-circulaire et sym´ etrique par rapport au plan (O, e 1 , e 3 ). Alors :

– le d´ eplacement du point G de la ligne moyenne est d´ ecrit par deux composantes u ₁ (s ₁ ) et u ₃ (s ₁ ) – la rotation de la section est d´ ecrite par un angle θ(s 1 ) port´ e par l’axe e 2 .

On a :

( OG(s 1 ) = (s 1 + u 1 )e 1 + u 3 e 3

GM(s ₁ , s ₂ ) = y(s ₁ , s ₂ )e ₂ + z(s ₁ , s ₂ )e ^r ₃

Enfin, pour d´ ecrire l’ouverture de la section, on introduit un angle β ^e (s ₁ ) entre la tangente ` a la courbe section ` a l’extr´ emit´ e et le vecteur e ₂ . Si l’on fait l’hypoth` ese que cet angle est faible et lin´ eaire en s ₂ , on obtient des expressions simples pour y et z :

( y(s 1 , s 2 ) = s 2

z(s 1 , s 2 ) = β ^e (s 1 )Z (s 2 ) = β ^e (s 1 ) ^s _a

avec Z une fonction de forme.

Finalement, la cin´ ematique est enti` erement d´ ecrite par quatre param` etres attach´ es ` a la ligne moyenne (d´ ependant uniquement de l’abscisse curviligne s 1 ) : les deux translations u 1 et u 3 , l’angle de rotation de la section θ, et l’angle d’ouverture de la section β <sup>e</sup> . On se place dans le cadre des rotations mod´ er´ ees pour exprimer les d´ eformations. La contrainte qui lie les translations u 1 et u 3 ` a la rotation de la section θ est alors θ = −u _3,1 .

On introduit ensuite cette cin´ ematique dans le mod` ele de coque pour obtenir la densit´ e surfacique

d’´ energie de d´ eformation. Lors de cette ´ etape, on suppose que :

21 Congr` es Fran¸ cais de M´ ecanique Bordeaux, 26 au 30 aoˆ ut 2013 (iv) seule la contrainte axiale participe ` a l’´ energie de d´ eformation de membrane (hypoth` ese classique

des mod` eles de poutre)

(v) les d´ eformations de membrane sont petites.

Le mod` ele lin´ eique s’obtient en int´ egrant cette densit´ e d’´ energie dans la section (int´ egration sur s 2 ). La diff´ erenciation de l’´ energie de d´ eformation, le calcul de la puissance des efforts ext´ erieurs, et enfin l’ap- plication du principe des travaux virtuels permet d’obtenir les ´ equations locales du syst` eme. On obtient alors un mod` ele 1D, qui rend compte du comportement 2D d’un m` etre ruban. Pour le mod` ele pr´ esent´ e dans cette section, on obtient un syst` eme constitu´ e d’une petite vingtaine d’´ equations diff´ erentielles, ` a r´ epartir en trois groupes : ´ equations li´ ees ` a la cin´ ematique, ´ equations d’´ equilibre, lois de comportement.

2.2 M´ ethode num´ erique et impl´ ementation

Le mod` ele de ruban propos´ e par F. Guinot et al ([5], [4]) donne lieu ` a une famille de mod` eles d´ eriv´ es, qui ont tous en commun la possibilit´ e d’ˆ etre repr´ esent´ es par un syst` eme BVP (Boundary Value Problem) de la forme u ⁰ (x) = f (u(x), λ), avec u(x) vecteur des inconnues du syst` eme, x ∈ [0, L] l’abscisse curviligne le long de la ligne de r´ ef´ erence (not´ e s 1 dans les sections pr´ ec´ edentes), et λ un param` etre de continuation. L’id´ ee est donc d’utiliser un outil g´ en´ eraliste de r´ esolution des BVP pour ´ eviter d’avoir ` a faire des d´ eveloppements sp´ ecifiques pour chaque mod` ele. La discr´ etisation est effectu´ ee par collocation orthogonale ([3]), et on choisit une interpolation polynˆ omiale d’ordre 3.

La r´ esolution du syst` eme, la continuation, l’analyse de la stabilit´ e et des bifurcations est effectu´ e dans le cadre des M´ ethodes Asymptotiques Num´ eriques (MAN ) ([1]) , grˆ ace ` a l’outil MANLAB ([8]). Le syst` eme d’´ equations est donc impl´ ement´ e sous la forme M(U <sup>0</sup> ) = L <sub>0</sub> + L(U) + Q(U, U), L <sub>0</sub> ´ etant un op´ erateur constant, M et L des op´ erateurs lin´ eaires, et Q un op´ erateur quadratique. Le syst` eme d’´ equations diff´ erentielles est compl´ et´ e par un ensemble de conditions limites. La section suivante pr´ esente diff´ erents essais et r´ esultats, pour un ruban seul, discr´ etis´ e en 501 intervalles.

2.3 Exemple : formation d’un pli par flambage local sous flexion

Dans les figures qui suivent, les d´ eform´ ees tridimensionnelles sont reconstruites ` a partir de la solution du mod` ele unidimensionnel de poutre et de la cin´ ematique d´ efinie ` a la section 2.1. Les caract´ eristiques g´ eom´ etriques et mat´ erielles du ruban ´ etudi´ e sont pr´ esent´ ees dans le tableau 1.

Longueur L Largeur a Epaisseur h Angle d’ou- verture initial β ₀ ^e

Module d’Young E

Coefficient de Poisson ν

1000 mm 60 mm 0.15 mm 0.6 rad 210 000 MPa 0.3

Table 1 – Caract´ eristiques du m` etre ruban

On consid` ere un essai de flambage par flexion, avec les conditions aux limites suivantes :

en x = 0 :



 

 

 



 

 

 



u ₁ (0) = 0 u 3 (0) = 0 θ(0) = −λ β ^e (0) = β ₀ ^e β ^e

(0) = 0

en x = L :



 

 

 



 

 

 



N ^r (L) = 0 u 3 (L) = 0 θ(L) = λ β ^e (L) = β ₀ ^e β ^e

(L) = 0

avec : λ param` etre de continuation, β ₀ ^e l’angle d’ouverture initial du ruban, β ^e

la d´ eriv´ ee de β ^e par rapport ` a x, N ^r contrainte g´ en´ eralis´ ee de tension de poutre.

Cet essai de flexion pure ` a rotations impos´ ees aux extr´ emit´ es met en ´ evidence l’apparition d’une zone

de pliage due ` a un aplatissement de la section. La figure 2 montre qu’au d´ ebut de l’essai, le ruban

a un comportement similaire ` a celui d’une poutre ` a section ind´ eformable : l’´ evolution du moment de

flexion en fonction de la rotation impos´ ee est lin´ eaire. A l’instant pr´ ec´ edant le flambage, la section

s’aplatit sur toute la longueur du ruban, l’aplatissement ´ etant maximum au centre (d´ eform´ ee 3.2). Il

s’ensuit une localisation de la d´ eformation au milieu du m` etre ruban (d´ eform´ ee 3.3) et l’apparition de

la zone de pliage (d´ eform´ ee 3.4).

−0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Figure 2 – Diagramme de bifurcation lors d’un essai de flambage local sous flexion : M ^r (L) = f (θ(L)) avec M ^r moment de flexion de poutre

1 2 3 4

Figure 3 – Quelques d´ eform´ ees caract´ eristiques d’un essai de flambage local sous flexion. Isocouleurs de l’angle β, caract´ erisant le degr´ e d’aplatissement du ruban.

Cet essai avait ´ et´ e pr´ ec´ edemment trait´ e avec le logiciel commercial COMSOL ([9] et [4], [5], [7]) et nous sert donc de cas test. On obtient les mˆ emes moments et angles critiques pour le flambage que ceux obtenus dans COMSOL. Ici l’ouverture des sections terminales est bloqu´ ee : on impose β ^e (0) = β ^e (L) = β ₀ ^e . Le diagramme de bifurcation (figure 2) montre que la branche de solution partant de l’origine est exempte de bifurcations et conduit ` a la formation d’un pli central.

En revanche, si on laisse les sections terminales libres de se d´ eformer, les autres conditions aux limites restant inchang´ ees, la branche de solution partant de l’origine comporte de nombreuses branches bifurqu´ ees et il y a donc de nombreuses r´ eponses possibles. De la mˆ eme fa¸ con, on peut reconstruire la d´ eform´ ee 3D du ruban ` a partir des r´ esultats du mod` ele et ainsi visualiser les d´ eform´ ees possibles.

Sur la branche fondamentale, l’ensemble du m` etre ruban s’ouvre, ` a β ^e uniforme, ind´ ependant de s ₁ , comme l’illustre les isocouleurs de la figure 4.

1 2

Figure 4 – D´ eform´ ees lors d’un essai de flambage local sous flexion o` u les sections terminales sont libres de se d´ eformer. Branche fondamentale. Isocouleurs de l’angle β, caract´ erisant le degr´ e d’aplatissement du ruban.

Les nombreuses branches bifurqu´ ees t´ emoignent de ph´ enom` enes de localisation, qui peuvent se produire en diff´ erents endroits du ruban (Figure 5).

Le travail en cours consiste ` a analyser ces r´ eseaux de solutions avec leur stabilit´ e et ` a comprendre les sc´ enarios de saut entre ces branches au cours du chargement.

3 M´ ethode ´ energ´ etique

Cette section consiste ` a ´ elaborer une m´ ethode ´ energ´ etique simple, bas´ ee sur des consid´ erations g´ eom´ etriques

sur la d´ eform´ ee du m` etre-ruban, qui permettra de d´ eterminer le nombre de plis et leur position en

21 Congr` es Fran¸ cais de M´ ecanique Bordeaux, 26 au 30 aoˆ ut 2013

Figure 5 – D´ eform´ ees lors d’un essai de flambage par flexion o` u les sections terminales sont libres de se d´ eformer. Branches bifurqu´ ees. Isocouleurs de l’angle β, caract´ erisant le degr´ e d’aplatissement du ruban.

fonction de la sollicitation appliqu´ ee aux extr´ emit´ es du m` etre ruban. Dans ses configurations pli´ ees et stables, un ruban pr´ esente trois zones caract´ eristiques (Figure 6) :

– portion droite o` u la courbure transversale reste inchang´ ee (zone A)

– zone de pli (portion plate o` u la courbure transversale est nulle et o` u une courbure longitudinale est apparue) (zone C)

– zone de transition entre les portions non d´ eform´ ees et le pli (zone B)

1 2 A

B

(b)

(a)

3

Figure 6 – Essai de pliage (a) et mise en ´ evidence des trois zones carat´ eristiques d’un ruban pli´ e (b).

Isocouleurs de l’angle β , caract´ erisant le degr´ e d’aplatissement du ruban

En dehors des zones de pliages et de transition, le ruban garde sa g´ eom´ etrie initiale. Le rayon de courbure longitudinale de la zone de pli est ´ egal au rayon de courbure transverse des zones non d´ eform´ ees ([2]). Ce ph´ enom` ene se retrouve dans les r´ esultats de mod´ elisations ´ el´ ements-finis ([6]), et

´

egalement dans les r´ esultats du mod` ele pr´ esent´ e ` a la section 2.3 (figure 7 et [5]). En effet, pour le

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−5 0 5 10 15 20 25

kr(x)

Figure 7 – Courbure longitudinale d’un ruban pli´ e en son centre pour l’essai de flambage local sous flexion pr´ esent´ e ` a la section 2.3

ruban consid´ er´ e ` a la section 2.3, les zones non d´ eform´ ees pr´ esentent une courbure longitudinale nulle,

tandis que la zone de pli pr´ esente une coubure longitudinale de l’ordre de 20. Pour ce mˆ eme ruban,

la courbure transverse ` a l’´ etat initial vaut : k _r = _R ¹ = ^2∗β _a

= _60∗10 ^2∗0.6

= 20, avec R rayon de courbure transverse initial, β ₀ ^e angle d’ouverture initial, a largeur du ruban.

Le travail en cours consiste ` a ´ elaborer un mod` ele simple pour un ruban comportant un ou plusieurs plis. Ce ruban sera assimil´ e ` a une succession de portions droites et de portions courb´ ees, de rayon de courbure ´ egal au rayon de courbure transverse initiale du ruban. La minimisation de l’´ energie de d´ eformation permettra de d´ eterminer le nombre de plis et leur position en fonction d’une sollicitation donn´ ee. L’´ energie de d´ eformation ` a consid´ erer est uniquement celle de la zone de pli : les portions droites ne sont pas d´ eform´ ees, et l’´ energie stock´ ee dans les zones de transition est la mˆ eme quelque soit le probl` eme consid´ er´ e. En effet, on peut consid´ erer qu’une fois un pli cr´ e´ e, les zones de transition qui entourent ce pli seront toujours de longueur presque constante, quel que soit l’angle que forme le pli (Figure 6, plis 1, 2, et 3).

4 Conclusions

Nous avons propos´ e deux outils de mod´ elisation de m` etres-rubans : un mod` ele de poutre ` a section flexible et une m´ ethode ´ energ´ etique simple, bas´ ee sur des consid´ erations g´ eom´ etriques sur la d´ eform´ ee du ruban.

Le premier mod` ele permet de simuler des sc´ enarios complexes de pliage et de d´ eploiement. Partant d’un mod` ele de coque, on introduit une cin´ ematique originale en d´ ecrivant la g´ eom´ etrie de la sec- tion par un Elastica. Apr` es int´ egration sur la section, on obtient les ´ energies associ´ ees au mod` ele de poutre. Le principe des travaux virtuels permet ensuite d’obtenir les ´ equations locales du m` etre ruban.

La discr´ etisation est effectu´ ee par collocation orthogonale, et l’interpolation est effectu´ ee par des po- lynˆ omes de Lagrange d’ordre 3. La r´ esolution num´ erique, la continuation, et l’analyse des bifurcations est effectu´ e dans le cadre des M´ ethodes Asymptotiques Num´ eriques, grˆ ace au logiciel MANLAB. On obtient alors un outil g´ en´ erique permettant d’obtenir toutes les r´ eponses possibles d’un ruban sou- mis ` a un jeu de conditions limites donn´ e. Cet outil, actuellement capable de traiter un ruban seul, sera ´ etendu pour traiter le d´ eploiement et la stabilit´ e de structures plus complexes, compos´ ees d’un assemblage de m` etres rubans.

Le deuxi` eme mod` ele, plus simple et compl´ ementaire du premier, permettra de d´ eterminer tr` es rapi- dement la position et le nombre de plis que pr´ esente un ruban soumis ` a un jeu de conditions limites donn´ e.

R´ ef´ erences

[1] B. Cochelin, N. Damil, M. Potier-Ferry 2007 M´ ethode Asymptotique Num´ erique. Lavoisier.

[2] C.R. Calladine 1988 The theory of thin shell structures 1888-1988. Proc. Inst. Mech. Eng. 202 1-9 [3] E. J. Doedel 2007 Lecture Notes on Numerical Analysis of Nonlinear Equations. Numerical Conti- nuation Methods for Dynamical Systems, Path following and boundary value problems pp. 1-48, Springer.

[4] F. Guinot 2011 D´ eploiement r´ egul´ e de structures spatiales : vers un mod` ele unidimensionnel de m` etre ruban composite. Th` ese de doctorat, Universit´ e de Provence.

[5] F. Guinot, S. Bourgeois, B. Cochelin, L. Blanchard 2012 A planar rod model with flexible thin- walled cross-sections. Application to the folding of tape springs. International Journal of Solids and Structures, Elsevier, Volume 49, Issue 1, pp. 73-86.

[6] K.A. Seffen, S. Pellegrino1999 Deployment dynamics of tape springs Proc. R. Soc. London 455 1003-1048

[7] E. Picault, S. Bourgeois, B. Cochelin, F. Guinot 2011 Instabilit´ es de m` etres rubans. Congr` es Fran¸ cais de M´ ecanique 2011.

[8] http ://manlab.lma.cnrs-mrs.fr/

[9] COMSOL AB, COMSOL Multiphysics User’s Guide v4.2, Stockholm, Sweden, September 2011.